专题：变力做功

（一）变力做功的常见方法：

1、将变力做功转化为恒力做功：

（1）通过连接点的联系将变力做功转化为恒力做功——等值法；

（2）力大小不变、方向与速度方向夹角恒定的变力转化为恒力做功——微元法； （3）方向不变、大小与位移均匀变化的变力做功，利用求平均力做功转化为恒力做功——平均值法或Fx图像法（力—位移图像围成的面积表示力做功的值。） 2、功率不变的力做功WPt。

典型题例：

1—1：化变力为恒力——等值法

1、如图所示，光滑的定滑轮到滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F(恒定)，滑块沿水平面由A点前进s至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

2、人在A点拉着绳通过光滑的定滑轮，吊起质量m＝50kg的物体，如图所示，开始绳与水平方向的夹角为60°，当人匀速地提起物体由A点沿水平方向运动x2m而到达B点，此时绳与水平方向成30°角，取g10m/s2，求人对绳的拉力所做的功。

1—2：化变力为恒力——微元法

1、在机械化生产水平较低的时期，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，假设驴拉磨的平均用力大小为500 N，动的半径为1 m，则驴拉磨转动一周所做功为( )

A.0 B.500 J C.500π J D.1 000π J

2、如图所示，一质量为m2kg的物体从半径为R5m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）。拉力F大小不变始终为15N，方向始终与物体在该点的切线成37°角，圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向。取g10m/s2。求这一过程中：

1

（1）重力mg做了多少功？

（2）圆弧面对物体的支持力N做了多少功？ （3）拉力F做了多少功？

（4）圆弧面对物体的摩擦力f做了多少功？

1—3、化变力为恒力——平均值法、Fx图像法

1、如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一个质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k、初始时刻处于自然状态。现用一水平力F缓慢拉木块，使木块向右移动x，求这一过程中拉力对木块做了多少功？

2、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm；问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次打击做的功相等）

3、如图所示，某人用竖直向上的拉力匀速提起长为Ｌ、质量为ｍ的置于水平地面上的均匀铁链，将铁链从提起到刚提离地面时，拉力做了多少功？

4、一立方体木块，边长l=0.2m，放在的水池中，恰有一半浮出水面而处于静止状态，若池深d=1m，用力将木块慢慢压到池底，压下木块后不计水位的变化，取g10m/s2，在此过程必须对木块做多少功？

2、功率不变的力做功：W=P t

题例：一辆汽车以恒定的输出功率75kw在一条平直的公路上加速行驶，在t=20s内前进了x=500m，求牵引力在这段时间内所做的功。

2

《专题一：变力做功的计算》答案

化变力为恒力——等值法 1、答案：Fh(11hh) 2、答案：GhG()732J sinsinsin300sin600化变力为恒力——微元法 1、D

2、（1）WGmgRcos120050J 或WGmgR(1cos600)20J （2）由微元法可知Nx，WN0

WFFx1cos370Fx2cos370Fx3cos370…… （3）

=Fcos370(x1x2x3……）1=Fcos370R20J3

（4）缓慢运动，W合=0，则：WGWNWFWf0 ∴Wf0(WGWNWF)12.8J 化变力为恒力——平均值法、Fx图像法

0kx1xkx2 222、铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做功，但阻力不是恒力，其大小与深度成正比fkx。

1、缓慢拉物块，FF弹kx与位移成正比，则：WFx0kx111kx1,铁锤做功为WF1x1kx12； 222kxkx2第二次击入深度为x1到x2,平均阻力F21,位移为x2x1,铁锤做功为：

212WF2(x2x1)k(x2x12)

2第一次击入深度为x1,平均阻力F1两次做功相等得：x22x1，

能击入的深度xx2x1210.41cm

（过程分析：铁锤做功→铁钉动能→克服阻力做功）

3、设提起部分的铁链长度x，拉力等于这部分铁链的重力：Fmgxmg L铁链的长度x也是拉力F的作用点位移，所以拉力与位移成正比，则： WFx0mg1LmgL 224、由开始时有一半浸没在水中知：1，mgVg40N 2水第一阶段：从木块部分浸没压到完全浸没，设浸没深度新增x，有：

