浅析数学中不等式的证明方法

浅析数学中不等式的证明方法

作者：如先姑·依明

来源：《时代经贸》2013年第09期

【摘 要】不等式的应用广泛，又是学习高等数学的基础。所以，在数学中占重要地位。本文列谈证明不等式的最常用的基本方法和其他方法。希望今后的数学教学、生产实践和相关学科的应用当中能起到指导作用。

【关键词】不等式；证明方法；比较法；综合法；分析法 一、引言

不等式是高中数学的重要组成部分及数学中的一个重要工具。不等式是指在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子。不等式分为严格不等式（用纯粹的大于号、小于号“>”“

二、证明不等式的基本方法 （一）比较法

比较法是证明不等式的方法之一，用比较法证明不等式分类比差法和比商法两类，它们优点是明了容易想到，但是用起来不是那么容易。它们的解题依据及步骤如下：

（1）比差法。主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。应用比差法时我们规定这里的a，b可推广为一般的代数式，这是比差法的理论依据。基本解题步骤是：做差--变形--判断符号。

（2）作商比较法。当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。当欲证只需证，欲证只需证。

基本解题步骤是：作商--变形--判断。（与1的大小） 例1.求证： 证： 时等号成立。 所以成立。

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例2.已知，求证。 证： 又

（1）当时，，所以 （2）当时所以

（3）当时不等式取等号。所以（1），（2），（3）知，不等式成立。 （二）综合法

综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。它涉及多方面的知识，算是比较难的方法。以下介紹几个重要不等式： 为实数）同号） （当且仅当时等号成立） 例3.已知且，求证： 证： 所以两边同时乘得： 即：

原不等式成立。 （三）分析法

从求证的不等式出发，分析不等式成立的条件把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都以具备那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。 例4.求证：

证即：因为因为为了证明原不等式成立，只顺证明： 即： 即：

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即：

所以原不等式成立。 三、证明不等式的其他方法 （一）反证法

反证法是从假设结论不成立入手，推出与已知条件，假设公里，定理式显然成立的实相矛盾的结果，从而判定假设错误，原结论是成立的，这种方法叫做反证法。反证法属于间接证法，其主要步骤是：

1.作出与命题结论相反的假设。

2.在假设的基础上，经过合理的推理导出矛盾的结果。

3.肯定命题的正确性。反证法的原理是《否定》之否定定于肯定。 例5.已知，求证： 证：假设成立则 由此得这是不可能的。 （二）放缩法

放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做.放缩法。放缩是使用的主要方法，有： 1.舍去或加上一些项： 如：，，

2.将分母或分子放大（或缩小）。 例6.求证： 证：有 原不等式成立。 （三）数学归纳法

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证明有关自然数的不等式的证明，可以采用数学归纳法，数学归纳法的证明原理，是一个关于自然数的命题顺用两个步聚完成。 1.验证取第一个数值时，不等式成立。

2.假设取某一自然数时，不等式成立。（归纳假设），由此推演出取时，此不等式成立。 例7.求证：

证：（1）当时，左边=1，右边=2，不等式显然成立。 （2）假设时，则时： 左边==

时不等式也成立。由（1），（2）对于任意的，原不等式都成立。 （四）换元法

换元法是指对结构较为复杂的命题，通过恰当入变量代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其教化未便于研究的形式。 例8.若，求证： 证：已知条件，令， 左端： 右端： 即可知 原不等式成立。 例9.已知，求证： 证：因为设，其中： 因为 而，

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（五）构造法

通常有构造函数，构造复数法，构造方程法。

1.构造函数是将不等式的证明转化为函数的单调性问题利用函数的单调性建立不等关系，达到证明的目的。 例10.已知且，求证： 证：构造函数： 函数在上为增函数 原不等式成立。 （1）构造复数法 例11.已知，求证： 证：构造复数： （2）构造方程法 例12.若且，证： 证：令则：

构造方程为方程的两个根。 即： 但即： 由于

原不等式成立。 （六）判别式法

判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，解集函数的性质等特征确定判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方程。

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例13.设，求证： 证：

因为的系数为。 原不等式成立。 四、结束语

不等式虽然在书本上给的内容不多，但它在现实中不可缺少的。不等式的证明方法很多，并且具有系统性。当我们遇到不等式有关问题时，选择哪一个方法证明是解决数学问题的关键。不等式的证明涉及到代数，几何，三角各方面知识综合性较强，题型各样，因此就练地不等式的基本证明方法是非常必要的不等式的证明方法灵活多变，枝巧性很强，一个题目解决的方法没有固定模式。通过对不等式证明方法的总结，可以培养良好的分析问题和解决问题的思维能力。 参考文献：

[1]周建新.高中数学：不等式[M].上海：华东师范大学出版社，2004年3月. [2]闻厚贵.不等式证法[M].北京：北京师范学出版社，1987年9月.