王松桂第三版概率论与数理统计第三章答案

12x2y2xy,x0,y0,3.1设二维随机向量(X,Y)的分布函数为:F(x,y)其他0,求P1X2,3Y5解：因为 F(2,5)122.

2527，F(1,5)1212526F(2,3)1222325，F(1,3)1212324所以 P(1X2,3Y5)F(2,5)F(1,5)F(2,3)F(1,3)2726252433271283.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)

2C32C23且 P(X2,Y1)0，P(X2,Y2)0.5C531C3C22 P(X3,Y1)0.4，P(X3,Y2)045C5故(X,Y)的概率分布为

X\\Y23

100.4

20.60

3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出

现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为Y|X(3X)||2X3|，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)

131311112，P(X1,Y1)C3()()28228313121211 P(X2,Y1)C3()()，P(X3,Y3)()22828且 P(X0,Y3)()故(X,Y)的概率分布为

X\\Y0123

103/83/80

31/8001/8

3.4设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:

a(6xy),0x1,0y2,f(x,y)其他0,(1) 确定常数a;

(2) 求PX0.5,Y1.5(3) 求P{(X,Y)D},这里D是由x0,y0,xy1这三条直线所围成的三角形区域.

解：(1)因为

1f(x,y)dxdy21200a(6xy)dxdy1a12a[(6xy)]dx[(6x)2(4x)2]dx022002a(5x)dx9a01由

f(x,y)dxdy1，得9a=1，故a=1/9.

(2) P(X0.5,Y1.5)00.51.501(6xy)dxdy91.510.51[(6x)yy29027x5()dx086120.5]dx010.539[(6x)]dx0928(3) P{(X,Y)D}Df(x,y)dxdydx011x01(6xy)dy9111[(6x)yy29021x]dx01182(1112xx)dx180272e(2xy),3.5 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:f(x,y)0,(1) 求分布函数F(x,y);(2) 求PYX解：(1) 求分布函数F(x,y); 当x0,y0，

x0,y0,其他F(x,y)yxf(u,v)dudvy0x02e(2uv)dudv2e0x2uduevdv(1e2x)(1ey)0y其他情形，由于f(x,y)=0，显然有F(x,y)=0。综合起来，有

(1e2x)(1ey),F(x,y)0,(2) 求PYXx0,y0,其他P{XY}

0dy2e(2xy)dxy02eydye2xdxy0e3y13y1dye0333.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点(X,Y)的概率密度函数为

f(x,y)1,x,y,222(1xy)求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.

解：P(XYa)2222xya212(1x2y2)dxdyd202a0rdr

(1r2)21111a22[]121r201a21a23.7设二维随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.

X\\Y13

00.150.05

20.250.18

50.350.02

a解：因为 P(X1)0.150.250.350.75P(X3)0.050.180.020.25所以，X的边缘分布为

XP

10.75

30.25

因为 P(Y0)0.150.050.20P(Y2)0.250.180.43P(Y5)0.350.020.37所以，Y的边缘分布为

YP

00.20

20.43

50.37

3.8 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

32xy,f(x,y)20,0x2,0y1,其他求边缘概率密度fX(x),fY(y).解：因为，当0x2时，fX(x)31f(x,y)dyxy2dyxy3022110x；其他情2形，显然fX(x)0.所以，X的边缘分布密度为

x/20x2fX(x)其他0 又因为，当0y1时，fY(y)f(x,y)dx20323xydxx2y22423y20其他情形，显然fY(y)0.所以，Y的边缘分布密度为

3y2fY(y)00y1其他3.9 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

4.8y(2x),0x1,0yx,f(x,y)其他0,求边缘概率密度fX(x),fY(y).

解，积分区域显然为三角形区域，当0x1时，0yx，因此

fX(x)f(x,y)dy4.8y(2x)dy2.4(2x)y0x2x02.4(2x)x2；

其他情形，显然fX(x)0.所以，X的边缘分布密度为

2.4x2(2x)0x1fX(x)0其他同理，当0y1时，yx1,因此

fY(y)f(x,y)dx4.8y(2x)dx2.4y(4xx2)2.4y(34yy2)yy11其他情形，显然fY(y)0.所以，Y的边缘分布密度为

2.4y(34yy2)0y1fY(y)0其他3.10 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

c,f(x,y)0,x2yx,其他(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度fX(x),fY(y).

解：(1)因为

1f(x,y)dxdydx2cdy0x11xx2x3c2c(xx)dxc()102306所以 c = 6.

