平潭县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平潭县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

2． 执行如图所示的程序，若输入的x3，则输出的所有x的值的和为（ ） A．243 B．363 C．729 D．1092

【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．

3． 将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（

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）精选高中模拟试卷

A．1372

4． 若双曲线C：x2﹣

A．2

B．2024 C．3136 D．4495

，则双曲线的离心率e=（ ）

=1（b＞0）的顶点到渐近线的距离为 B．

C．3 D．

3123A．cab B．acb C．abc D．bac

5． 已知函数f(x)sinx2x，且af(ln),bf(log2),cf(20.3)，则（ ）

【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 6． 若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线： xy110和l2：xy10上移动，则AB中点M所在直线方程为（ ）

A．xy60 B．xy60 C．xy60 D．xy60 7． 下列命题中正确的是（ ）

A．复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d B．任何复数都不能比较大小 C．若

=

，则z1=z2

D．若|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=

8． 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（ ） A．（0，1）∪（2，3）

B．（0，1）∪（3，4）

C．（1，2）∪（3，4）

D．（1，2）∪（2，3）

9． 设双曲线焦点在y轴上，两条渐近线为A．5

B．

C．

，则该双曲线离心率e=（ ）

D．

10．已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当

x[2,3]时，f(x)2x212x18.若函数yf(x)loga(x1)在(0,)上至少有三个零点，则

实数的取值范围是（ ）111] A．(0,2356) B．(0,) C．(0,) D．(0,)

356211．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ） A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

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12．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值 ②DC1⊥D1M ③∠AMD1的最大值为90° ④AM+MD1的最小值为2．

A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④

二、填空题

13．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．

14．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

15．若函数f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________. 16．已知函数

，则

__________；

的最小值为__________．

17．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期为T的周期数列．已知数列{an}满足：a1＞=m （m＞a ），an+1=①若 m=，则a5=2；

②若 a3=3，则m可以取3个不同的值； ③若 m=

，则数列{an}是周期为5的周期数列．

，现给出以下三个命题：

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其中正确命题的序号是 ．

18．已知x，y满足条件

，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=

（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．

（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）的极大值为

20．已知定义域为R的函数（1）求f（x）；

（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）； （3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．

21．在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣（1）求证：数列{bn}为等差数列；

，bn=

*

，其中n∈N．

，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．

是奇函数．

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（2）设cn=bn+1•（）（3）证明：1+

+

，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn； +…+

≤2

﹣1（n∈N）

*

22．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有0，

（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数； （2）解不等式

；

＞

2

（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．

23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）． （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于

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24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc． （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）如果cosB=

，b=2，求a的值．

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平潭县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：令f（x）=x﹣

3

2

∵f′（x）=3x﹣3

∴f（x）=x﹣

，

ln2＞0，

ln=3x2+在R上单调递增；

又f（1）=1﹣=＞0， f（0）=0﹣1=﹣1＜0，

3

∴f（x）=x﹣

的零点在（0，1），

3x

∵函数y=x与y=（）的图象的交点为（x0，y0），

∴x0所在的区间是（0，1）． 故答案为：A．

2． 【答案】D

【解析】当x3时，y是整数；当x3时，y是整数；依次类推可知当x3(nN*)时，y是整数，则

2n由x31000，得n7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D．

n3． 【答案】 C

【解析】

【专题】排列组合．

点在另一条边，根据分类计数原理可得． 上，有4种方法，

【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其

33

再在选出的三条边上各选一点，有7种方法．这类三角形共有4×7=1372个．

另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法， 4×21×21=1764个．

再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有

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综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136． 故选：C． 4． 【答案】B

【解析】解：双曲线C：x﹣

2

【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．

=1（b＞0）的顶点为（±1，0），

渐近线方程为y=±bx， 由题意可得解得b=1，c=即有离心率e==故选：B．

=

， =．

，

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．

5． 【答案】D

6． 【答案】D 【解析】

考

点：直线方程 7． 【答案】C

【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R． B．实数是复数，实数能比较大小． C．∵

=

，则z1=z2，正确；

D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．

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故选：C．

8． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2）， ∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x）， ∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称， 又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1）， 故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，

由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0， ∴（x﹣2）f（x）＞0；

当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0， ∴（x﹣2）f（x）＞0；

∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3） 故选：D

【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．

9． 【答案】C

【解析】解：∵双曲线焦点在y轴上，故两条渐近线为 y=±x， 又已知渐近线为故双曲线离心率e==故选C．

，∴ =，b=2a，

=

=

，

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【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断渐近线的斜率=，是解题的关键．

10．【答案】B 【解析】

试题分析：f(x2)fxf1，令x1，则f1f1f1，fx是定义在R上的偶函数,f10fxfx2．则函数fx是定义在R上的，周期为的偶函数，又∵当x2,3时，

yfxlogax1在0,上至少有三个零点可化为fx与gx的图象在0,上至少有三个交点，

fx2x212x18，令gxlogax1，则fx与gx在0,的部分图象如下图，

0a13，解得：0a故选A． gx在0,上单调递减，则3loga32考点：根的存在性及根的个数判断.

