高中数学考点16正弦定理和余弦定理含高考试题新人教A版

一、选择题

1. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4)钝角三角形ABC的面积是则AC= ( ) A.5 B. 5 C.2

D.1

1,AB=1,BC=2,2【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,然后结合条件,利用余弦定理,求得AC. 【解析】选B.因为S△ABC=

2111acsinB=21·sinB=,所以sinB=,

22223或.当B=时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.

4443222

（2）所以B=,使用余弦定理,b=a+c-2accosB,解得b=5.故选B.

4所以B=二、填空题

2. (2014·湖北高考文科·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=

π,a=1,b=3,则B= . 6【解析】依题意,由正弦定理知

1sin6=33,得出sinB=.由于0332答案:或

33所以B=

【误区警示】由于解题过程中无法判断B是锐角还是钝角,所以由sinB=

3得到两个结2果:B=

2或.本题的易错点是漏掉其中一个.

333.(2014·广东高考理科)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则

a= . b【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b, 即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,

即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB, 有sinA=2sinB, 再由正弦定理得a=2b,

a=2. b方法二:如图,作AD⊥BC于点D,

1

则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即答案:2

a=2. baccosBbcosC,【创新提示】熟用三角形射影定理bacosCccosA,可迅速得解.

cacosBbcosA

4.（2014·福建高考文科·Ｔ14）14．在ABC中，A60,AC2,BC3,则AB等于_________

【解题指南】直接应用余弦定理求解。

【解析】由余弦定理BCABAC2ABACcosA，得

2223AB2422ABcos60，即AB22AB10，解得AB1．

答案：1．

5.（2014·福建高考理科·Ｔ12）

在ABC中，A60,AC4,BC23,则ABC的面积等于_________ 【解题指南】先利用余弦定理求出AB，再由面积公式求解。 【解析】由题，BCABAC2ABACcosA， 即12AB1624AB【答案】23 6. （2014·山东高考理科·Ｔ12） 在ABC中，已知ABACtanA，当A222211，解得AB2，所以SABACsinA23． 226时，ABC的面积为 . 【解题指南】本题考查了平面向量的数量积及三角形的面积公式，先利用数量积的定义写出

等式，再利用面积公式求出三角形面积.

【解析】由已知及平面向量数量积的定义可得ABACABACcosAtanA，

所以ABAC所以SABCtanA62， cosAcos361121ABACsinAsin 223662

tan

答案：

1 67. （2014·天津高考理科·Ｔ12）在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知

b-c=14a，2sinB=3sinC，则cosA的值为_______. 【解析】因为2sinB=3sinC，所以2b=3c，解得b=3c2，a=2c.

=b2+c2-a2所以cosA2bc=-14. 【答案】-14 三、解答题

8. （2014·湖南高考理科·Ｔ18）（本小题满分12分）

如图5，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7. （1）求cosCAD的值； （2）若cosBAD714,sinCBA216,求BC的长．

【解题提示】 利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解。

（1）如图5，在ADC中，由余弦定理，得cosCADAC2AD2CD2【解析】2ACAD由题设知，cosCAD71427277.

（2）如图5，设BACa,则aBADCAD.

因为cosCAD277,cosBAD714,所以 sinCAD1cos2CAD1(2727)217, 3

sinBAD1cos2BAD1(于是

72321). 1414sinasin(BADCAD)321277213

sinBADcosCADcosBADsinCAD().1471472在ABC中，由正弦定理得，

BCAC. sinasinCBA故BCACsinasinCBA7323. 2169. （2014·浙江高考文科·Ｔ18）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已

知

4sin2AB4sinAsinB222 （1）求角C的大小；（2）已知b4，ABC的面积为6，求边长c的值

【解析】（1）因为

sin2AB1cos(AB)22，

所以

4sin2AB4sinAsinB2

=22cos(AB)4sinAsinB =22(cosAcosBsinAsinB) =22cos(AB) =2+2cosC=2+2

所以

cosC2C2，4。

1216SABCabsinCa4222（2）由正弦定理知，

所以a32；

4

222由余弦定理知，cab2abcosC，所以

c2(32)242232422

=10，所以c10

所以当b4，ABC的面积为6时，边长c的值为10. 10. （2014·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知ab，c3，

cos2Acos2B3sinAcosA3sinBcosB.

