圆锥曲线解题 3：过已知曲线上定点的弦的问题

招式三：过已知曲线上定点的弦的问题

22xy例题4、已知点A、B、C是椭圆E：221 (ab0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶ab点，直线BC过椭圆的中心O，且A，BC2AC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；CBC0(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x3对称，求直线PQ的斜率。 解：(I) BC2AC，且BC过椭圆的中心O ACBC0ACOOCAC2又A (23,0)点C的坐标为(3,3)。 a23，则椭圆方程为：A(23,0)是椭圆的右顶点，x2y221 12b将点C(3,3)代入方程，得b4，椭圆E的方程为x2y21 1242(II) 直线PC与直线QC关于直线x3对称， 设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，从而直线PC的方程为：

ykx，即y，由y3k(x3)kx3(1k)3(1k)消y，整理得： 22x3y120222x3是方程的一个根， (13k)6x3k(1k)x9kk183029k18k39k18k39k18k3即同理可得： xx3PQ22213k3(13k)3(13k)22xPyykx3(1k)kx3(1k)(Px)23k＝kx＝PQPQQ229k18k39k18k3yPy1 Q＝36kxxkPQPQ22x33(13)k3(13)k3(13k2)PxQ12k 23(13k)则直线PQ的斜率为定值

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