F1gl2x （0xll0mgl1）与位移成正比；压力做功：W1F1mgl2J 22224 第二阶段：完全浸没到池底，压力做功：W2F2(dl)400.832J

整过程，压力做功：WW1W234J 功率不变的力做功：题例：WPt1.5106J

3

专题二：瞬时功率的应用

——机车的两种起动方式

（一）基本概念

1．机车的起动过程：机车由静止开始加速运动到最大速度的过程。 2．发动机的功率是指发动机提供的牵引力的功率，其最大值为额定功率。 （二）机车的两种起动方式 1.机车恒定功率起动

（1）机车恒定功率起动的过程分析：

P不变 Ffma 做加速度减小的加速运动 FPv当a=0时，F=f； P速度最大，vm。 f保持vm做匀速直线运动 vvm F=f （2）机车恒定功率起动过程的vt图像及特点：

①机车恒定功率起动过程中，牵引力 ，做加速度不断减小的加速运动；当牵引力等于 时，机车以最大速度匀速运动。 ②机车的牵引力F和瞬时速度v始终满足P= 。

③机车的牵引力F和阻力f始终满足牛顿第二定律 。 典型题例：

Ot④机车起动过程结束时，牵引力和阻力平衡，此时有P= = ；则vm 。 1、汽车以恒定功率P由静止出发，沿平直路面行驶，最大速度为v，则下列判断正确的是 A．汽车先做匀加速运动，最后做匀速运动

B．汽车先做加速度越来越大的加速运动，最后做匀速运动 C．汽车先做加速度越来越小的加速运动，最后做匀速运动 D．汽车先做加速运动，再做减速运动，最后做匀速运动 2、下列关于汽车起动的论述，正确的是( )

A．汽车以额定功率起动后做变加速运动，速度、加速度均逐渐增大

B．汽车以额定功率起动后做变加速运动，速度逐渐增大；加速度逐渐减小，加速度为零时，速度最大。

C．汽车匀速行驶时的最大允许速度受发动机额定功率，要提高最大允许速度，必须增大发动机的额定功率

D．汽车在水平路面上以额定功率P行驶，当牵引力F与阻力f平衡时，最大速度vmP f3、某汽车以额定功率在水平路面上行驶，空载时的最大速度为v1，装满货物后的最大速度为v2，已知汽车空载时的质量m，汽车所受阻力跟车重成正比，汽车满载后货物的质量 A．

v1v2vvvvvm B．1m C．12m D．12m v2v2v1v24、质量为m=2.0×103kg的汽车，发动机的牵引力功率为P=30kw，在水平公路上能达到的最大速度vm=15m/s，当汽车的速度为v=10m/s时加速度为多大？

4

2.机车匀加速起动

（1）机车匀加速起动的过程分析：

PmFv；

由Ffma知：a不变，F不变； 做匀加速运动 当PPm时，匀加速结束，末速度：PPm。 vtmFfmaF↓-f=ma↑

保持Pm做加速度减小的加速运动 PFv 当a=0时，F=f； P速度最大，vmm。 f保持vm做匀速直线运动 （2）机车匀加速功率起动过程的vt图像及特点： ①机起启动过程中经历了三个阶段： 一是 ， 二是 ， 最终 。

v vmO vt OF=f P=Pm tO O

②机车在匀加速运动阶段，汽车的瞬时速度v= ；匀加速的末速度vt ，匀加速所能维持的时间t= 。

③机车在匀加速运动阶段，机车的瞬时功率P= 。

④机车在匀加速运动阶段结束时，瞬时功率等于额定功率，即：P= 。

⑤机车变加速阶段功率恒为 ，当牵引力和阻力平衡，此时有P= = ；则vm 。 典型题例：

1、图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m5103kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a0.2m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做 vm1.02m/s的匀速运动。取g10m/s2，不计额外功。求：（1）起重机允许输出的最大功率。

（2）重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2s末的输出功率。

2、额定功率为80 kW的汽车，在平直的公路上行驶的最大速度为20 m/s，汽车的质量为2t。若汽车从静止开始做匀加速直线运动,加速度大小为2 m/s2，运动过程中阻力不变，则： （1）汽车受到的恒定阻力是多大? （2）匀加速直线运动的时间是多长?

（3）3s末汽车的瞬时功率是多大? （4）在匀加速直线运动中,汽车牵引力做的功是多少?

