数列

按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起,从左往右,各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(首项),第2项,第3项,…,第n项,…,其中反映各项在数列中位置的数字1, 2, 3,…,n,…分别叫做对应的项的项数.

我们看到的数列中的数就是数列中的项,而从左往右数出的项的位置数就是该项的项数.

数列与数集的区别:(1)数列是有序的,数集是无序的;(2) 数列中的项可以是相同的数,而数集中的元素必须是不同的数.

只有有限项的数列叫做有穷数列,有无限多项的数列叫做无穷数列.[有穷数列的最后一项叫该数列的末项][根据数列各项之间的大小关系,数列还可分为递增数列,递减数列,摆动数列,常数列] [数列的项数组成的集合为N*(无穷数列)或N*的有限子集(有穷数列)]

从数列的首项开始,各项的项数依次与正整数对应,故无穷数列的一般形式为 a1,a2,a3,…,an,…(n∈N*),简记为{ an}.[下标表示各项的项数]

当n从小到大依次取正整数时,an依次表示数列中的各项,因此,通常把第n项an叫做数列{ an}的通项或一般项.

一个数列的第n项an,如果能够用关于项数n的一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.用花括号将这个式子括起来,表示对应的无穷数列. 给定通项公式的数列是唯一的,但给出了有限项的无穷数列并不唯一.数列不一定有通项公式,同一个数列也有可能写出多个通项公式. Sn= a1+a2+a3+…+an叫做数列{an}的前n项和. 题型总结:

1. 判断一个数列是有穷数列还是无穷数列.

2. 已知数列的通项公式,求出数列的某些项.将通项公式中的n换成要求的项的项数.

3. 判断某个数是否为数列中的一项.让这个数等于通项公式,解出n.若n为正整数,则这个数是数列的项,且项数就是解出的n值;若n不是正整数,则这个数不是数列的项.[也可以凑公式]

4. 已知数列的前几项,写出数列的一个通项公式.观察项与项数的关系,如项是否为正整数的倍数,是否为某个数的正整数次幂,是否与正整数的平方、立方等等有关.若数列为负正相间的数列,则通项公式中包含(-1)n-1或(-1)n+1; 若数列为正负相间的数列,则通项公式中包含(-1)n.若数列的项都是同一个数a,则这个数列是常数

列,通项公式为an=a.

[5.已知Sn关于n的式子,求an.当n=1时, a1 = S1;当n≥2时, an=Sn- Sn-1] 二．

等差数列

如果一个数列从第2项开始,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,一般用字母d表示. 数列{an}为等差数列,d为公差,则an-an-1=d(n≥2), an+1-an=d(n≥1) , an+1=an+d(n≥1) , an-1=an-d(n≥2).

已知等差数列{an}的公差为d,则{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d. [已知等差数列{an}的某两项ak与am,则{an}的公差为𝐝=

𝐚𝐤−𝐚𝐦𝐤−𝐦

, 即公差等于项之差

除以项数差;通项公式为an=am+(n-m)d][若{an}为等差数列,m,n,s,t ∈N*,且m+n=s+t,则am+an=as+at ,即项数和相等,则同样个数的项的和也相等;特别的,若m+n=2s,则am+an=2as]

已知等差数列{an}的公差为d,则{an}的前n项和公式为𝐒𝐧=

𝐧(𝐧−𝟏)𝟐

𝐧(𝐚𝟏+𝐚𝐧)

𝟐

=𝐧𝐚𝟏+

𝐝.[逆序相加法][若{an}为等差数列,则S2n-1= (2n-1)an][an+1+a n+2+a n+3+…

+an+k=Sn+k-Sn= Sk+knd] 题型总结:

1. 在等差数列{an}中,已知a1,n,d,an,Sn中的任意三个量, 可以列方程或方程组求an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d

出剩下的一个量或两个量. 或n(a1+an)n(n−1)

Sn=Sn=na1+2d

22. 等差数列{an}的某两项ak与am,求出a1与d(或通项公式,前n项和公式). ak=a1+(k−1)da−a

,两式相减得ak-am=(k-m)d,故d=km.再

k−mam=a1+(m−1)d

将d代入两式中任意一个求出a1. 解法1:联立方程组 [解法2:公差d=

ak−amk−m

,通项公式为an=am+(n-m)d]

3. 已知等差数列的前几项,求通项公式,某一项或前多少项和.写出首项a1,公差d=an-an-1[相邻两项后一项减前一项],再代入通项公式与前n项和公式. 4. 三个数成等差数列,一般设三个数为a-d,a,a+d,其中d为公差.

5. 在a与b之间插入若干个(n-2)数,组成一个项数为n的等差数列,求插入的所有数.

