电磁场——精选推荐

ˆ解：fx1.19 求f(,,z)cos的梯度。 f1fffffˆˆˆcosˆsin ˆzˆˆ2x3yzyˆx3y2zˆˆ 解：fyz3x2y2zxzxyz1.22 求梯度,r,ekr，其中k为常数。

ekrrkrˆˆ erˆˆkekr ˆˆ rr解：rrrr1.30 已知 a) f(r)xz b) f(r)= c) f(r)=r 求2f。

2a) 2f2f2f2z fx2y2z222f12f2f1b) f ()222z112f1f12f2c) f2(r)2(sin)2 22rrsinrrrrsin22yzyz的旋度 1.32计算矢量场Fxyx解：FxFxˆxˆyˆzyFyzxFzˆxˆyˆzyˆ ˆ(2y)yˆxzˆ(00)zˆ(x0)2yx xzxy2yz12-9.在电荷密度为（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的

R小球在该点的电场之和。利用高斯定理，可求得完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为Ea，完全均

30r匀填充负电荷的小球在该点的电场为 Eb30

c(Rr)空腔中某点的电场为 EEaEb c为从球心指向空腔中心的矢量。

30304y5z，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。 2-16.已知电场强度为E3x解：Vab(a)(b)Edlba解2 E (3x4y5z)

Vab(0,0,0)(1,2,1)6 解法一：从点a(0,0,0)到点b(1,2,1)的路径l取l1(0,0,0)到点(1,0,0)-+ l2点(1,0,0)到点(1,2,0)-+l3点 (1,2,0)到点

211(1,2,1) VbaEdlEdlEdlEdl3dx4dy5dz6

ll1l2l3000(P0为常数)。求介2-19.半径为a，长度为L的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为PP0z质中的束缚电荷。

解: (1)介质中的束缚电荷体密度为'P0

ˆP 在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束(2) 介质表面的束缚电荷面密度为'sn缚电荷面密度分别为'sP0.

2-24. 半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度s为常数，外包一层厚度为d、介电常数为的介质，求介质内外的电场强度。

解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理

a2s22DdSq 上式左右两边分别为 4rDr4as 由此得 Dr2 rSa2s;arad2因为DE，所以 Err2

as;rad2r02-27 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为，介质的击穿场强为Eb，求此电容器的耐压。

解：设圆柱形电容器长度为L，内导体电量为q，利用高斯定理，可得 Erbq 2rL内外导体间的电压为VqVV1qqbdrln 因此 所以电场可表示为 Er

bb2Lr2Lr2Laalnlnaa内导体表面的电场为EaV1b 所以 VaEaln 如果介质的击穿场强为Eb，则电容器的耐压为baalnabVaEbln

a2-28已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为，在球心放一电量为q的点电荷。（1）用介质中的高斯定理求电场强度；（2）求介质中的极化强度和束缚电荷。

qD解：（1）由题意，电场具有球对称结构。采用高斯定理dSq，在半径为r的球面上Dr 24rS

由DE得

q;ra,rb40r2Er

q;arb24r0（2）P0eE0(r1)E(0)E0q1qˆ)0 (2rˆ 'Pr24r4r0qˆxˆ，'s(ra)Pnˆˆˆ ，这里 n 'sPn 's(rb)Pn24a0q4b2

2-34.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中电场及电荷分布。

（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为Ee、E0，那么Ee、E0满足关系 EetE0(dt)V Ee0E0 （边界条件） 求解以上两式得 EerVV； E0

tr(dt)tr(dt)V根据导体表面上的边界条件sDn，在上、下导体表面上的电荷面密度为s

tr(dt) (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为 EV/d

根据导体表面上的边界条件sDn，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为0s0V/d 在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为esV/d

