考试周刊２０１５￣ｇ５２，１ｔ／１ 圆锥曲线中点弦的两种求法与应用 徐英 （攀枝花市第几中学，四川攀枝花６１７０００） 摘要：圆锥曲线的中点弦的问题，是高考的考点，常规做法是用点差法计算．作者通过对一般情况进行推导得到中点弦所 在直线的斜率的公式，利用求两圆公共弦的方法得出中点弦所在的直线的方程，这样可降低计算量。减少出错可能． 关键词：圆锥曲线 点差法 中点弦公共弦斜率 １．圆锥曲线中点弦的两种求法 ２ ２ 解析：（Ｉ）由已知得 ：２Ｖ＇２， ： ，解得ａ：２ｘ／ ， 结论１：１．ｐ（Ｘ０ Ｙ ）是圆锥曲线 ＋ ＝ｌ（ｍ≠ｎ，ｍ，ｎ不同时 ￣ｍ ｍ ３Ｌｂ：＝ａ２－ｃ＝４。 为负）的弦ＡＢ的巾点，则弦ＡＢ的斜率ｋ Ｂ—Ｘ０・ｎ． ｍ Ｙｏ 所以椭圆Ｇ的方程为 十 ：１． ２．抛物线的标准方程为）ｒ２－２ｐｘ，则ｋ＾ —＿ｐ；若ｘ２＿２ｐｙ。＠．ＪｋＡＢ＝ ． （ＩＩ）设Ａ、Ｂ的坐标分别为（ｘＩ，Ｙ１），（ｘ２，ｙ２）（ｘｌ＜ｘ２），ＡＢ巾点 Ｙｏ Ｐ ２ ２ 为Ｅ（ｘ０，ｙ０），因为ｋ－】 一 ‘ 因为ＡＢ是等 ＰＡＢ 证明：设直线方程ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋｓｏ）与圆锥曲线Ｃ： ＋ 一：１ 的底边，所Ｉ２）ＰＥ．Ｉ＿ＡＢ．所以 Ｙ ￣－ｍ ｎ ２＂１＝－１，解￣ｔＸｏ＝－ 一，ｙ。＝ ．所 ｍ≠ｎ，ｍ，ｎ不同时为负）相交于Ａ、Ｂ两点，点Ｐ（ｘ。，Ｙｏ）为弦ＡＢ Ｘｎ＋ｊ ＋３Ｚ Ｚ 的中点，直线与圆锥曲线Ｃ的交点为Ａ（ｘ。，ｙ ），Ｂ（ｘ：，Ｙ２），因为 以直线１的方程为ｖ一一１３：ｘ＋一． Ａ、Ｂ两点都在曲线Ｃ上，所以： ２ ２ ２ ２ ｆ １ｘＩ＋ ：１①ｖ一一 ＝ｘ＋—— ３ ， ＋ ：１② 由｛ ２ ２ ２ ２，解得ｘ。：一３，ｘ ：０，所以ｙ．：一１，ｙ则①一②整理得ｋ 一一Ｘ０・ｎ由点斜式ｙ—ｙｏ＝ｋ（ｘ—ｘ０）求得 Ｉ ＋ ：１ ：２．所以Ｊ ，Ｌ １２ ４ ｉｎ Ｙｏ 直线即可． ＡＢ１＝３、／ 一．此时，点Ｐ（一３，２）到直线ＡＢ：ｘ—ｙ＋２＝０ｆｌ￣距离ｄ＝ 由此可知，只要知道中点坐标和结论就能迅速写出直线 Ｉ－３－２＋２１３Ｘ／２—：—．所以△ＰＡＢ的面积ｓ： ＩＡＢｌｄ： ． 一 方程．当圆锥曲线是抛物线时，也可用点差法类似推导。 、／ ２ ２ ２ 结论２：ｌＪＰ（ｘｏ，ｙｏ）是圆锥曲线 ＋ ＝ｌ（ｍ￣ｎ，１１１，ｎ不同时为 例２：２０１１（陕西文）设椭圆Ｃ： Ｘ＋Ｙ％－＝１（ａ＞ｂ＞０）过点（Ｏ， ａ ｂ一 负）的弦ＡＢ的巾点．则弦ＡＢ所在直线方程为 ＋ ： ＋ ． ４），离心率为三． ５ ｍ ｎ ｍ ｎ ２抛物线的标准方程为ｙ ｐｘ，则弦ＡＢ所在的直线方程为ｙｎｙ （１）求Ｃ的方程； （２）求过点（３，ｏ）且斜率为 的直线被ｃ所截线段的巾点坐标． ＿ｐｘ＝ｙ ｐ）【０；若ｘ ＝２ｐｙ，则弦ＡＢ所在的直线方程为ｘ（】）【一ｐｙ：ｘ ｐｙ０ 证明：因为圆锥曲线 ＋ ＝１（ｍ≠ｎ，ｍ，ｎ不同时为负）关 解析：（１）Ｃ的方程为 ＋ ：１． ｍ ｎ ２（２）直线方程为ｙ＝ （ｘ一３）① 于点Ｐ（ 。，ｙ。）的对称曲线方程为 ＋ ：１，ＡＢ为 设直线与椭圆的两个交点为Ａ（ｘ。，Ｙ。），Ｂ（ｘ ，Ｙ ），ＡＢｆｌ￣巾 两厕锥曲线的公共弦．两方程相减后整理仔ｚ—ＸｏＸ＋ｙｏｙ：Ｘ０＋ 点坐标为（ｘ０，ｙ０），可得直线ＡＢ方程：ＸｏＸｙ＋ｏｙＸｏ： ＋ ＿０（ ，两 ｍ ｎ ｍ ２５１６１６Ｘ０ ，即为弦ＡＢ所在的直线方程．其他情况可类似推导． 式对比得一４： ２．应用举例 一５ Ｙ０ 例１：２０１１（北京文）已知椭圆Ｇ： ＋ ＝１（ａ＞ｂ＞ｏ）的离心 １６ ａ ｂ‘ ￣ｙｏ＝４（牢为 鱼ｘｏ一３），解得所截线段的巾点坐标为（；一，一导） ，右焦点为（２ ，０）．斜率为１的直线ｌ与椭圆ｃ交 参考文献： 于Ａ，Ｂ两点，Ｉ）２ＡＢ为底边作等腰ｌ一角形，顶点为Ｐ（一３，２）． ［１］张文虎．与中点弦有关的几个重要结论［Ｊ］．学周刊Ｃ （Ｉ）求椭圆Ｇ的方程：（Ⅱ）求ＡＡＢＣ的面积． 版，２０１１（５）．
