一元二次方程的应用练习题及答案

1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元． （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．

2．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．

（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元）

（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

8．）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

9．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．

10．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

11．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？

（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．

参考答案与试题解析

1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元． （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元． 【考点】一元二次方程的应用增长率问题．

【解答】解：设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）

2

万元．

则2500（1+x）2=3025，

解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．

（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．

故根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．

2．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．

（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？ 【考点】一元二次方程的应用增长率问题． 【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得 57.5（1+x）2=82.8

解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去） 答：增长率为20%；

（2）由题意，得

82.8（1+0.2）=99.36公顷，

答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷． 【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．

3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 【考点】一元二次方程的应用销售问题．

【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件， 根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，

解得x1=1，x2=4，

又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元， 答：应将销售单价定位56元．

【点评】本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 100+200x 斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【考点】一元二次方程的应用销售问题．

【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+（斤）；

（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300， 解得：x=或x=1，

当x=时，销售量是100+200×=200＜260；

×20=100+200x

当x=1时，销售量是100+200=300（斤）． ∵每天至少售出260斤， ∴x=1．

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．

【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．

5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 【考点】一元二次方程的应用销售问题． 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元， 根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200， 整理得2x2﹣60x+400=0 解得x1=20，x2=10．

因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元．

（2）设商场平均每天赢利y元，则 y=（20+2x）（40﹣x） =﹣2x2+60x+800

=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625] =﹣2（x﹣15）2+1250．

∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；

（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．

6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量y（件） 1000﹣10x 销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000

（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

【考点】一元二次方程的应用销售问题． 【解答】解：（1） 销售单价（元） x 销售量y（件） 1000﹣10x

销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000 （2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000， 解之得：x1=50 x2=80，

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W与x的函数关系．

7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

【考点】一元二次方程的应用几何图形问题． 【解答】解：设垂直于墙的一边为x米，得： x（58﹣2x）=200 解得：x1=25，x2=4

∴另一边为8米或50米．

答：当矩形长为25米时，宽为8米；当矩形长为50米时，宽为4米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

8．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍

的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

【考点】一元二次方程的应用几何图形问题．

【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得 x（25﹣2x+1）=80，

化简，得x2﹣13x+40=0， 解得：x1=5，x2=8，

当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．

9．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．

【考点】一元二次方程的应用几何图形问题． 【解答】解：设小路的宽为xm，依题意有 （40﹣x）（32﹣x）=1140， 整理，得x2﹣72x+140=0．

解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）． 答：小路的宽应是2m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出4块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 10．）某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

【考点】一元二次方程的应用几何图形问题．

【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．

解得x1=1，x2=8（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度是1m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键．

11．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？

（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用几何图形问题． 【解答】解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得

（）2+（）2=58，

解得：x1=12，x2=28，

当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，

当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）． 答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；

（2）李明的说法正确．理由如下：

设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得 （）2+（

）2=48，

变形为：m2﹣40m+416=0，

∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0， ∴原方程无实数根，

∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．