线性规划练习试题含答案及解析

线性规划练习题含答案

一、选择题

yx2,1．已知不等式组ykx1,所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为

x0A．－1 B．【答案】B

【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB的面积为2, AOC的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A（2，0），B（0，1）时符合要求，此时k11 C． D．1 221,故选B。 2

2．定义max{a,b}aab，已知实数x,y满足x1,y1，设zmaxxy2,xybab则z的取值范围是 （ ） ，

A、3333,2 B、,2 C、,3 D、,3 2222【答案】D

【解析】zmaxxy,2xyxy,xy2xyxy,x2y0， 2xy,xy2xy2xy,x2y03z2；当z=2x-y时，对应的点落在直线x-2y=0的右下2当z=x+y时，对应的点落在直线x-2y=0的左上方，此时方，3z3 2

x0,y33．若实数x，y满足y0,则z的取值范围是（ ）

x14x3y12, 专业知识整理分享

A． (,7) 34B．,5 C．,7 3322 D．,7 43【答案】D

【解析】作出如右图所示的可行域，由于z合，可知kPAzkPB,3kPA,kPB4y3的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结x137,z[,7],应选D

4x14．设x,yR且满足x2y30，则zx2y的最小值等于 ( )

yxA. 2 【答案】B

B. 3 C.5

D. 9

x1【解析】解：因为设x,yR且满足满足x2y30yx故其可行域为

当直线Z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取最小值3， 故选B

xy0,5．若实数x，y满足条件xy30,则2xy的最大值为（ ）

0x3,（A）9 （B）3 （C）0 （D）3 【答案】A

【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y过点A时，Z取得最大值.因为A(3,-3)，所以Zmax=23(3)9,故选A.

试卷第2页，总12页

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xy0

6．设变量x，y满足约束条件xya，若目标函数z=2x+6y的最小值为2，则a=

x2y1

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A

【解析】解：由已知条件可以得到可行域，，要是目标函数的最小值为2，则需要满足直线过x2y1与x+y=a的交点时取得。则为（2a-1,1-a）,代入目标函数z=2x+6y中，求解得到a=1.

2xy07．实数x,y满足不等式组xy20，且zaxya0 取最小值的最优解有无穷多个, 则实数a的取值是

6x3y18（ ）

A．4 B．1 5C．2 D．无法确定

【答案】B

【解析】解：如图所示

要是目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax+y=0,并平移过点C(,)，（可行域最左侧的点）的边界重合即可。注意到a>0，只能与AC重合，所以a=1

228．已知点集A(x,y)xy4x8y160，B(x,y)yxm4,m是常数，点集A所表示的平面

2433区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为M,N.若点D(m,4)在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN的面积的最大值是

A. 1 B. 【答案】B

2 C. 22 D. 4

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【解析】解：

因为点集A表示的为圆心为（2,4），半径为2的圆，而点集B表示为绝对值函数表示的区域则利用数形结合思想，我们可以求解得到。【题

型】选择题

xy109．在平面直角坐标系中，若不等式组x10（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（ ）

axy10A． -5 B．1 C． 2 D． 3 【答案】D 【解析】解：

当a<0时，不等式表示的平满区域如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a0，此时不等式表示的区域为如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B（1,4），代入y=ax+1，得a=3 10．已知方程：x2ax2b0 (aR,bR)，其一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内，则z(a3)2b2的取值范围为 A. (21,2) B. (,4) C. (1,2) D. (1,4)

22【答案】B 【解析】解：

解：设f(x)x2ax2b,由图像可知，f(0)0f(1)0,f(3)0三者同时成立，求解得到b0,a2b10,2a2b40由线性规划知识画出可行域，以a为横轴，b为纵轴，再以z(a3)2b2为目标，几何意义为区域内的点到（-3,0）的距离的平方，当a=-1，b=0时，z最大为4，当点到直线a+2b+1=0的距离为21，z最小为，由题目，不能去边界22 试卷第4页，总12页

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x02y2,则s的取值范围是（ ） 11．变量x,y满足约束条件yxx13x4y120A．[1,4] 【答案】B

B．[2,8]

C．[2,10]