(2) 因为，当0x1时，fX(x)所以，X的边缘分布密度为

f(x,y)dy2cdy6(xx2)xx6(xx2)0x1fX(x)0其他 又因为，当0y1时，fY(y)所以，Y的边缘分布密度为

f(x,y)dx6dx6(yy)yy6(yy)0y1fY(y)0其他3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.

解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是

X13

P

0.75

0.25

(1)当X=1时，Y的条件分布为 P(Y0|X1)YP

00.20

20.43

50.37

0.1510.251 P(Y2|X1)0.7550.7530.357P(Y2|X1)0.7515YP

01/5

21/3

57/15

即

(2)当X=3时，Y的条件分布为 P(Y0|X3)0.0510.1818 P(Y2|X3)0.2550.25250.022P(Y2|X1)0.2525YP

01/5

218/25

52/25

即

(3)当Y=0时，X的条件分布为

P(X1|Y0)即

XP

0.1530.051 P(X3|Y0)0.2040.20413/4

31/4

(4)当Y=2时，X的条件分布为

P(X1|Y2)即

XP

0.250.180.581 P(X3|Y2)0.4190.430.4310.581

30.419

(5)当Y=5时，X的条件分布为

P(X1|Y5)即

XP

0.350.020.946 P(X3|Y5)0.00.370.3710.946

30.0

3.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 < x < 1) 时, Y 在区间(x,1) 上

随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.

110x1解：因为 fX(x)， fY|X(y|x)1x其他00所以(X,Y)的联合密度为

xy1其他1f(x,y)fX(x)fY|X(y|x)1x0于是 fY(y)0x1,xy1其他f(x,y)dxy011 (0y1)dxln(1y)ln1x1y故Y的密度函数为

1lnfY(y)1y00y1其他3.13 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

2xyx,0x1,0y2,f(x,y)3其他0,求条件概率密度fXY(xy),fYX(yx),以及P{Y11X}.222xy22)dy2xx0331xy1y2)dx又当0y2时，fY(y)f(x,y)dx(x0336解：因为，当0x1时，fX(x)f(x,y)dy(x2所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为

6x22xyf(x,y)fX|Y(x|y)2yfY(y)0在X=x的条件下Y的条件概率密度为

0x1其他3xyf(x,y)fY|X(y|x)6x2fX(x)0111|X)fY|X(y|)dy22221201200y2其他P(Y3y2dy5(3yy317)10100204040123.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互？解: 由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是

X13

P

0.75

0.25

YP

00.20

20.43

50.37

P{X1}0.75, P{Y2}0.43,而P{X1,Y2}0.25,显然P{X1}P{Y2}P{X1,Y2}0.25,从而X 与Y 不相互.

3.15设二维随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.

X\\Y13

问a,b取何值时, X 与Y 相互?解：因为 P(X1)00.150.05

20.250.18

50.350.02

11111，P(Y2)a691839要X和Y相互，则 P(X1,Y2)P(X1)P(Y2)即

111112(a)，得a9393991233由 P(X1)P(X2)1，得 P(X2)1P(X1)1即

12211ab，得ba333393.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互？解：由习题3.8，二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

32xy,f(x,y)20,0x2,0y1,其他x/20x2，Y的边缘分布密度为

其他0X的边缘分布密度为fX(x)3y2fY(y)00y1，显然有f(x,y)fX(x)fY(y)，X 与Y 相互.

其他由习题3.9,维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

4.8y(2x),0x1,0yx,,X的边缘分布密度为f(x,y)其他0,2.4x2(2x)0x1，Y的边缘分布密度为fX(x)0其他2.4y(34yy2)0y1,显然有f(x,y)fX(x)fY(y)，X 与Y 不.fY(y)0其他3.17设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

1xxe,0x,0y,(1y)2f(x,y),问X与Y是否相互?0,其他解：因为 fX(x)f(x,y)dyxex01dy2(1y)1xex()xex1y0fY(y)f(x,y)dxxex0(x0)1dx2(1y)11xx(xee)0(1y)2(1y)2(y0)1(1y)20xd(ex)对于x>0,y>0，都有 f(x,y)fX(x)fY(y),所以，X与Y是相互的.

3.18 设二维随机向量(X,Y)的分布函数为

1exeye(xy),x0,y0,F(x,y),其他0讨论X,Y的性.

解：因为 FX(x)limF(x,y)1eyx(x0)(y0) FY(y)limF(x,y)1exy由于

FX(x)FY(y)(1ex)(1ey)1exeye(xy)F(x,y)(x0,y0)所以，X与Y是相互的。

3.19 设X 与Y 是两个相互的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X+Y

的概率密度函数.