2-44 无限大导电平面上有一导电半球，半径为a，在半球体正上方距球心及导电平面h处有一点电荷q，求该点电荷所受的力。 要使导体球面和平面上的电位均为零，应有三个镜像电荷，如图所示。三个镜像电荷的电量和位置分别为aa2a2q'q,z;q',z;q,zh，点电荷q所受的力为三个hhh镜像电荷的电场力，即 q2a/ha/h1Fz{} 力的正方向向上。 222224(ha/h)(ha/h)(2h) 02-49 面积为A，间距为d的导电平板之间放置介电常数为，厚度为t的介质板，如图a、b所示。分别计算两种情况下导电平板之间的电容。 （a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为Ee、E0，那么Ee、E0满足关系EetE0(dt)V， 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为 (b) EV/d sDn，在上、下导根据导体表面上的边界条件 体板与空气的界面上的电荷面密度为 0s0V/d 在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为 esV/d AesAe0A(at)At电容为 C0s0 Vadad Ee0E0 （边界条件）； 求解以上两式得 EerVV； E0 tr(dt)tr(dt)根据导体表面上的边界条件sDn，在上、下导体表面上的电荷面密度为sV tr(dt)电容为 ASC Vtr(dt)sA3-11 平板电容器两导电平板之间为三层非理想介质，厚度分别为d1,d2d3,电导率分别为1,2,3，平板面积为S，如果给平板电容器加电压V，求平板之间的电场。

解：设导电平板之间三层非理想介质中的电场均为匀强电场，分别为E1、E2、E3，根据电压关系和边界条件，E1、E2、E3满足以下关系E1d1E2d2E3d3V E11E22E33 解此方程组得E123V13V E2

23d113d312d323d113d312d33-18 将半径为a的半个导电球刚好埋入电导率为的大地中，如图所示。求接地电阻。

解：设从地线流出的电流为I，在大地中作与导体球同心，半径为r的半球面，在此半球面上电流密度JJrˆ相

aIII同，显然满足关系 J电场强度为 导电球的电位为 EJ/VEdr222r2r2a空气V1因此导电球的接地电阻为 RI2aIIa(a)a(b)地面a

4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I。求半圆中心处的磁场。

Iab (c)

Iˆ0， 解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。已知半径为a的半圆中心处的磁场为B1z4aIˆ0 1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此 Bz4a0IˆBz2）本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为2，因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无4aIˆ0(2) 限长的直导线的磁场之和Bz4aI11ˆ0() 3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即Bz4ab4-5在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折使这两半圆成一直角。电流为I，求半圆弧心处的磁场。

0Iˆ、yˆyˆ)xˆ为两半圆环平面的法向单位矢。 (x磁场为两相同半径但平面法线垂直半圆环的磁场之和B4aˆ25yyˆczzˆ；求：c 解：因为 B1225c0 所以 c36 4-11、如果B12xx

(B1B2)/0 4-32、证明在两种媒质界面上的磁化电流面密度为J'sn解：跨两种均匀媒质的分界面取矩形回路l，如图所示，对矩形回路B1tlB2tl0J'Sl

由此得 J'S10(B1B2)/0(B1tB2t) 写成矢量形式就 J'sn

5.2由麦克斯韦方程组推导H满足的波动方程。

EE解：对麦克斯韦方程HJ两边取旋度得 HJ

tt2上式左边利用矢量恒等式AAA，并考虑到对于均匀媒质H0，上式右端代入麦克斯

2HH2韦方程E，得H2J

tt2HH0 5.3 在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明H(r,t)满足下列方程2H2ttE证：在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，麦克斯韦旋度方程为HE，两边取旋度得

tE2HE，上式左边利用矢量恒等式AAA，并考虑到对于均匀媒质

t2HHH0 H0，上式右端代入麦克斯韦方程E，得 2H2tttˆ2E0sin(tk0z)yˆ2E0cos(tk0z) 5.9 已知在空气中E1(r,t)xˆˆ H2(r,t)x2Hx0sin(tk0y)z2Hz0cos(tk0y)求：E1(r),H1(r),H1(r,t)，H2(r),E2(r),E(r,t)。

jk0yjk0zˆˆH(jHxHz)eˆˆ解：E1E0(jxy)e 2x0z02k0E0Hˆsin(tk0z)xˆcos(tk0z)] [y 由E0和初始条件可得 H1(r,t)0t2k0EˆHz0sin(tk0y)zˆHx0cos(tk0y)] [x 由H0和初始条件可得 E2(r,t)t0ˆ80π6-3. 在理想介质中E(x,t)= yˆ2cos(10*107πt+2πx) H(x,t)= -z2cos(10*107πt+2πx)