D．[3,9]

x02y2y1y12【解析】约束条件yx表示的区域如图，s，表示点（x，y）与点（-1，-1）的x1x1x13x4y120斜率，PB的斜率为最小值，PA的斜率为最大值，斜率的取值范围是[1,4]，2y1的取值范围是[2,8]。 x1

x112．若变量x,y满足约束条件yx 则z=2x+y的最大值为

3x2y5（A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】C

【解析】：∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与当x1,y1时

yx 与3x2y5的交点为最优解点，∴即为（1，1）

，

zmax3

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13．在集合A{(x,y)|x1,y1,xy4}中，x2y的最大值是 A、5 B、6 C、7 D、8． 【答案】C

【解析】画出不等式组表示的平面区域,可以看出,当直线zx2y经过点(1,3)时, zx2y最大值为7,故选C. 14．设集合A{(x,y)|x,y,1xy是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是( )

yyy0.5y A B． C．

0.50.50.50.5 D．

0.5o0.5xoxo0.5xox【答案】A 【解析】解：

由题意可知，x0,y0, 1xy01xx1yy即为所求的区域A

xy40y115．目标函数z，变量x,y满足xy0，则有( )

xx1A．zmax2,zmin0

B．zmax3,zmin0

C．zmin3,zmin1无最大值 D．zmax0,zmin2 【答案】A

【解析】解:利用不等式组，做出可行域，然后目标函数表示的为，区域内的点，到定点（0,1），直线的斜率的取值范围，则可以利用边界点得到选项A

x2y5≥016．．设m为实数，若{(x，y)|3x≥0，x、yR}{(x，y)|x2y2≤25}，则m的最大值是（ ）

mxy≥0A．3 4B．432 C． D． 233【答案】B

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x117．已知点(x,y)是不等式组xy4表示的平面区域内的一个动点，且目标函数z2xy的最大值为7，

axbyc0最小值为1，则

A．2

abc的值为（ ） a1B． 2 C．-2

D．-1

【答案】C

x02y2,则s的取值范围是 （ ） 18．变量x,y满足约束条件yxx13x4y120A.[1,4] 【答案】B

B.[2,8]

C.[2,10]

D.[3,9]

y1≤0,19．已知变量x，y满足约束条件xy≥0,则z2x4y的最大值为

xy2≤0,A．16 【答案】B

B．32

C．4

D．2

x2y301220．设x,y满足约束条件2x3y40，若目标函数 zaxby（其中a0,b0）的最大值为3,则aby0的最小值为 A.3

B.1

C.2

D.4

【答案】A

ì3x-y-6≤0,ïï23ï21．设x，y满足约束条件ïíx-y+2≥0,若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为 ïabïïx≥0,y≥0,ïî8A．

3【答案】B

B．25 6 C．11 3 D． 4

yx22．设m>1，在约束条件ymx下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m 的值为_______。

xy1【答案】3

0x23．已知在平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组y2给定。若M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为

x2y(2,1)，则zOMOA的最大值为（ ）

A．42

【答案】C

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B．32

C．4 D．3

x1124．已知点P(x,y)满足y1，点Q在曲线y(x0)上运动，则PQ的最小值是( )

xxy10 A．

【答案】A

322 B． C．22 D．2 22x125．设不等式组x-2y+30所表示的平面区域是1,平面区域2与1关于直线3x4y90对称,对于1中的

yx任意一点A与2中的任意一点B, |AB|的最小值为( ) A．

2812 B． C．4 D．2

55

【答案】C

0x226．若点M（x,y）是平面区域y2内任意一点，点A（-1，2），则zOMOA的最小值为

x2y A.0 B.42 C.2-2 D.4 【答案】A 【解析】略

27．给出平面区域如图所示，其中A（1，1），B（2，5），C（4，3），若使目标函数Zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是 A、