解：由于X 与Y均服从区间(0, 1) 上的均匀分布，故X 与Y的边缘密度函数分别为：

10x110y1，fY(y)fX(x)0其他0其他记ZXY,由于X

是两个相互的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,Z的概率密度函数可以写为

与Y

fZ(z)fX(x)fY(zx)dx当0z1时,若0xz，则fZ(z)时显然有fZ(z)0.

1dxz；若x0或xz，被积函数为0，此

0z当1z2时，若z1x1,则fZ(z)数为0，此时显然有fZ(z)0；

1z11dx2z，若xz1或x1，被积函

z的其他情形,显然有fZ(z)fX(x)fY(zx)dx=0. 综合起来，有

z,0z1,fZ(z)2z,1z20,其他此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,

当1z2时，积分区域要分成两个部分.

3.20 设X 与Y 是两个相互的随机变量, 概率密度函数分别为

yx1312e,e,x0,fY(y)3fX(x)200,x0y0,,y0求XY的概率密度函数.

解：记ZXY,由于X 与Y 是两个相互的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,

Z的概率密度函数可以写为fZ(z)fX(x)fY(zx)dx，于是有

zzz0e3(1e6)z0其他0zx1xz1x120ee3dxx0,zx0e6edxfZ(z)6600其他其他3.21 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

(2xy),0x1,0y1,f(x,y)其他0,求ZXY的概率密度函数.

解: 根据书中72页（3.7.1）式,Z的概率密度函数可以写为

fZ(z)则fZ(z)f(x,zx)dxz当0z1时,若0xz，

z0(2xy)dx(2x(zx))dx(2z)x0z0(2z)z，

若x0或xz，被积函数为0，此时显然有fZ(z)0；当1z2时，若z1x1,则fZ(z)1z1(2xy)dx1z1(2x(zx))dx(2z)x1z1(2z)2，

若xz1或x1，被积函数为0，此时显然有fZ(z)0；

z的其他情形,显然有fZ(z)0.综合起来，有

z(2z),0z1,fZ(z)(2z)2,1z20,其他3.22 设随机变量X~U[0,1],Y服从参数为1的指数分布,并且X与Y相互,求

max{X,Y}的概率密度函数.

解：由于X~U[0,1],所以分布函数为

0,FX(x)x,1,x0,0x1x1.由于Y服从参数为1的指数分布，所以分布函数为

1ey,y0 FY(y)y0,0,X与Y相互，故max{X,Y}的分布函数为

z0,0,Fmax(z)FX(z)FY(z)z(1ez),0z1,(1ez),z1,对分布函数求导以后得max{X,Y}的密度函数

z0,0,(z)1ez(1z),0z1, fmax(z)Fmaxez,z1,3.23

设随机变量X~U[0,1],Y~U[0,2],并且X与Y相互,求min{X,Y}的概率密度函数.

解：由于X~U[0,1],所以分布函数为

0,FX(x)x,1,x0,0x1x1.由于Y~U[0,2]，所以分布函数为

0,1 FY(y)y,21,y0,0y1y1.X与Y相互，故max{X,Y}的分布函数为

z0,0,1Fmin(z)1[1FX(z)][1FY(z)]z(3z),0z1,21,z1,对分布函数求导以后得max{X,Y}的密度函数

(z) fmin(z)Fmin1.5z,0z1,其他0,23.24 设随机变量X1,X2,,Xn相互,并且都服从正态分布N(,),求

(X1,X2,,Xn)的概率密度函数.

解：由于X1,X2,,Xn相互,根据P76公式（3.8.4），易知

22ZX1X2Xn~N(12n,122n)，于是(X1,X2,,Xn)的

概率密度函数为：

i1(xi)222n2n f(x1,x2,xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)e(2)n其中，xi,i1,2,,n.3.25 对某种电子装置的输出测量了5 次, 得到观察值X1,X2,X3,X4,X5.设它们是相互独

xxe8,立的随机变量, 且有相同的概率密度函数f(x)40,2x0x0,, 求

Zmax{X1,X2,X3,X4,X5}的分布函数.

