2018-2019学年浙江省宁波市高二上学期期末考试数学试题

2018-2019学年浙江省宁波市高二上学期期末考试

数学试题

★祝考试顺利★ 注意事项：

1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.已知圆C的方程为A.

，2 B.

，2 C.

，则它的圆心和半径分别为

， D.

，

【答案】C 【解析】 【分析】

直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案． 【详解】由圆C的方程为故选：C．

【点睛】本题主要考查了标准方程的应用，其中解答中熟记圆的标准方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2.直线

的倾斜角为

，可得它的圆心和半径分别为

，．

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】

- 1 -

【分析】 由直线的斜率

，设它的倾斜角等于，则

，可得直线的斜率，且

，

，且

， ，

，即可求解.

【详解】由题意，直线设它的倾斜角等于，则 故选：A．

【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，其中解答中熟记直线的斜率和倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3.已知空间向量A.

B.

1，， C. 1 D. 2

，且

，则

【答案】C 【解析】 【分析】

利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值． 【详解】由题意知，空间向量所以

，所以

1，，

，即

，且，解得

， .

故选：C．

【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4.已知直线A. 1 B. 【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案． 【详解】由题意，当

，即

时，直线

化为

，

C.

在两坐标轴上的截距相等，则实数或1 D. 2或1

- 2 -

此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意； 当

，即

时，直线

化为

，

由直线在两坐标轴上的截距相等，可得综上所述，实数故选：D．

或

．

，解得；

【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5.对于实数m，“

”是“方程

表示双曲线”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】

根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由题意，方程所以“故选：C．

【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题. 6.设x,y满足

( )

”是“方程

表示双曲线，则

，得

，

表示双曲线”的充要条件，

A. 有最小值2，最大值3 B. 有最小值2，无最大值 C. 有最大值3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 【答案】B 【解析】

- 3 -

试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点无最大值.

处取得最小值为,

考点：线性规划. 7.设

为两条不同的直线，

为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )

A. 若不平行于，则在内不存在，使得平行于 B. 若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于 C. 若不平行于，则在内不存在，使得平行于 D. 若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于 【答案】D 【解析】 【分析】

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

【详解】若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误； 若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误； 若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；

若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D正确． 故选：D．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查线面间的位置关系判定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 8.已知两点

，

，若直线

上存在四个点

2，3，，使得

是

直角三角形，则实数k的取值范围是

- 4 -

A. C.

B.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】 根据

是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线

相交，且

，然后利

用直线和圆相交的等价条件进行求解即可． 【详解】当

，

时，此时存在两个直角三角形，

是直角三角形， 2，3，，使得相交，且

，

，

是直角三角形，

当MN为直角三角形的斜边时，要使直线

上存在四个点

等价为以MN为直径的圆和直线圆心O到直线

的距离

平方得即

，又

实数k的取值范围是故选：D．

，即，

，即，得，

，

【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的位置关系的应用，其中解

答中根据条件结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键，着重考查了

分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 9.已知双曲线：方程均为A. B.

，：

，且离心率分别为，，则

，若双曲线，的渐近线

的最小值为

C. D.

- 5 -

【答案】B 【解析】 【分析】

根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得据基本不等式，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，双曲线，的渐近线方程均为

，所以

，

，

，

，即

，再根

则，，

所以所以则所以故选：B．

，，所以

，当且仅当

，所以

，

，即，

时取等号，即时取等号，

【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程和基本不等式的应用，其中解答中根据题意求解关于查了推理与运算能力，属于中档试题.

10.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥

为阳马，且

，

底面

若E是线段AB上的点含端点，设

的平面角为，则

的方程，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考

SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】

- 6 -

【分析】

由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念，分别求得三个角的正切函数，根据正切函数的性质，即可得到答案. 【详解】由题意，四棱锥

为阳马，且

，

底面

是线段AB上的点， 的平面角为，

设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角当点E与A点不重合时， 在则因为又由所以

，所以，所以。

,则

，

上取点，分别连接

,，所以，所以

， ，

，使得

， ,

，

当点E与点A重合时，此时所以综上可知故选：A．

．

【点睛】本题主要考查了异面直线所成角、线面角、二面角

的大小的判断，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档试题. 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11.椭圆

的长轴长为______，左顶点的坐标为______．

【答案】 (1). 10 (2). 【解析】 【分析】

根据椭圆的标准方程，求得

的值，即可得到答案.