求: f, ε

r, μ

r,λ.解：10107，f=μ

)1/2和Z=80π=120π(μ

2c=5*107Hz，k2，λ==1m,06m

k2fr由 k=2π= (ε

rr/ε

r)1/2得：ε

r=9, μ

r=4

6-5、在均匀理想介质中E(t)xˆ2E0cos(tkz)yˆ2E0sin(tkz).求H(t)及平均坡印亭矢量。

ˆ2E0cos(tkz)yˆ2E0sin(tkz) 解：E(t)xjkzˆˆEE(xjy)e 0E0ˆjxˆ)ejkz ˆHzE/Z(y

ZEˆ2cos(tkz)xˆ2sin(tkz)) H(t)0(yZ

*2E02ˆS平Re[EH]z Zj2xj2x15、分析下面波的极化类型1) Ey2) Eyˆ10ej/4ej2xzˆ10eˆ10ej/4ej2x ˆ10ez 3) Eyˆ10ej/4ej2xzˆ20ej/4ej2x

1) Eyˆ10ej2xzˆzˆ10ej2x10(yˆ)ejx 相位差，是线极化波； 2)Eyˆ10ej/4ej2xzˆzˆ10ej/4ej2x10ej/4(yˆej/2)ej2xˆjzˆ)ej2x左旋圆极化波 10ej/4(yˆj2zˆ10ej/4ej2xzˆ)ej2x 右旋椭圆极化波。 3)Eyˆ20ej/4ej2x10ej/4(y19、证明一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。

ˆejkz 证明：设线极化波电场为EE0x11jkzˆjy)(xˆjyˆ)]e E1E2 上式可写为EE0[(x22E0E0jkzˆjy)ejkz 是左旋圆极化波。 E(xˆE(xjy)e其中，1 是右旋圆极化波，222ˆ10ej2z从z<0的空气中垂直投射到z>0的介质(ε23、均匀平面波E=xr=4, μ

r=1)中,求反射系数,透射

系数,两区域中的电磁波以及电场波节点、波腹点的位置，各区域的电场和磁场。 ； Z2Z0/260 电场波节点距离界面为 lminnn0.5m 解：Z1Z01202nZ2Z12Z212ln0.50.25m 电场波腹点距离界面为 max； T R24Z2Z13Z2Z131ˆ10(ej2zej2z)E1x231m， 01m k2，k101j2zj2zˆHy(ee) 11203024 20.5m， k220j4z2ˆe E2x， 431 因为R0，因此界面是电场波节点。 1j4z3ˆHye 2

18

27、均匀平面波从波阻抗为Z1的理想介质中垂直投射到波阻抗为Z2的理想介质中。证明，对于Z2Z1，电场驻波比Z2/Z1；对于Z1Z2，电场驻波比Z1/Z2。

证：R1R1RZ2Z1Z2Z1Z2Z2Z1 当Z2Z1时， R0，

1R1RZ2Z1Z2Z1Z1Z2Z11R1RZ1RZ2Z1Z2Z11 1RZ2Z1Z2Z1Z2 当Z2Z1时， R0，

DD  H  d l  I  I    S   d S   H     变化的电场和磁场（1） dd LtsstdBB 变化的磁场和电场（2） EEdldSL   tdtst 电场的性质（3）

DDdSqdV sv BdS0磁场的性质 （4）

B0麦克斯韦方程组

s物理意义：（1）全电流安培环路定律：电流和变化的电场是磁场的旋度源，可以产生磁场。

（2）法拉第电磁感应定律：变化的磁场可以产生电场，变化的磁场是电场的旋度源。 （3）电场高斯定理：电荷是电场的散度源，电荷产生电场。

（4）磁通连续原理：磁场为无散场，磁通在空间任一点都连读，磁场线无头无尾。