第一章习题解答

第一章习题解答

1．选择题

（1）设A,B,C是随机事件，则（ ）

(A)(AB)BAB (B) (AB)BA

(C) (AB)CA(BC) (D) ABABAB

解 应选(A)。由于(AB)B(AB)BABBBABAB，故选(A)。

（2）对于任意两事件A和B，与ABB不等价的是（ ）

(A)AB (B)BA

(C)AB (D)AB

解 应选(D)。由于ABB与AB、BA、AB等价，故选(D)。 或在掷一枚骰子的随机试验中，设A{1,2},B{1,2,3,5}，则ABB，但AB{3,4,5,6}{1,2,3,5}{3,5}

（3）10个球中有3个红球7个绿球随机地分给10个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ）

（A）

13C3(10) (B)

372(10)(10)

~1~

12C3C713372C3(10)(10)C10(C) (D)

解 应选(D)。这是一个古典概率，样本空间基本事件总数为

12C3C7123C3C7C数为，故所求的概率为10，故选(D)。

3C10，有利于所求事件发生的基本事件

（4）设A,B互不相容，且P(A)0,P(B)0，则（ ）

(A)P(BA)0 (B)P(AB)P(A)

(C)P(AB)0 (D)P(AB)P(A)P(B)

P(AB)0P(B)，故选(C)。

解 应选(C)。因为A,B互不相容，所以AB，从而P(AB)0，于是

P(AB)（4）设A,B是事件，且P(B)0,P(AB)1，则（ ）

(A)P(AB)P(A) (B) P(AB)P(B)

(C) P(AB)P(A) (D) P(AB)P(B)

解 应选(C)。由于P(AB)1，因此

P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A)

2．填空题

~2~

（1）设P(A)p,P(B)q，且A,B相互，则P(AB) 。

解 因为A,B相互，所以A,B相互，即P(AB)P(A)P(B)，从而

P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)1pq(1p)q。

1（2）设A,B相互，其A,B都不发生的概率为9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概

率相等，则P(A) 。

解 由题设A,B相互及

19

P(AB)P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)1P(A)P(B)P(A)P(B)从而于是

P(A)P(B)P(A)P(B)，又P(AB)P(AB)，故P(A)P(AB)P(B)P(AB)，所以P(A)P(B)，

2P(A)(P(A))2824P(A)P(A)29，即9(P(A))18P(A)80，解之得3，3（舍）。

（3）设P(A)0.6,P(B)0.7，则（i）在 条件下，P(AB)取得最大值，最大值为 ；（ii）在 条件下，P(AB)取得最小值，最小值为 。

解 由于P(AB)P(A)P(B)P(AB)，P(A)0.60.7P(B)P(AB)，因此

（i）当AB时，P(AB)P(A)（即P(AB)取得最小值），则P(AB)取得最大值，最大值为

P(AB)P(A)0.6。

（ii）当AB时，P(AB)取得最大值，则P(AB)取得最小值，最小值为P(AB)P(A)P(B)1

~3~

0.60.710.3。

（4）第一个盒子中装有5只红球，4只白球，第二个盒子中装有4只红球，5只白球，先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一只球，则取到白球的概率为 。

解 设Bi表示“从第一个盒子中取出的2只球中有i只白球”，i0,1,2，A表示“从第二只盒子中取到白球”，则

112C525C5C45C41P(B0)2P(B1)2P(B2)2C918， C99， C96

P(AB0)567P(AB1)P(AB2)11， 11， 11

又全概率公式，得

P(A)P(Bi)P(ABi)i0255561753181191161199

1（5）3人地去破译一密码，各人能译出的概率均为3，则3人中至少有一个能将此密码译出

的概率为 。

解 设A,B,C分别表示“第一个，第二个，第三个人译出密码”，则A,B,C相互，从而所求的概率为

219P(ABC)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)1327

~4~

3

3．解答题

（1）甲袋中有9只白球，1只红球，乙袋中有10只白球，每次从甲、乙两袋中随机地各取一球交换放入另一袋中，这样进行了三次，求红球出现在甲袋中的概率。

解 设Ai表示“i次交换后红球出现在甲袋中”，则Ai表示“i次交换后红球出现在乙袋中”，i1,2,3，从而

910

99110.8210101010

910.180.7561010（这是因为第三次交换后红球出现在

P(A1)P(A2)P(A1)P(A2A1)P(A1)P(A2A1)P(A3)P(A2)P(A3A2)P(A2)P(A3A2)0.82甲袋只与第二次交换后红球在那个袋中有关，与第一次无关）。

（2）从1到9这9数字中，有放回的取三次，每次任取一个，求所取出的三个数之积能被10整除的概率。

解 设A表示“所取的3个数中含有数字5”，B表示“所取的3个数中含有偶数”，C表示“所取的3个数之积能被10整除”，则CAB，故

P(C)P(AB)1P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)

854110.7860.214999

333 ~5~

（3）在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。

解 设线段被分成的三段长分别为x,y和axy，则样本空间为平面区域

{(x,y):0xa,0ya,0xya}

由于三角形两边之和大于第三边，因此作为三角形的边的三条线段x,y和axy应该满足：

aaa0x,0y,0axy222

即它们可以构成一个三角形为事件，记为A，是平面区域

aaaA{(x,y):0x,0x,xya}222

故所求的概率为

a2A的面积112(2)P(A)12的面积2a4

（4）有两箱同类型的产品，其中第一箱有3件合格品和3件不合格品，第二箱仅有3件合格品，现从第一箱中任取3件放入第二箱，再从第二箱中任取一件，试求从第二箱中取出的产品是不合格品的概率；若取出的产品是不合格品，试求从第一箱取出的3件产品中恰好有一件不合格品的概率。

解 设Bi表示“从第一箱中取出的三件产品中恰好有i件不合格品”，i0,1,2,3，A表示“从第二箱中取出的产品是不合格品”，则

~6~

312130C30C3C3C3C32C3C3C31991P(B0)P(B)P(B)P(B)1233333C620，C620，C620，C620

P(AB0)0，

P(AB1)123P(AB2)P(AB3)6，6，6

由全概率公式，得

P(A)P(Bi)P(ABi)i031919213102020620620

由贝叶斯公式，得

P(B1A)P(B1)P(AB1)P(A)9201614310

（5）在随机掷两枚骰子的重复试验中，求两枚骰子的点数和为5的结果出现在它们点数和为7的结果之前的概率。

解 设Ai表示“前i1次试验中没有出现点数和为5点或7点的结果，而第i次试验出现点数和为5

i1,2,点的结果”，，A表示“两枚骰子点数和为5的结果出现在点数和为7的结果之前”，则

AiiAi。

4又在一次试验中，事件“两枚骰子的点数和为5”出现的概率为36，“两枚骰子的点数和为7”出现的610概率为36，从而“两枚骰子的点数和为5或为7”出现的概率为366104363636，于是 410P(Ai)1, i1,2,3636i1

~7~

故

P(A)P(112i14Ai)P(Ai)11036361391185 i1i1i1 ~8~