- 7 -

【详解】由椭圆长轴长

可知，椭圆焦点在y轴上，则

．

，即，

，左顶点的坐标为

．

故答案为：10；

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标准方程的性质，正确求解

的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一

12.命题“若整数a，b都是偶数，则

个______命题可填：“真”，“假”之一 【答案】 (1). 若两个整数a，b不都是偶数，则【解析】 【分析】

由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则判断真假．

【详解】由题意，命题“若整数a，b都是偶数，则a，b不都是偶数，则由a，b均为奇数，可得

不是偶数”，

为偶数，则原命题的否命题为假命题，

不是偶数，假．

是偶数”的否命题可表示为“若整数

为偶数，即可

不是偶数 (2). 假

故答案为：若整数a，b不都是偶数，则

【点睛】本题主要考查了命题的否命题和真假判断，其中解答中熟记四种命题的概念，正确书写命题的否命题是解答的关键，着重考查了判断能力和推理能力，是一道基础题． 13.已知圆C：则a的值为______． 【答案】 (1). 【解析】 【分析】

利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解，即可得到答案． 【详解】由题意，圆若方程表示圆，则圆心若圆即

，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C外切，

(2). 3

，可得得

，得，

， ，得

，

- 8 -

， ，

，即实数a的取值范围是

，半径

与圆C外切，则，即

，即

故答案为：，3．

【点睛】本题主要考查了圆的方程以及两圆的位置关系的应用，其中解答中利用配方法求解，以及根据两圆的位置关系，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14.已知AE是长方体直的棱共有______条 【答案】4 【解析】 【分析】 作出长方体

，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直

的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂

的棱的条数，得到答案． 【详解】由题意，作出长方体

，如图所示，

在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条． 故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了异面直线的定义及应用，其中解答中正确理解异

面直线的概念，利用列举法准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算、求解能力，属于基础题. 15.已知双曲线

，则

【答案】17或1 【解析】 【分析】

根据已知条件，求得的值，再利用双曲线的定义进行求解，即可得到答案． 【详解】由题意知，双曲线

的一个焦点为

，

，

的一个焦点为

______用数值表示

设另一个为，P是双曲线上的一点，若

- 9 -

又由，， ，

，

因为为双曲线上一点，且根据双曲线的定义可知所以

，或

，

故答案为：17或1

【点睛】本题主要考查了双曲线的定义与标准方程的应用，其中解答中运用双曲线的定义

是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

16.如图，在棱长为3的正方体点，且满足

，则线段

中，点E是BC的中点，P是平面

的长度的取值范围为______．

内一

【答案】【解析】 【分析】

首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，即可求解． 【详解】由题意知，在平面设

，则

，

，，

的最大值为

，

，根据三角形的面积公式，可得

，

内，以D为原点建立坐标系，如图所示，

，整理得

，

设圆心为M，求得所以所以

的最小值为的取值范围是

．

故答案为：

- 10 -

【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及圆外一点到

圆上点的距离的最值问题，其中解答中利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，确定点P轨迹为圆，转化为点到圆上各点的距离最值问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 17.已知

，

及两直线：______，

，：

，作直线垂直于，，且垂

足分别为C、D，则的最小值为______

【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】

利用两平行线间的距离公式能求出求得

；设直线CD的方程为，求得C,D坐标，可

的最小值，得到答案．

，：

互相平行，

【详解】由题意知，两直线：

作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示， 由两平行线间的距离公式可得因为

，

及两直线：

， ，：

，

作直线垂直于，，且垂足分别为C、D， 设直线的方程为联立方程组

， ，解得

，同理求得

，

所以，

其中当点

重合时，取得最小值，

表示点与点和之间的距离之和，

- 11 -

所以的最小值为

的最小值为

．

，

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段和的最小值的求法，其中解答中根据两平行线间的距离公式，以及两点间的距离公式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18.在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线Ⅰ若l与直线Ⅱ若l与圆【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】

联立方程组求出点线l的方程为

，由点

，且所求若l与直线

垂直，设所求直

垂直，求直线l的方程； 相切，求直线l的方程． （Ⅱ）

或

和

的交点P．

，将点P坐标代入能求出直线l的方程．

求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．

【详解】Ⅰ由题意，联立由于点

，且所求直线l与直线

， ，解得．

， ，

，解得

，垂直，

，则点

设所求直线l的方程为将点P坐标代入得故所求直线l的方程为由所以圆心为

，可得圆的标准方程为，半径为2，

，满足条件，

若直线l的斜率不存在，此时

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为则圆心到直线l的距离

，解得

，

，

- 12 -

所以所求的方程为所以直线的方程为

或

，即

。

，

【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，以及直线和圆的位置关系等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题. 19.如图，

