中考数学冲刺专题突破：专题二 特殊四边形中的折叠问题 (学生版+解析版)

专题二 特殊四边形中的折叠问题

【专题说明】

特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力. 【类型】一、菱形中的折叠问题

【精典例题】1、如图，菱形纸片ABCD的对角线AC，BD相交于点O，折叠纸片使点A与点O重合，折痕为EF，若AB＝5，BD＝8，则△OEF的面积为( ) A．12

B．6 C．3

3D. 2

【精典例题】2、如图，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE.若∠A＝60°，则∠DEC的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．75°

【精典例题】3、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为( ) A．1 B.2 C．2－2 D．22－2

【精典例题】4、菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M，N分别在边AD，AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN，若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为_________________

【类型】二、正方形中的折叠问题

【精典例题】5、如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为( ) A．4

B．23 C．22 D．2

【精典例题】6、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________

【精典例题】7、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为 .

【类型】三、矩形中的折叠问题

【精典例题】8、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( )

A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm

【精典例题】9、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形的一角沿AC折叠，则重叠阴影部分△AFC的面积为( )

A．14 B．12 C．10 D．8

【精典例题】10、一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长

为( )

A.2 B．22 C．1 D．2

【精典例题】11、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝_____.

【精典例题】12、如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____________.

【精典例题】13、如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于____．

【精典例题】14、折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，求AD的长．

【精典例题】15、在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F. (1)求证：四边形BFDE为平行四边形；

(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．

【精典例题】16、如图①，在矩形ABCD中，AB＞BC，将它沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP. (1)如图②，若AB＝8，AD＝4，当M点与D点重合，求BE； (2)如图③，当M为AD的中点，求证：EP＝AE＋DP.

【精典例题】17、如图，矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处； 沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点． (1)求证：四边形BEFG是平行四边形；

(2)连接B1B，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．

【精典例题】18、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：

(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.

【精典例题】19、如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，如图②，沿EF折叠，使点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时点B恰好落在DE上的点H处．

(1)求证：EG＝CH；

(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．

【精典例题】20、如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. (1)求证：CM＝CN；

MN

(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值．

DN

中考数学冲刺 专题突破 特殊四边形

专题二 特殊四边形中的折叠问题

【专题说明】

特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力. 【类型】一、菱形中的折叠问题

【精典例题】1、如图，菱形纸片ABCD的对角线AC，BD相交于点O，折叠纸片使点A与点O重合，折痕为EF，若AB＝5，BD＝8，则△OEF的面积为( ) A．12

B．6 C．3

3D. 2

1. C 【精典例题】2、如图，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE.若∠A＝60°，则∠DEC的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．75°

2. D 【精典例题】3、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为( ) A．1 B.2 C．2－2 D．22－2

3. C 【精典例题】4、菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M，N分别在边AD，AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN，若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为_________________

4. 43或23－2 3【类型】二、正方形中的折叠问题

【精典例题】5、如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为( ) A．4

B．23 C．22 D．2

5. B 【精典例题】6、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________

6. 16或45 【精典例题】7、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为 .

57. 2【类型】三、矩形中的折叠问题

【精典例题】8、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( )

A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm

8. C 【精典例题】9、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形的一角沿AC折叠，则重叠阴影部分△AFC的面积为( )

A．14 B．12 C．10 D．8

9. C 【精典例题】10、一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为( )

A.2 B．22 C．1 D．2

10. A 【精典例题】11、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知△DGH＝30°，连接BG，则△AGB＝_____.

11. 75° 【精典例题】12、如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____________.

161212. (，－) 55【精典例题】13、如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，△GFP＝62°，那么△EHF的度数等于____．

13. 56° 【精典例题】14、折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：△把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；△把纸片展开并铺平；△把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，求AD的长．

14. 解：设AD＝x，则AB＝x＋2. △把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，△DF＝AD，△DFE＝△A＝90°. 又△△ADF＝90°，△四边形AEFD为正方形，△AE＝AD＝x. △把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上， △DH＝DC＝x＋2.△HE＝1，△AH＝AE－HE＝x－1. 在Rt△ADH中，△AD2＋AH2＝DH2，△x2＋(x－1)2＝(x＋2)2， 整理，得x2－6x－3＝0，解得x1＝3＋23，x2＝3－23(舍去)， 即AD的长为3＋23 【精典例题】15、在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F. (1)求证：四边形BFDE为平行四边形；

