理论力学例题

重不计，所有接触处均为光滑接触。

APFT

FN(b)

(c)

(e)

(j)

(k) (b1)

AF

N1PBFN3

FN2

(c1)

FAFFBAB

(e1)

q

F FAyFB

AFAxB

(j1)

B

FBF

CFPAy

AFAx (k1)

(f) (f1)

1-2画出下列每个标注字符的物体的受力图。题图中未画重力的各物体的自重不计，所有接触处均为光滑接触。

CFN2

B

F′FN

P2

(a) (a1)

N1BFN1CP2FAyAFN2

FNP1P1FAyAFAx

FAx

(a2) (a3)

FN1AP1BP2FN3

(b) (b1) ′FN

FN2FN1ABP2FN3

P1

FN

(b2) (b3)

FN2DF1FCyCFBF2

′FBBFAyFCxB

AF3Ax (h) (h1) (h2) AFAyFAx

FCy

FCxC′FCyFOyFOxA′FCxFEFD C

O

(i) (i1) (i2)

E

B

A

A FD′FAx′FAy ′FE

CE

FOyO FOxBFByFBxFBxFBy

(i3) (i4)

B

2-3 如图2-5a所示，刚架的点B作用1水平力F，刚架重量不计。求支座A，D的约

束力。解

yFBC）

x

FAA

(b)

D

(a)

图2-5

FD

解 研究对象：刚架。由三力平衡汇交定理，支座 必通过点C，方向如A的约束力FA图2-5b所示。取坐标系Cxy，由平衡理论得

∑Fx=0,

F−FA×FD−FA×

25

1

=0 =0

（1）

∑Fy=0,

5 （2）

式(1)、(2)联立，解得

5

FA=F=1.12F，FD=0.5F

2

BC 上作用一力偶矩为M的力偶，各尺寸2-6 在图示结构中，各构件的自重略去不计，在构件

如图。求支座A 的约束力。

解

一、研究对象：BC，受力如图（b

二、列平衡方程，求FB、FC为构成约束力偶，有

三、研究对象：ADC，受力如图（c）

四、列平衡方程，求FA

解

）

（方向如图）

力偶矩为M，梁长为l，梁重不计。求在图2-12a，2-12b，2-8 已知梁AB上作用1力偶，

2-12c三种情况下支座A和B的约束力。

l/2M

(a)

AFA

B

l (a1) FB

AFA

l/3Ml BFB

(b)

(b1)

(c)

θFAAl/2 MlB

θFB

图2-12

(c1)

解（a）梁AB，受力如图2-12a1所示。FA,FB组成力偶，故

FA=FB

MM

，FA= ∑MA=0，FBl−M=0， FB=ll

（b）梁AB，受力如图2-12b1所示。

M ∑MA=0，FBl−M=0，FB=FA=l

（c）梁AB，受力如图2-12c1所示。

M

∑MA=0，FBlcosθ−M=0，FB=FA=

lcosθ

2-13如图3-5a所示，飞机机翼上安装1台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分

布：q1=60kN/m,q2=40kN/m，机翼重为P1=45kN，发动机重为P2=20kN，发O的M=18kN⋅m。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端动机螺旋桨的作用力偶矩

受力。

yq1MOOFOF1F2q2xA3.6m4.2mP1PM29m

(b)

(a)

图3-5

解 研究对象：机翼（含螺旋桨），受力如图3-5b所示。梯形分布载荷看作三角形分布载荷(q1−q2)和均布载荷q2两部分合成。三角形分布载荷q1−q2的合力

F1=

1

(q1−q2)×9m=90000 N2

均布载荷q2的合力

F2=q2×9m=360000 N

F2位于离O4.5m处。

∑Fy=0,FO+F1+F2−P1−P2=0

FO=P1+P2+F1−F2=−385000N=−385kN

∑MO=0，MO+F1×3m+F2×4⋅5m−P1×3.6m−P2×4.2m−M=0 MO=1626kN⋅m (逆)

2-20 在图3-12a，图3-12b各连续梁中，已知q，M，a及θ，不计梁的自重，求各连续梁在A，B，C三处的约束力。

MAFAxBFB′FB

Ma

(a2)

q (a)

FAy

θa(a1) B

CθFCMAAa

(b1)

FAx

′BFBx′FBy

FBxBFByaCFAy

θFC

(b)

(b2)

图3-12

解（a）（1）梁BC，受力如图3-12a2所示。该力系为一力偶系，则：FB=FC

∑M=0，FCacosθ=M，FC=FB=（2）梁AB，受力如图3-12a1所示

M

acosθM

tanθa−M'

∑Fy=0，FAy=−FBcosθ=

a

∑MB=0，MA−FAya=0，MA=−M(顺)

∑Fx=0，FAx=FBsinθ=

'

解（b）（1）梁BC，受力如图3-12b2所示

∑MB=0，−qa/2+FCcosθ⋅a=0，FC=

2

qa

2cosθ

∑Fx=0，FBx=FCsinθ=

（2）梁AB，受力如图3-12b1所示

qa

tanθ2

∑Fy=0，FBy=qa/2

'

