高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1 已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦轴的夹角为，且点外分弦

。（1）当焦点内分弦

。

时，有

与的焦点所在的

；（2）当焦

时（此时曲线为双曲线），有

证明 设直线是焦点所对应的准线，点线

上的射影为

在直线上的射影分别为

，又

，点在直

，所以

。由圆锥曲线的统一定义得，

。

（1） 当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1

（2） 当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2

评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，

过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（ ）

解 这里故选。

，所以，又，代入公式得，所以，

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆。过右焦点且斜率为

的直线于相交于

两点，若

，则

的离心率为（ ）

解 这里

，所以

，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以

，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线直线，与抛物线交于

两点（点在轴左侧），则有

的焦点作倾斜角为＿＿＿＿

的

图3

解 如图3，由题意知直线设

，又

与抛物线的地称轴的夹角

，解得

，当点在轴左侧时，

。

，代入公式得，所以

例4 （2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段

的延长线交于点，且

，则的离心率为＿＿＿

解 设直线，所以

与焦点所在的轴的夹角为，则。

，又，代入公式得

例5（自编题）已知双曲线为

的直线交的两支于

两点。若

的离心率为，则

＿＿＿

，过左焦点且斜率

解 这里入公式得

，，因直线，所以

与左右两支相交，故应选择公式所以

，所以

。

，代

定理2 已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦则有

。

与曲线的焦点所在的轴的夹角为

，

证明 设点点

，交直线

在准线上的射影分别为于点。

，过点作轴的垂线交直线于

。由圆锥曲线的统一定义得，，所以

图4

（1）当焦点内分弦时。如图4，。

，，

所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

图5

如图5，，。

所以，

所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

综合（1）（2）知，较长焦半径弦长公式为

。

，较短焦半径。焦点弦的

特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距

，较短焦半径

曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为

就是径之半，较长焦半径

。当曲线为有心

，焦点弦的弦长公式为

。

注 由上可得，当焦点内分弦外分弦

时，有

时，有

。

。当焦点

例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的直线，交抛物线于

两点，若线段

的长为8，则

的焦点作倾斜角为

＿＿＿

解 由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。

例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆经过且倾斜角为

的直线与椭圆相交于不同两点

，已知

的右焦点为，。

（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。

解 （1）这里，，由定理1的公式得，解得。

（2）将即

，所以，所以

，代入焦点弦的弦长公式得，①，又

，设

。

，代入①得

，解得

，所以

，

，故所求椭圆方程为

例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线交双曲线于

两点，则

的值为＿＿＿

的右焦点作倾斜角为的直线，

解 易知倾斜角为

均在右支上，因为

。由焦半径公式得，

，离心率

，点准距，因

，所以

。

例9 （由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的直线，交双曲线于

两点，则

的值为＿＿＿

的右焦点作倾斜角为

解 因为。注意到

，离心率，点准距，因倾斜角为，所以

分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，

。

例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆过的直线交椭圆于的最小值。

两点，过

的直线交椭圆于

的左、右焦点分别为

两点，且

，

。求四边形面积

图6

解 由方程可知，，则。

设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴

的夹角为。代入弦长公式得，

，。故四边形的面积为，

。

所以四边形面积的最小值为。

参考文献：

①郑丽兵。一道解析几何调研题的解答、拓广与应用。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

②玉邴图。两道高考题的统一推广。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

③万尔遐。曲线 何必与方程捆绑。数学通讯。2010（6）（下半月）。