(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．

15. 解：(1)易证△ABE△△CDF(ASA)，△AE＝CF.△四边形ABCD是矩形， △AD＝BC，AD△BC.△DE＝BF，DE△BF.△四边形BFDE为平行四边形 (2)△四边形BFDE为菱形，△BE＝ED，△EBD＝△FBD＝△ABE. △四边形ABCD是矩形，△AD＝BC，△ABC＝90°， △△ABE＝30°.△△A＝90°，AB＝2，设AE＝x，BE＝2x. 根据勾股定理得AB＝3x.△x＝232343.即AE＝，BE＝. 3332343△BC＝AD＝AE＋ED＝AE＋BE＝＋＝23 33【精典例题】16、如图△，在矩形ABCD中，AB＞BC，将它沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP. (1)如图△，若AB＝8，AD＝4，当M点与D点重合，求BE； (2)如图△，当M为AD的中点，求证：EP＝AE＋DP.

16. 解：(1)设BE＝x，由折叠得DE＝BE＝x，AE＝8－x. △四边形ABCD是矩形，△△A＝90°，由勾股定理， 得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，即BE＝5 (2)取EP的中点Q，连接MQ，△M为AD的中点，△AE＋DP＝2MQ， 由折叠得，△EMP＝△B＝90°，△EP＝2MQ，△EP＝AE＋DP 【精典例题】17、如图，矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处； 沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点． (1)求证：四边形BEFG是平行四边形；

(2)连接B1B，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．

17. (1)证明：显然，BE△GF，根据对称性得△1＝△2，△3＝△4，△A1D1△B1C1，△△1＋△2＝△3＋△4，△△1＝△2＝△3＝△4，△EF△BG△四边形BEFG是平行四边形 (2)解：△B1BG是直角三角形，理由：△A1D1△B1C1，△△4＝△6， △△3＝△6，△BF＝FG，△B1F与BF关于EF对称， △B1F＝BF，△B1F＝BF＝FG，△△B1BG是直角三角形 【精典例题】18、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：

(1)BF＝DF；(2)AE△BD.

18. 证明：(1)由折叠的性质可知，△FBD＝△CBD，△AD△BC，△△FDB＝△CBD，△△FBD＝△FDB，△BF＝DF (2)△四边形ABCD是矩形，△AB＝DC，AD＝BC，由折叠的性质可知，DC＝ED＝AB，BC＝BE＝AD，又1△AE＝AE，△△AEB△△EAD，△△AEB＝△EAD，△△AEB＝(180°－△AFE)．由(1)知△DBE＝△BDF，△△DBE21＝(180°－△BFD)，而△AFE＝△BFD，△△AEB＝△DBE，△AE△BD 2【精典例题】19、如图△，将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，如图△，沿EF折叠，使点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时点B恰好落在DE上的点H处．

(1)求证：EG＝CH；

(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．

19. 解：(1)由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.△四边形ABCD是矩形，△AD＝BC.△EG＝CH (2)△△ADE＝45°，△FGE＝△A＝90°，AF＝2，△DG＝2，DF＝2.△AD＝2＋2.如图， 由折叠知，△1＝△2，△3＝△4，△△2＋△4＝90°，△1＋△3＝90°.△△1＋△AFE＝90°，△△3＝△AFE.又△△A＝△B＝90°，由(1)知，AE＝BC，△△EFA△△CEB.△AF＝BE.△AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋22 【精典例题】20、如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. (1)求证：CM＝CN；

MN

(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3△1，求的值．

DN

20. 解：(1)由折叠的性质可得：△ENM＝△DNM，△△ENM＝△ENA＋△ANM，△DNM＝△DNC＋△CNM，△ENA＝△DNC，△△ANM＝△CNM.△四边形ABCD是矩形，△AD△BC，△△ANM＝△CMN，△△CMN＝△CNM，△CM＝CN (2)过点N作NH△BC于点H，则四边形NHCD是矩形，△HC＝DN，NH＝DC.△△CMN的面积与△CDN的S面积比为3△1，△△CMNS△1MC·NH2MC＝＝＝3，△MC＝3DN＝3HC，△MH＝2HC.设DN＝x，则HC＝x，1DNDN·NH2CDNMH＝2x，△CM＝3x＝CN，在Rt△CDN中，DC＝CN2－DN2＝22x，△NH＝22x，在Rt△MNH中，MN23xMN＝MH2＋NH2＝23x，△＝＝23 DNx