∑Fx=0，FAx=FBx= ∑Fy=0，FAy=FBy

'

qa

tanθ2=qa/2

∑MA=0，MA=qa/2

2

2-21 由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接。它的支承和受力如图3-13a所示。已知q=10kN/m，M=40kN⋅m，不计梁的自重。求支座A，B，D的约束力和铰链C

受力。

AFA2m

qq

M2m(c)

DFD

B FB2m

CC FC′FC

2m

(a)

(b)

图3-13

解（1）梁CD，受力如图3-13c所示

∑MC=0，−

1

q×(2m)2−M+FD×4m=0

2

FD=(M+2q)/4=15kN

∑Fy=0，FC+FD−q×2m=0， FC=5kN（2）梁AC，受力如图3-13b所示

'

∑MA=0，FB×2m−FC×4m−2m⋅q×3m=0

FB=(4FC+6q)/2=40kN

'

∑Fy=0，FA+FB−FC−q×2m=0，

'

A

=−15kN

4-21杆系由球铰连接，位于正方体的边和对角线上，如图4-21a所示。在节点D沿对

角线LD方向作用力FD。在节点C沿CH边铅直向下作用F。如球铰B，L和H是固定的，

杆重不计，求各杆的内力。

z FDAF1DFF23F′ 3BCF6F 4F5yLK(a)

x图4-21

GH(b)

解 (1) 节点D为研究对象，受力如图4-21b所示 ∑Fy =0，FD×

1

−F1×21

∑Fz=0，FD×−F6×

2

121

=0， F1=FD（拉）

=0，F6=FD（拉）2

∑Fx=0，F3+(F1+F6)×1/2=0，F3=−2FD（压） (2) 节点C为研究对象，受力如图4-21b所示

∑Fx=0，−F3−F4×1/3=0， F4=−6FD（拉） ∑Fy=0，−F2−F4×1/3=0， F2=−2FD（压）

()(())∑Fz=0，−F−F5−F4×1/3=0， F5=−F−2FD（压）

2-30 构架由杆AB，AC和DF铰接而成，如图3-19a所示，在杆DEF上作用1力偶矩为M的力偶。各杆重力不计，求杆AB上铰链A，D和B受力。

FAyAMDFBxFByEFFCFDxFDy 图3-19

FAxDFEyFExa A′FDy′FDxBFByB2a (b) DM FBxEa(c) (a)

(d) 解（1）整体，受力如图3-19b所示

∑Fx=0 , FBx=0

M

(↓) ∑MC=0 , FBy=2a

(2) 杆DE，受力如图3-19c所示

∑ME=0, FDy=

（3）杆ADB，受力如图3-19d所示

M

(↓) a

∑MA=0, FDx=0∑Fx=0 , FAx=0

M

(↓) ∑Fy=0，FAy=−2a

空间构架由3根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图4-7a所示。A，B和3-12

C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P=10kN，求铰链A，B和C的约束力。

解 取节点D为研究对象，设各杆受拉，受力如图4-7b所示。平衡：

∑Fx=0，FBcos45°−FAcos45°=0

∑Fy=0，−FAsin45°cos30°−FB

（1）

sin45°cos30°−FCcos15°=0 （2）∑Fz=0，−FAsin45°sin30°−FBsin45°sin30°−FCsin15°−P=0（3）

P=10 kN

解得

FA=FB=−26.4kN（压）FC=33.5kN（拉）

z45°FC15°OFA30°45°

图4-7

DyFBx PC(a)(b)

3-25 工字钢截面尺寸如图4-23a所示，求此截面的几何中心。

y

200C

O x (a) (b) 图4-23

20xC20解把图形的对称轴作轴x，如图4-23b所示，图形的形心C在对称轴x上，即

yC=0

∑ΔAi⋅xi200×20×(−10)+200×20×100+150×20×210

==90mmxC=

∑ΔAi200×20+200×20+150×20

3-26 均质块尺寸如图4-24所示，求其重心的位置。

∑Pixiρg(40×40×10×60+20×40×30×10+80×40×60×20)

=

ρg(40×40×10+20×40×30+80×40×60)∑Pi

=21.72mm

∑Piyiρg(40×40×10×20+20×40×30×60+80×40×60×40)yC==

ρg(40×40×10+20×40×30+80×40×60)∑Pi

=40.69mm

∑Piziρg(40×40×10×(−5)+20×40×30×15+80×40×60×(−30))zC==

∑Piρg(40×40×10+20×40×30+80×40×60)