【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得图象与函数ylogax1的图象在0,上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.

11．【答案】B

【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立， 若a⊥b，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件， 故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．

12．【答案】A

fx是周期函数,其周期为,要使函数yfxlogax1在0,上至少有三个零点,等价于函数fx的

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【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V=

=为定值，故①正确．

②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确． ③当0＜A1P＜

时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；

④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值， 在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1=故④不正确． 因此只有①②正确． 故选：A．

=

＜2，

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥， 8个三棱锥的体积为：

剩下的凸多面体的体积是1﹣=． 故答案为：．

=．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．

14．【答案】

【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体则截面为

中，BC中点为E，CD中点为F，

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即截去一个三棱锥所以该几何体的体积为：故答案为：【解析】

其体积为：

15．【答案】a2

试题分析：因为f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增，所以x(1,2)时，f'xa10恒成立，即xax恒成立，可得a2，故答案为a2.1

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 16．【答案】

【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】当当故

时，时，的最小值为

故答案为：

17．【答案】 ①② ．

【解析】解：对于①由an+1=所以，

＞1，

，

，且a1=m=＜1，

，∴a5=2 故①正确；

对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m． 若

，则

．

若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意． 所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个． 故②正确； 若a1=m=

＞1，则a2=

，所a3=

＞1，a4=

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故在a1=时，数列{an}是周期为3的周期数列，③错；

故答案为：①②

【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目

18．【答案】 4 ．

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：f′（x）=

2

令g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c

2

函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c的零点 2

即：﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3

则解得：b=c=﹣a，

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令f′（x）＞0得0＜x＜3

所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3）， （2）由（1）得：

函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减， ∴∴a=2， ∴

；

，

，

∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．

20．【答案】

【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数， 所以f（0）=0，即从而有

经检验，符合题意；… （2）由（1）知，f（x）=

x

=0，解得b=1； ；…

=﹣+；

由y=2的单调性可推知f（x）在R上为减函数； … （3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式 f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x）， 即f（1+|x|）＜f（﹣x）； … 又因f（x）是R上的减函数， 由上式推得1+|x|＞﹣x，… 解得x∈R．…

21．【答案】

【解析】（1）证明：bn+1﹣bn=等差数列，首项为1，公差为1． （2）解：由（1）可得：bn=n．

﹣

=

﹣

=1，又b1=1．∴数列{bn}为

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cn=bn+1•（）=（n+1）． +3×+…+n

++（n+1）

+…+（n+1）

，

．

∴数列{cn}的前n项和为Tn=

=

+3×

∴Tn=

+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），

可得Tn=﹣（3）证明：1+∵∴1+∴1+

=++＜+…++…+

+

． +…+=2≤1+2[（

≤2

﹣1）+（﹣1（n∈N）．

*

≤2﹣1（n∈N）即为：1+

*++…+≤﹣1．

（k=2，3，…）．

）+…+（

﹣

）]=1+2

=2

﹣1．

22．【答案】

【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2） ∵即

∵x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0．

则f（x）是[﹣1，1]上的增函数； （2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数， 不等式﹣1≤x+＜

≤1，

即为

＞0， ＞0，

解得﹣≤x＜﹣1，

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即解集为[﹣，﹣1）；

2

（3）要使f（x）≤m﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

只须f（x）max≤m﹣2am+1，即1≤m﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

2

2

22

亦即m﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m，

只须，

解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．

23．【答案】

2

【解析】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y=2px， 得4=2p，p=2

2

∴抛物线C的方程为：y=4x，其准线方程为x=﹣1

（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t， 由

2

得y+2y﹣2t=0，

=

，求得t=±1

∵直线l与抛物线有公共点， ∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣ 又∵直线OA与L的距离d=∵t≥﹣ ∴t=1

∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0

思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．

24．【答案】

222222

【解析】解：（Ⅰ）∵b+c=a+bc，即b+c﹣a=bc，

【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程

∴cosA=

又∵A∈（0，π）， ∴A=

；

=，

（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），

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∴sinB==，

由正弦定理=，得a===3．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．

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