5

t1 t2 《专题二：瞬时功率的应用》答案

机车的两种起动方式 1.机车恒定功率起动

①牵引力减小；牵引力等于阻力；②PFv③Ffma④PFvfvm；vm典型题例：

1、C；2、BCD；3、C；

4、由最大速度vm=15m/s知阻力为fP fP2103N vm 当速度为v=10m/s时知牵引力为F∴速度为v=10m/s时加速度a2.机车匀加速起动

P3103N vFf1m/s2 m2①一是：匀加速直线运动（牵引力F不变，功率P增大）；

二是：加速度减小的加速直线运动（牵引力F减小，功率P不变）； 三是：保持最大速度匀速直线运动 ②vat；vtPmv；tt ③PFv ④PPm FaP。 f⑤Pm；PFvfvm；vm1、（1）当竖直匀速直线运动时，Pmmgvm5.1104W； （2）匀加速阶段：Fmgma，则：Fmgma5.1104N 匀加速的末速度：vtPmv1m/s 匀加速的时间：tt5s Fa2s末重物加速上升，则：t12s的速度vat10.4m/s ∴2s末的输出功率PFv2.04104W 2、解：（1）阻力fP4103N； vm （2）匀加速阶段：Fmgma，则：Fmgma8103N 匀加速的末速度：vtPmv10m/s， 匀加速的时间：tt5s Fa（3）3s末的速度vat16m/s，3s末的输出功率PFv4.8104W （4）匀加速过程的位移：x0vtt25m，牵引力做功：WFx2105J 2 6

《功、功率》练习题

1、如图所示，轻绳下悬挂一小球，在小球沿水平内做半径为R的匀速圆周运动，在转过半圈的过程中，下列关于绳对小球做功情况的叙述中正确的是（ ） A．绳对小球没有力的作用，所以绳对小球没做功

B．绳对小球有拉力作用，但小球没发生位移，所以绳对小球没做功 C．绳对小球有沿绳方向的拉力，小球在转过半圈的过程中的位移为水平方向的2R，所以绳对小球做了功 D．以下说法均不对

2、如图所示，在粗糙水平面上同一物体分别受大小相等的拉力和推力F作用，力与水平方向的夹角θ大小相同，在力作用下物体运动了相同的位移，那么（ ） A．两次F做的功相同，滑动摩擦力做的功也相同 B．两次F做的功相同，滑动摩擦力做的功不同 C．两次F做的功不同，滑动摩擦力做的功相同 D．两次F做的功不同，滑动摩擦力做的功不同

3、如图所示，一物体以一定的初速度沿水平面由A滑到B点，摩擦力做功为W1；若物体沿两斜面由A滑到B点，摩擦力做功为W2；已知物体与各接触面的滑动摩擦因数相同，则 A．W1W2 B．W1W2 C．W1W2

D．不能确定W1和W2的大小关系

4、静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示，图线为半圆。则小物块从静止运动到x0处过程中，拉力做功为 ( )

1Fmx0 2ππ2C.Fmx0 D.x0 445、血压是危害健康的一种常见病，现已查明，血管内径变细是其诱因之一。现在我们在化

A.0 B.

假设下研究这一问题：设液体通过一根一定长度的管子时受到的阻力f与流速v成正比，即f=kv（为简便，设k与管子粗细无关）；为了维持液体匀速流动，这段管子两端需要有一定的动力做功。设血管截面积为S时动力的功率为P。若血管截面积减少10%，为了维持在相同时间内流过同样多的液体，功率约为（ ）

10010P B．100P C．P D．10P 8196、“神舟”六号宇航员在进行素质训练时，抓住秋千绳由水平状态开

A．

始下摆，到达竖直状态的过程中，如图所示，宇航员所受重力的瞬时功率变化的情况是（ ）

A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

7

7、如图所示，在外力作用下某质点运动的vt图像为正弦曲线。从图中可以判断（ ） A．在0 B．在0t1时间内，外力做正功 t1时间内，外力的功率逐渐增大 t3时间内，外力做的总功为零

C．在t2时刻，外力的功率最大 D．在t18、一小孩站在船头，按图甲、乙所示的两种情况用同样大小的力拉绳，经过相同时间t（船未碰撞）小孩所做的功W1、W2及小孩拉绳的功率P1、P2的关系为（ ） A．W1W2，P1P2 B．W1W2，P1P2 C．W1W2，P1P2 D．W1W2，P1P2