(1)求角C的大小；

sinA4,(2)若

5求ABC的面积. 1cos2A1cos【解析】（1）由题意得，22B232sin2A32sin2B 3sin2A1cos2A3sin2B1cos所以22222B

sin(2A)sin(2B即

66) 由ab，得AB，又AB(0,)，得

(2A6)(2B6)AB2C，所以

3，即3 c3,sinA4ac（2）由

5,sinAsinCa8，得5 ＜ccosA3由a，得A＜C，从而5，

所以sinBsin(AC)

sinAcosCcosAsinC

4133525433210

5

所以，ABC的面积为

S1184338318acsinB32251025

11. （2014·辽宁高考理科·Ｔ17）（2014·辽宁高考文科·Ｔ17）在ABC中，内角A，B，

C的对边a，b，c，且ac，已知BABC2，（2）cos(BC)的值.

cosB13，b3，求：（1）a和c的值；

【解析】（1）由BABC2，

2cosB213得BABCcacosB2，所以ac6；

22又由b3及余弦定理得bac2accosB，所以ac13 结合ac，解得a3,c2

242a2b2c27sinC1cos2CcosC9 2ab9，（Ⅱ）由a3,b3,c2得

cosB由

221sinB1cos2B9; 3得

17224223cos(BC)cosBcosCsinBsinC393927 所以

12. （2014·山东高考文科·Ｔ17）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a3,cosA6,BA. 32（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求ABC的面积.

【解题指南】(1)本题先求出sinA，再利用A，B之间的关系求出sinB，然后用正弦定理求出b

.(2)本题可利用余弦定理求出c，再利用三角形面积公式求出三角形面积.

【解析】：

（Ⅰ）由题意知：sinA1cosA23， 3 sinBsinA6， sinAcoscosAsincosA2223 6

由正弦定理得：

abasinBb32 sinAsinBsinA（Ⅱ）由余弦定理得：

b2c2a26c243c90c13,c233, cosA2bc3 又因为BA2为钝角，所以bc，即c3，

所以SABC132acsinB. 2213.(2014·陕西高考文科·T16)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为

a,b,c.

(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C). (2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.

【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证;

(2)利用等比数列得三边关系,再结合所给条件用余弦定理求cosB的值. 【解析】(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. 因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), sinA+sinC=2sin(A+C).

(2)因为a,b,c成等比数列,所以b=ac,又c=2a,所以b=

2

a.

由余弦定理得cosB===.

14.(2014·陕西高考理科·T16)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C). (2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.

【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证.

(2)利用余弦定理及基本不等式解决最值问题,注意取最值的条件须注明. 【解析】(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. 因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), sinA+sinC=2sin

.

2

(2)因为a,b,c成等比数列,所以b=ac. 由余弦定理得cosB=

=

≥

=.

7

当且仅当a=c时等号成立. 所以cosB的最小值为.

15. （2014·天津高考文科·Ｔ16）（本小题满分13分）

在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ac6b，6sinB6sinC

（1）求cosA的值； （2）求cos(2A【解析】(1)在△ABC中,由

6)的值.

bc=.及sin B=6sin C,可得b=6c, sinBsinC又由a-c=

6b,有a=2c. 6b2c2a26c2c24c26=所以cos A==. 22bc26c4(2)在△ABC中,由cosA=6, 4可得sin A=10. 42

115于是cos 2A=2cosA-1=-,sin2A=2sin A·cos A=. 44π153=. 所以cos=cos 2Acos+sin 2Asin2A666816.（2014·安徽高考文科·Ｔ16）设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且

b3,c1，ABC的面积为2，求cosA与a的值.

【解题提示】根据三角函数的基本公式及正、余弦定理解答。 【解析】（1）有三角形面积公式，得

2212231.sinA2sinA， 232因为sinA+cosA=1，所以cosA1sinA1， 38

（1）当cosA=1时，由余弦定理得a2=c2+b2-2bccosA32121318，所以33a=22。

1（2）当cosA=-时，由余弦定理得a2=c2+b2-2bccosA321213（-）12

317.（2014·安徽高考理科·Ｔ16）设DABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且

b3,c1,A2B. （1）求a的值； （2）求sin(A134)的值.

【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答。 【解析】（1）因为A=2B， 所以sinA=sin2B=2sinBcosB，

2222a+c-b由正、余弦定理得a=2b.，因为b=3,c=1,所以a12a23。

2ac222b+c-a（3）由余弦定理得coA=9+1-12=-1，因为06344418. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T17)(本小题满分12分)四边形ABCD的内角A

与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD.

(2)求四边形ABCD的面积.

【解题提示】(1)画出图形,结合图形利用余弦定理求解. (2)利用S□ABCD=S△ABD+S△BCD求解.

【解析】(1)设x=BD,分别在△ABD,△BCD中,对角A,C用余弦定理,则

14x294x2cosA=,cosC=.因为A+C=π,所以cosA+cosC=0,

22223联立上式解得x=7,cosC=

1,所以C=,BD=7. 23(2)因为A+C=π,C=

3,所以sinA=sinC=,

23311AB·AD·sinA+CB·CD·sinC= (1+3)=23.

222四边形ABCD的面积S□ABCD=S△ABD+S△BCD=

所以,四边形ABCD面积为23.

9