解：由题意，Xi(i1,2,n)的分布函数为：

x8FXi(xi)1e,x0x00,2又由于X1,X2,X3,X4,X5，是相互的随机变量, 根据书中77页（3.8.6）式,

Zmax{X1,X2,X3,X4,X5}的分布函数为：

z1e8,z0 FZ(z)z00,23.26 设电子元件的寿命X(单位: 小时) 的概率密度函数为

0.0015e0.0015x,f(x)0,x0x0,今测试 6 个元件, 并记录下它们各自的失效时间. 求(1) 到 800 小时时没有一个元件失效的概率;(2) 到 3000 小时时所有元件都失效的概率.解：电子元件的寿命X(单位: 小时) 的分布函数为：

1e0.0015x,FX(x)0,x0x0,(1) 一个元件使用到 800 小时时没有一个失效的概率为

P(X800)1P(X800)1F(800)=e1.2，由于6

个元件显然彼此，因此，到 800 小时时没有一个元件失效的概率为(e1.26)e7.2二、第三章定义、定理、公式、公理小结及补充：

（1）联合分布

离散型

如果二维随机向量的所有可能取值为至多可列个有序对

(X,Y)，则称为离散型随机向量。

设=(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j1,2,)，且事件{=(xi,yj)}的概率为pij,,称

P{(X,Y)(xi,yj)}pij(i,j1,2,)为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXx1x2y1p11p21y2p12p22………

yjp1jp2j………

xipi1…

…

pij这里pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）

ijpij1.连续型

对于二维随机向量(X,Y)，如果存在非负函数

f(x,y)(x,y)，使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|aP{(X,Y)D}f(x,y)dxdy,D则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或称为(X,Y)的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1）（2）

（2）二维随机

变量的本质

f(x,y)≥0;

f(x,y)dxdy1.(Xx,Yy)(XxYy)（3）联合分布

函数

设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F(x,y)P{Xx,Yy}称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{(1,2)|X(1)x,Y(2)y}的概率为函数值的一个实值函

数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1）0F(x,y)1;（2）F(x,y)分别对x和y是非减的，即

当x2x1时，有F(x2,y)F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2)F(x,y1);（3）F(x,y)分别对x和y是右连续的，即

F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);（4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.（5）对于x1x2，y1y2，F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)0.

（4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布

P(Xx，Yy)P(xXxdx，yYydy)f(x，y)dxdy离散型

X的边缘分布为

PiP(Xxi)pij(i,j1,2,)；

jY的边缘分布为

PjP(Yyj)pij(i,j1,2,)。

i连续型X的边缘分布密度为

fX(x)fY(y)f(x,y)dy；Y的边缘分布密度为

f(x,y)dx.（6）条件分布离散型

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

P(Yyj|Xxi)pijpipijpj；在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

P(Xxi|Yyj)连续型

,在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f(x|y)f(x,y)；

fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f(y|x)（7）性

一般型离散型

f(x,y)fX(x)F(X,Y)=FX(x)FY(y)

pijpipj有零不

f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

连续型

二维正态分布

f(x,y)121212ex22(x)(y)y11222(12)122112,＝0

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互。特例：若X与Y，则：h（X）和g（Y）。例如：若X与Y，则：3X+1和5Y-2。

（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为1SDf(x,y)0,(x,y)D其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1 D1O 1图3.1 xy1D21 2 x O 图3.2ydD3cO a b x图3.3（9）二维正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

f(x,y)121212ex22(x)(y)y112222(1)112212,其中1,2,10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（1,2,1,2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（1,1),Y~N(2,2).但是若X～N（1,1),Y~N(2,2)，(X，Y)未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：FZ(z)P(Zz)P(XYz)222222对于连续型，fZ(z)＝

f(x,zx)dx

22两个的正态分布的和仍为正态分布（12,12）。

n个相互的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Cii， 2Ci2i2iiZ=max,min(X1,X2,…Xn)

若X1,X2Xn相互，其分布函数分别为

Fx1(x)，Fx2(x)Fxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布

函数为：

Fmax(x)Fx1(x)Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x)1[1Fx1(x)][1Fx2(x)][1Fxn(x)]2分布设n个随机变量X1,X2,,Xn相互，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

WXi2i1n的分布密度为

nu11u2e2nnf(u)2220,u0,u0.2我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～(n)，其中

2n21xxedx.20所谓自由度是指正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

n2分布满足可加性：设

Yi2(ni),则

ZYi~2(n1n2nk).i1kt分布设X，Y是两个相互的随机变量，且

X~N(0,1),Y~2(n),可以证明函数

T的概率密度为

XY/nn1t22f(t)1nnn2n12(t).我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

t1(n)t(n)F分布

设X~2(n1),Y~2(n2)，且X与Y，可以证明

F

X/n1的概率密度函数为Y/n2n1n2n12f(y)n1n2n222yn12n112n11yn2n1n22,y00,y0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).

F1(n1,n2)1F(n2,n1)