由a1=a, an=b得b=a+(n-1)d,解出d.再由a2=a+d, a3=a2+d,…,an-1=an-2+d求出插入的所有数.

6. 利用S2n-1= (2n-1)an; m+n=s+t,则am+an=as+at等性质有时可以化简运算. 7. an+1+a n+2+a n+3+…+an+k=Sn+k-Sn= Sk+knd.

8. 存款利息=本金×期利率×期数,存款本利和=本金×(1+期利率×期

数),月利率=

年利率12

. 某人以零存整取的方式将钱存入银行,每期存入钱数为都a,共存n期,期利率为i,则到期后本利和为na+a∙i∙ 1+2+⋯+n =na+三．

等比数列

n(n+1)2

ai.

如果一个数列从第2项开始,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,一般用字母q表示. 数列{an}为等比数列,q为公比,则首项a1与公比q都不等于零, 且𝐚

𝐚𝐧

𝐧−𝟏

=𝐪(𝐧≥𝟐),

𝐚𝐧+𝟏𝐚𝐧

=𝐪(𝐧≥𝟏),𝐚𝐧+𝟏=𝐚𝐧𝐪(𝐧≥𝟏) ,𝐚𝐧−𝟏=

𝐚𝐧𝐪

(𝐧≥𝟐).

[常数列是公差为0的等差数列,非零常数列是公比为1的等比数列]

[若a1>0,q>0,等比数列{an}为全正的数列; 若a1<0,q>0,等比数列{an}为全负的数列; 若a1>0,q<0,等比数列{an}为正负相间的数列; 若a1<0,q<0,等比数列{an}为负正相间的数列]

已知等比数列{an}的公比为q,则{an}的通项公式为an=a1q n-1.[已知等比数列{an}的某两项ak与am,则𝐪𝐤−𝐦=𝐚𝐤;通项公式为an=amq n-m] [若{an}为等比数列,m,n,s,t ∈N*,

𝐦

𝐚

且m+n=s+t,则am·an=as·at ,即项数和相等,则同样个数的项的积也相等;特别的,若m+n=2s,则am·an=as2]

已知等比数列{an}的公比为q,则{an}的前n项和公式为𝐒𝐧= 𝐚𝟏−𝐚𝐧𝐪

𝟏−𝐪

𝐧𝐚𝟏,当𝐪=𝟏时=

𝐚𝟏(𝟏−𝐪𝐧)𝟏−𝐪

,当𝐪≠𝟏时

.[错位相减法] [an+1+a n+2+a n+3+…+an+k=Sn+k-Sn=

qnSk] 题型总结:

1. 在等比数列{an}中,已知a1,n,d,an,Sn中的任意三个量, 可以列方程或方程组求出剩下的一个量或两个量.(特别注意,若q未知,则需讨论q=1是否满足题意) an=a1qn−1 an=a1qn−1

a1−anq或 𝐚𝟏(𝟏−𝐪𝐧) Sn=1−qSn=

𝟏−𝐪

2. 等比数列{an}的某两项ak与am,求出a1与q(或通项公式,前n项和公式). ak=a1qk−1akk−m

解法1:联立方程组 ,两式相比得q=,根据k-m的奇偶求出q.m−1amam=a1q再将q代入两式中任意一个求出a1.

[解法2:公比qk−m=ak,通项公式为an=amq n-m]

m

a

若k-m为奇数,则q只有一个.若k-m为偶数,则q有两个,看题目中是否有限定条件;如果没有限定条件分情况讨论;如果有限定条件,判断是否需要去掉某个值. 3. 已知等比数列的前几项,求通项公式,某一项或前多少项和.写出首项a1,公比q=a

an

n−1

[相邻两项后一项除以前一项],再代入通项公式与前n项和公式.

a

4. 三个数成等比数列,一般设三个数为q,a,aq,其中q为公比.

5. 在a与b之间插入若干个(n-2)数,组成一个项数为n的等比数列,求插入的所有数.

由a1=a, an=b得b=aq n-1,解出q.再由a2=aq, a3=a2q,…,an-1=an-2q求出插入的所有数. 6. 利用m+n=s+t,则am·an=as·at等性质有时可以化简运算. 7. an+1+a n+2+a n+3+…+an+k=Sn+k-Sn= qnSk.

8. 等额本息分期付款模型.贷款本金为A,贷款期数为n,期利率为i. 一次性偿还金额为S=A(1+i),分期付款每一期偿还金额为a=

解题时先看清是等差数列还是等比数列.

n

A∙(1+i)n∙i(1+i)n−1

.