，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，F

Ⅰ求证：Ⅱ若

，

；

，

，

，求直线AD与CF所成的角．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】 【分析】

Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；

Ⅱ根据异面直线所成角的定义，找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解． 【详解】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG． 由

，平面

，可得； ，，，

，

，所以

，所以

或其补角就是直线AD与CF所成的角．

，

，

，平面，则

．

，所以

，则

，

同理，由所以Ⅱ因为因为又

- 13 -

由余弦定理可得

即直线AD与CF所成的角为

．

，得．

【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理、余弦定

理的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中正确认识空间图形的结构特征，利用异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与论证能力，属于基础题. 20.如图，在四棱锥

中，平面

平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段

DM上，且．

Ⅰ证明：Ⅱ若

，

平面ADM；

，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为

，试确定点F的位置．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）是DM的中点． 【解析】 【分析】 Ⅰ推导出Ⅱ由

平面MCD，平面ADM，知

，再由，从而

，能证明，过M作

平面ADM．

，交CD于O，则

平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点． 【详解】Ⅰ平面

，

平面MCD，平面平面，

平面ABCD，

- 14 -

平面MCD， 平面MCD，

又

，

，

平面ADM． ，所以

，

，

由线面垂直的判定定理可得Ⅱ由过M作因为平面

平面ADM，知

，交CD于O， 平面MCD，所以

平面ABCD，

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则设

0，，

，

，

设平面MBC的一个法向量

2，，，则

2，，， 0，，

y，，

， 0，，

1，，

则由，得，取，得1，，

设直线AF与平面MBC所成的角为，则，

所以，

解得，即是DM的中点．

【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直

线与平面所成角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题. 21.已知抛物线C：

的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O- 15 -

为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为． Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示 Ⅱ求抛物线C的方程； Ⅲ设直线l：面积为

与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且

的

，求直线l的方程．

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】 Ⅰ根据焦点Ⅱ由题意可得Ⅲ先判断即可求出．

以及的外接圆的圆心为Q，即可求出； ，解得

，即可求出抛物线方程；

为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式

【详解】Ⅰ由题意，设因为焦点则线段

以及

，

的外接圆的圆心为Q，

，所以点的纵坐标为，所以

，解得

. ，

的垂直平分线的方程为

（Ⅱ）由抛物线C的准线方程为所以抛物线C的方程Ⅲ可知

，

，

． ，

为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，

点Q到直线AB的距离，

设，，

，联立方程组

，

，消y可得，

，

，即

，

- 16 -

解得，即，

所以直线l的方程为

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中把直线的方程与抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系和弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于中档试题. 22.已知椭圆E：

的离心率为，直线l：

与椭圆E相交于M，N两，且直线l外的一点Q满

点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为足：

，

．

Ⅰ求椭圆E的方程； Ⅱ求点Q的轨迹； Ⅲ求

面积的最大值．

除去四个点

、

、

、

的曲线；

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）椭圆（Ⅲ）

【解析】 【分析】

Ⅰ先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程； Ⅱ设点

，设点

，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，

通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；

Ⅲ求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出最大值；

或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线

与椭圆E相切，联立，利用

，面面积的

得出m的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出积的最大值；

- 17 -

或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出【详解】Ⅰ由题意，点M的横坐标为

，且在直线

面积的最大值． 上，可得

，

又M在E上，所以，另外，

所以可解得，，得E的方程为；

，

Ⅱ由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以设点则由即两时相乘得

，，

， ，，得

，

． ，

，，

，

又因为点在E上，所以，，即，

代入即当当此时，

时，得时，则得或

；

， ．

或．

．

，也满足方程

． 或

． 或除去四个点的距离

若点P与点M重合，即由

，解得

若点P与点N重合时，同理可得故所求点Q的轨迹是：椭圆Ⅲ因为点

到直线

．

、，且易知

、

，

、

的曲线；

- 18 -

所以，的面积为

． 当且仅当

时，即当

或

时，等号成立，

所以，面积的最大值为；

一几何相切法：设l的平行直线，由，得，

由得．

与相切的切点为

，设

，

面积的最大值为

因为

．

，

，

、

，易得

面积的最大值为

可得此时椭圆因为

二三角换元法：由Q的轨迹方程代入易得

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，属于难题.

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