YBC32 B、1 C、4 D、 32A0X

【答案】A

二、填空题（题型注释）

2xy20xy28．设实数x,y满足约束条件8xy40，若目标函数z(a0,b0)的最大值为9，则d=4ab的最abx0 , y0试卷第8页，总12页

WORD格式 可编辑 小值为__ ___。【答案】4 314xy过点（1,4）时有最大值9，

abab19b16a16b16a1)， )(82.9ab9ab【解析】作出可行域，由图象可知z因a0,b0,则d24ab()(4ab)(8所以d得最小值为119a4b4 3x3y3029．已知实数x,y满足xy10，则z=2|x|+y的取值范围是_________【答案】[-1,11]

y1【解析】作出可行域与目标函数，结合图象可得目标函数经过（0，-1）时，有最小值-1，经过点（6，-1）时有最大值11，所以取值范围是[-1,11]。

xy201y30．已知实数满足x2y50，则bx的取值范围是 【答案】[,2] 3y20【解析】如图画出的可行域如下：

bx的几何意义是可行域内的点与原点的斜率，由图可知过（1,2）有最大值b2，过（3,1）有最小值b.13所以bx的取值范围是[,2] 3y21y14xy90,31．已知实数x、y满足xy10，则x－3y的最大值是 _______ .【答案】-1

y34xy90,1zz【解析】条件xy10表示的区域如图所示，设zx3y，即yx在y轴上的截距为，z的值越

333y3大，直线向下平移，过A点时，z值最大，求得A（2，1），代入得z的最大值为-1.

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xy2032．如果实数x，y满足xy40，则zx2y4的最大值 ___ 【答案】29

2xy50xy20【解析】如图画出实数x，y满足xy40，的可行域如下：

2xy50

由图像可知当过点（7,9）时zx2y4的有最大值29.

2xy0,933．若实数x、y满足yx, 且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为____.【答案】. 4yxb,【解析】由于z=2x+y最小值为3,所以最优解应为直线y=-x+b与2x-y=0的交点.由332xy3得(,),代入

422xy0y=-x+b得b=9. 4xy≥3xy34．设x,y满足约束条件xy≥1，若目标函数z(a0,b0)的最大值为10，则5a4b的最小值

ab2xy≤3为 . 【答案】8 【解析】由题意知当直线zxy经过直线x-y=-1与直线2x-y=3的交点(4,5)时，z最得最大值10. ab试卷第10页，总12页

WORD格式 可编辑 所以45145116b25a10,5a4b(5a4b)()(40) ab10ab10ab116b25a4(402)8(当且仅当a,b1时，取“=”)

510abx3y022

35．若实数x，y满足不等式组 x2y0，则x＋y的最大值是____．【答案】5

3xy50【解析】解：利用不等式组，做出可行域，然后目标函数的几何意义为，区域内点到原点距离平方的最大值问题，我们结合边界点，可以解得为5 36．若非负实数x,y满足2xy≤8,x2y则z2的最大值为 . 【答案】128；

x3y9,≤x2y【解析】解：由题意可作出可行域，如下图，当直线z‘=x+2y平移到过点（3,2）时，Z’最大，则此时z2=128

x0,37．设变量x，y满足约束条件y3x, (其中a>1)．若目标函效z=x+y的最大值为4，则a的值为 ．

xay7,【答案】2

x4y42xy37938．已知，则的最大值为 ▲ ；【答案】 3x5y15x237x1,y239．已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_______。【答案】（3，8）

x140．若变量x,y满足约束条件yx，则wlog3(2xy)的最大值是【答案】2

3x2y15xy341．设变量x,y满足约束条件xy1,则目标函数z4x2y的最大值为______【答案】10

y1xmyn42．已知点A(53,5)，过点A的直线l:xmyn(n0),若可行域x3y0的外接圆直径为20，则实数n的值

y0是 【答案】103 专业知识整理分享

43．在平面直角坐标系中，满足条件xy1的点x,y构成的平面区域的面积为S（x,y分别表示不大

22于x,y的最大整数），则S= _.【答案】5

xy34(x1)2y244．设x,y满足条件yx1，则we的最小值 【答案】e

y03xy602345．设实数x,y满足约束条件xy20,若目标函数zaxby(a0,b0)的最大值为12,则的最小值abx0,y0为____________【答案】25 6x2,46．设0，不等式组 xy0,所表示的平面区域是W．给出下列三个结论：

x2y0① 当1时，W的面积为3； ② 0，使W是直角三角形区域； ③ 设点P(x,y),对于PW有xy4．

其中，所有正确结论的序号是______．【答案】①、③

x0,47．已知实数x,y满足y1,若目标函数zaxya0取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的

2x2y10.值为____ 【答案】1

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