等边三角形的性质 优秀课公开课教案

以△BEC≌△CDB，所以BD＝CE，所以AB BD＝AC－CE，即AD＝AE，所以∠ADE－

＝∠AED.又因为∠A是△ADE和△ABC的顶角，所以∠ADE＝∠ABC，所以DE∥BC.

方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．

探究点二：等边三角形的相关性质 【类型一】 利用等边三角形的性质求角度

一、情境导入

我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？

1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上的高，中线)的性质；

2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．(重点、难点)

二、合作探究 探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质

如图，在△ABC中，AB＝AC，CD

⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：DE∥BC.

证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因为CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，所以∠AEB＝∠ADC＝90°，所以∠ABE＝∠ACD，所以∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，所以∠EBC＝∠DCB.在∠BEC＝∠CDB，

△BEC与△CDB中，∠EBC＝∠DCB，所

BC＝CB，

如图，△ABC是等边三角形，E

是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．

解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．

解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.

方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．

【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等

如图：已知等边△ABC中，D是

AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM

＝EM.

解析：要证BM＝EM，由题意证△BDM≌△EDM即可．

证明：连接BD，∵在等边△ABC中，11

D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×2260°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴

∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°，在△DMB∠DMB＝∠DME，

和△DME中，∠DBM＝∠E，∴△

DM＝DM，DME≌△DMB.∴BM＝EM.

方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．

【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用

求得∠AQN＝∠ABC＝60°.

解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和AB＝BC，

△BNC中，∵∠ABC＝∠C，∴△AMB≌

BM＝CN，△BNC(SAS)，

∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.

方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．

三、板书设计

1．等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质

等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形两腰上的高相等； 等腰三角形两腰上的中线相等． 2．等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

△ABC为正三角形，点M是边BC

上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，求∠BQM的度数．

解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质

本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，

进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步培养空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识.

第2课时 平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离

四边形的性质和判定定理解决问题．(重点， ) 难点

一、情境导入

小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形

1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；

2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)

3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行

框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？

二、合作探究 探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形

【类型一】 利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形 已知，如图，AB、CD相交于点O，

AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．

求证：(1)△AOC≌△BOD； (2)四边形AFBE是平行四边形． 解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；

(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．

证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在AO＝OB，△AOC和△BOD中，∵

∠AOC＝∠BOD，

∠C＝∠D，∴△AOC≌△BOD(AAS)；

(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝12OD，OE＝1

2OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．

【类型二】 利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等

如图，在平行四边形ABCD中，

AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．

解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.

解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.

方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．

探究点二：平行线间的距离

如图，已知l1∥l2，点E，F在l1

上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．

解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．

证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S1

△EGH＝2

GH·h，S△

1

FGH＝

2

GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.

方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．

探究点三：平行四边形判定和性质的综合

如图，在直角梯形ABCD中，AD

∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.