初三奥数系列讲座九

第九讲 判别式及其应用

一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，

而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．

1．判定方程根的情况

例1 已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根．

解 因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以

△1=(-2)2-4×(-m)=4+4m＜0，

即 m＜-1．

因为

△2=(2m)2-4m(m+1)=-4m＞0，

所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根． 例2 已知常数a为实数，讨论关于x的方程

(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0

的实数根的个数情况．

实根．

当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式

△=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，

说明 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．

2．确定方程中系数的值或范围

例3 关于x的一元二次方程

有实根，其中a是实数，求a99+x99的值． 解 因为方程有实根，所以

即 -a2-2a-1≥0．

因为-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1． 当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以

a99+x99=(-1)99+199=0．

例4 若方程

x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0

有实根，求a，b的值．

解 因为方程有实根，所以它的判别式

△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0，

化简后得

2a2+4ab+4b2-2a+1≤0，

所以 (a+2b)2+(a-1)2≤0，

说明 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．

例5 △ABC的一边长为5，另两边长恰是方程

2x2-12x+m=0

的两个根，求m的取值范围．

解 设△ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由

△=122-4·2·m=144-8m≥0

并且不等式

25=a2＞(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，

3．求某些方程或方程组的解

例6 求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解．

解 先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即

5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0．

因为x是实数，所以判别式

△=(8y-2)2-4·5·(5y2+2y+2)≥0，

化简后整理得

y2+2y+1≤0，

即(y+1)2≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得

5x2-10x+5=0，

故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．

说明 (1)本题也可以把x看作常数，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解．

(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为

4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，

从而x=1，y=-1．

例7 解方程组

解 引入待定系数k，由k·①+②得

或写成

△=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0．

即

4．证明不等式，求最大值和最小值

用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．

是多少？

(x-3)2+(kx-3)2=6，

即 (k2+1)x2-6(k+1)x+12=0， 将它看成关于x的一元二次方程．因x是实数，所以

△=36(k+1)2-48(k2+1)≥0，

即 k2-6k+1≤0． ①

解 由于

所以 yx2+(y-2)x+y=0，

上式可以看成关于x的一元二次方程．因x为实数，所以

△=(y-2)2-4y2≥0，

即 3y2+4y-4≤0，

(3y-2)(y+2)≤0．

当y=-2时，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1时，y=

例10 实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式

-t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2-18t+10，

证 因为对任何实数t，有

-t2+2t=-(t-1)2+1≤1， 9t2-18t+10=9(t-1)2+1≥1，

当t=1时，便有

1≤ab+bc+ca≤1，

所以 ab+bc+ca=1．

由于a+b=2-c，于是

ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，

于是a，b是一元二次方程

t2-(2-c)t+(c-1)2=0

的两个实数根．所以

△=(2-c)2-4(c-1)2≥0，

即 3c2-4c≤0，

练习九

1．选择：

(1)某一元二次方程根的判别式△=2m2-6m+5，此方程根的情况是[ ] (A)有两个不相等的实根

(B)有两个相等的实根

(C)没有实根

(D)由实数m的值而定

(2)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[ ]

(3)如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实根个数为 [ ] (A)2个 (B)1个

(C)0个 (D)不确定

(4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有 [ ] (A)1组 (B)2组

(C)4组 (D)无数组

(5)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [ ] (A)△＞M (B)△=M

(C)△＜M (D)不确定

2．填空：

(1)关于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0 恰有一个实根，则a=____．

(2)设m是不为0的整数，二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，则m=____． (3)当m=____时，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0 有两个不等的实数根．

(4)p，q是正数，如果方程x2+px+q=0的两个根之差是1，那么p=____．

(5)若x为实数，且有4y2+4xy+x+6=0，则使y取实数值的所有x值的范围是____．

3．求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的实数解． 4．解方程组

5．已知a，b是整数，x2-ax+3-b=0有两个不相等的实根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b的值．

6．已知a是实数，且关于x的方程x2-ax+a=0有两个实根u，v，求证：u2+v2≥2(u+v)．