9、如图所示是健身跑步机示意图，质量为m的人踩在与水平面成α角的静止皮带上，运动员用力向后蹬皮带，皮带运动过程中受到的阻力恒为f，皮带以速度v匀速向后运动，则在运动过程中，则下列说法正确的是（ ） A．脚对皮带的摩擦力是皮带运动的动力 B．人对皮带不做功

C．人对皮带做功的功率为mgv D．人对皮带做功的功率为fv

10、自动扶梯以恒定的速率v1运送乘客上同一层楼，某乘客第一次站在扶梯上不动，第二次以相对扶梯v2的速率匀速上走，两次扶梯运客的牵引力所做的功分别为W1和W2；牵引力的功率分别为P1和P2，则（ ）

A．W1W2，P1P2 1P2 B．W1W2，PC．W1W2，P1P2 1P2 D．W1W2，P11、一辆汽车在平直的公路上以v0的速度开始加速行驶，经过一段时间t前进L，此时恰好达到其最大速度vm。设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒为f，则在这段时间内发动机所做的功为（ ）

v0vm121211 D．fv0tfvmt fLmv0t B．Pt C．mvm2222212、一辆汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，其发动机的功率为P。快进入闹市区时，司

A．f减小了油门，使汽车发动机的功率立即减为原来的一半，并保持该功率继续行驶，下列四个图象中，哪个正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系（ ）

v v0 0.5v0 v0 0.5v0 t v v0 0.5v0 t v v0 0.5v0 t v 0 A 0 B 0 C 0 D t 13、如图所示，足够长的水平传送带以2m/s的速度匀速运行，将一质量为2kg的工件轻轻的放在传送带上，工件与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s2。求：

8

（1）轻放3s后工件的位移是多少？ （2）在3s内摩擦力做了多少功？

14、如图所示，重物的质量为1kg，动滑轮质量不计，竖直向上拉动细绳，使重物从静止开始以5 m/s2的加速度上升，g取10 m/s2；则： （1）拉力F在1 s内对物体做的功为多大？ （2）拉力F在1 s末的瞬时功率是多大？

15、汽车发动机的额定功率为P6104w，汽车质量m5103kg，汽车在坡度为0.02（即沿路面前进100m，高度增加2m）的公路上沿直线行驶时，地面的摩擦阻力大小是车重的0.1倍，取g10m/s2，试求：

（1）汽车保持以额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？

（2）汽车从静止开始，保持以0.6m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？

16、某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究,他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动,并将小车运动的全过程记录下来,通过处理转化为v—t图象,如图所示(除2～10s时间段内的图象为曲线外,其余时间段图象均为直线)。已知小车运动的过程中，2～14s时间段内小车的功率保持不变,在14s末停止遥控而让小车自由滑行。小车的质量为1kg，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变。求：

（1）小车所受到的阻力大小及0～2s时间内电动机提供的牵引力大小。 （2）小车匀速行驶阶段的功率。

（3）小车在0～10s运动过程中位移的大小。

m A v B 9

17、电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200w，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m，已知此物体在被吊高接近90m时已开始以最大速度匀速上升，取g10m/s2，求物体吊高过程所需的时间为多少？

18、马拉着质量为m=60kg的雪橇，从静止开始用过t=80s的时间沿平直冰面跑完x=1km。设雪橇在运动过程中受到的阻力保持不变，并且它在开始运动的t18s时间内做匀加速直线运动，从第8s末开始，马拉雪橇做功的功率值保持不变，继续做直线运动，最后一段时间雪橇做的是匀速直线运动，速度大小v=15m/s。求： （1）在这80s的运动过程中马拉雪橇做功的平均功率。 （2）雪橇在运动过程中所受的阻力大小。

附加题：

1、将质量为m的物体由离地心2R处移到地面，R为地球半径，已知地球质量为M，引力常量为G，求在此过程中万有引力对物体做的功。

23过固定在水平面上、横截面半径为R的光滑半圆柱体，拉动过程中铁链始终没有离开圆柱体，

2、如图所示，质量为m、长lR的铁链先放在光滑水平地面上，用力F将铁链缓慢拉下列关于力F做功情况的描述中正确的是（ ） A．可以用平均力FB．力F至少做功0mg求力F做的功 23mgR才能将铁链拉过半圆柱 2C．力F至少做功mgR(1)才能将铁链拉过半圆柱体 3D．无法求出力F的功，但可以确定其做功不大于mgR



10