练习

1.根据数列{an}, {bn}的通项公式,写出它的前5项：

n(1)n (1)an=； (2)bn=n．

n122.写出一个数列的通项公式,使它的前4项分别是下列各数： (1)1, 1, 1, 1, …； (2)2, -4, 6, -8, …．

12343.已知数列的通项公式,求其前4项：

1(1)n1 (1)an=10n；(2)an=；(3)an=3；(4)an=n(n+2)．

nn4.已知数列的前4项,试求出其通项公式：

(1)2, -4, 6, -8, 10, …； (2)1, -1, 1, -1, …； 111115913(3), , , ,…； (4), , , ,…． 222224816n25. 已知数列{an}的通项公式an=,8.1是这个数列中的项吗？如果是,是第几项？

n16.下面的数列中,哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列,求出公差d： (1)-0.70,-0.71,-0.72,-0.74,-0.76,…；(2)-9,-9,-9,-9,-9,…； (3)-1,0,1,0,-1,0, 1,…； (4)1,4,7,10,13,…. 7.下列数列都是等差数列,试求出其中的未知项： (1)3,a,5； (2)3,b,c,-9．

8.下面的数列中,哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列,求出公差d： (1)-1,-1,-1,-1,…； (2)1.1,1.11,1.111,1.1111,…；

111111(3)-3,-1,1,4,6,…； (4)1, 0, 1, 0,1,…； (5)1, , , , ….

2222349.已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数： (1)( ), 5, 10； (2)31, ( ), ( ), 1． 10.(1)求等差数列8, 5, 2,…的第20项；

(2)在等差数列{an}中,已知a5=10, a12=31,求首项a1与公差d．

151311.设等差数列{an}的公差d=, an=, 前n项之和Sn=－．求首项a1及n．

22212.组由直径成等差数列的6个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm,求中间四个滑轮的直径．

13.求等差数列3, 7, 11,…的第4项与第10项．

14.等差数列的通项公式为 an=-2n+7,求其首项和公差． 15.在等差数列{an}中,已知a3=10, a9=28,求a12．

16.梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度.

17.-401是不是等差数列-5, -9, -13, … 的项？如果是,是第几项？如果不是,说明理由． 18.(1)求正奇数前100项之和；

(2)等差数列的通项公式为an=100-3n,求前65项之和；

1(3)在等差数列{an}中,已知a1=3, d=,求S10．

219.在等差数列{an}中:

(1)已知an=2-0.2n, 求S50； (2)已知an=

n, 求第10项至第50项的和S； 3(3)已知a1=100, d=-2, 求S50； (4)a1=14.5, d=0.7, 求S32．

5220. 设{an}是等差数列,a1=, n=34, Sn=-158,求an和公差d．

6321. 在一个成等腰梯形屋面上铺瓦,最上面一层铺了21块,往下每一层多铺2块,共铺了19

层,问共铺了多少块瓦片？

22. 已知一个等差数列{bn}的首项b1=-35,公差d=7,这个数列的前多少项和恰好为0？

23.下面是数列{an}的前4项,据此判断哪些是等比数列？为什么？如果是等比数列,求出公比q： (1)-1, -4, -16, -, …； (2)2, 2, 2, 2, …；

1111(3)1, , , , , …； (4)0, 1, 2, 22, 23, 24, … ．

246824.求出下列等比数列中的未知项：

1(1)2, a, 8,(a>0)； (2)4, b, c, ．

225. 下面是数列{an}的前4项,由此判断哪些是等比数列？为什么？如果是等比数列,求出公比q：

1(1)0, 0, 0, 0,…； (2)1.21, 1.331, 1.41, 1.61051, …； (3),0.1,10,100, …．

10026. 已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数： (1)( ), 3, 27；(2)16, ( ), ( ), 2．

27.已知等比数列{an}为2, 6, 18, , …,求其公比q, a5和an． 28.在等比数列{bn}中, (1)已知b1=3, q=2,求b6；；(2)已知b3=20, b6=160,求bn．

29. 设0.3, 0.09, 0.027, ...为一等比数列{bn}的前3项,求其公比q及第5项和第n项．

130. 已知等比数列的通项公式an=10n,求其首项与公比．

431. 在等比数列{an}中,a3=2, a6=18,求q与a10．

32. 在9与243中间插入两个数,使它们与这两个数成等比数列．

133.在等比数列{an}中,(1)已知a1=-4, q=,求前10项的和S10；

2(2)已知a1=1, ak=243, q=3,求前k项的和Sk．

34.已知等比数列{an}中的a2=5, a5=40,求其前7项之和S7． 35.在等比数列{an}中：

(1)a4=27, q=-3,求a7； (2)若a3=-1, a6=-8,求公比q及a10；

1(3)若a7=-, a2=25,求公比q及a1． 12536. 已知{an}为等比数列,a7=2, a17=2048,求a12．

11137. 求等比数列1, -, , -, ...的前之和．

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