=−23.62mm

解xC=

图4-24 图4-25

5-1 图6-1所示为曲线规尺的各杆，长为OA=AB=200mm，

CD=DE=AC=AE=50mm。如杆OA以等角速度ω=

π

rad/s绕O轴转动，并且当运5

动开始时，杆OA水平向右，求尺上点D的运动方程和轨迹。

解 如图所示∠AOB=ωt，则点D坐标为 xD=OAcosωt，yD=OAsinωt−2ACsinωt代入数据，得到点D的运动方程为：

x=200cos

πtπtmm，y=100sinmm55

图6-1

把以上两式消去t得点D轨迹方程：

x2y2

+=1（坐标单位：mm）

4000010000

因此，D点轨迹为中心在（0，0），长半轴为0.2 m，短半轴为0.1 m的椭圆。

5-3 如图6-3所示，半圆形凸轮以等速v0=0.01m/s沿水平方向向左运动，而使活塞杆AB沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆A端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径R=80mm，求活塞上A端相对于地面和相对于凸轮的运动方程和速度，并作出其运动图和速度图。

（a） （b）

解 1）A相对于地面运动

把直角坐标系xOy固连在地面上，如图6-3b所示，则A点的运动方程为 x=0，y=

22

R2−v0t=0.0164−t2m（0≤t≤8）

64−t

A的运动图（y−t曲线）及速度图（vy−t曲线）如图6-3b的左部。

2）A相对于凸轮运动

把直角坐标系x′O'y'固连于凸轮上，则点A的运动方程为 x'=vOt=0.01tm，y'=0.0164−tm（0≤t≤8）

2

&=0，vy=y&=− A的速度vx=x

0.01t

2

m/s

&'=0.01m/s，vy=y&'=− A相对于凸轮的速度vx=x

'

''

0.01t64−t

2

m/s

运动图（y'−t及x'−t曲线）及速度图（vy−t及vx−t曲线）如图6-3b的中右部所示。

'

7-7 在图8-7a和图8-7b所示的2种机构中，已知O1O2=a=200mm，

ω1=3rad/s。求图示位置时杆O2A的角速度。

vave30°vavrAvevrA30°ω1O130°O1ω1ω30°ω30°O2 (a) (b) (a1) (b1)

图8-7

O2 解 （a）套筒A为动点，动系固结于杆O2A；绝对运动为O1绕的圆周运动，相对运动为沿O2A直线，牵连运动为绕O2定轴转动。速度分析如图8-7a1所示,由速度合成定理

va=ve+vr

因为ΔO1O2A为等腰三角形，故

O1A=O1O2=a，O2A=2acos30°，va=aω1，ve=ω⋅O2A=2aωcos30° 由图8-7a1：

va

=2aω

cos30°

得 aω1=2aω

va=

ω=

ω1

2

=1.5 rad/s（逆）

（b）套筒A为动点，动系固结于杆O1A；绝对运动为绕O2圆周运动，相对运动为沿杆直线运动，牵连运动为绕O1定轴转动。速度分析如图8-7b1所示。 va=O2A⋅ω1=2aωcos30°， ve=O1Aω1=aω1

veaω1

=

cos30°cos30°

aω1

得 2aωcos30°=

cos30°

2

ω=ω1=2rad/s（逆）

3

由图b1：va=

7-8 图8-8a所示曲柄滑道机构中，曲柄长OA=r，并以等角速度ω绕轴O转动。装在水平杆上的滑槽DE与水平线成60°角。求当曲柄与水平线的交角分别为ϕ=0°，

30°，60°时，杆BC的速度。

yvavrvavrvr60°60°va

Aveϕve60°AxAω30°60° (a) (b) (c) (d)

(a) (b)

图8-8

OO

解 曲柄端点A为动点，动系固结于杆BC；绝对运动为绕O圆周运动，相对运动为沿滑道DB直线运动，牵连运动为水平直线平移。速度分析如图8-8b所示

∠(va,y)=ϕ, va=rω从图b得

所以

veva

=

sin(30°−ϕ)sin60°

sin(30°−ϕ)

rω

sin60°3

； ϕ=0°时，vBC=rω（←）

3

ϕ=30°时，vBC=0

vBC=ve=

ϕ=60°时，vBC=−

3rω（→） 3

连杆AB上固结1块三角板ABD，如图9-6a所示。机构由曲柄O1A8-6 四连杆机构中，

带动。已知曲柄的角速度ωO1A=2rad/s；曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，当O1A铅直时，AB平行于O1O2，且AD与AO1在同1直线上；角ϕ=30°。AD=0.05m；

求三角板ABD的角速度和点D的速度。

vDvAADvBωOAϕ1BO1O2ωAB(a)

图9-6

P (b)

解 三角板ABD作平面运动，在图9-6所示位置的速度瞬心在点P，设三角板角速度

为ωAB，由题意得

vA=O1A⋅ωO1A=PA⋅ϖAB

由几何关系

PA=O1A+PO1=O1A+O1O2cot30°=0.10+0.053m把PA值代入上式，得

于是有ωAB=

O1A0.10×2

=1.07rad/s（逆）⋅ωO1A=

PA0.10+0.053

=(AD+PA)ω=(0.05+0.10+0.053)×1.07=0.253m/s（←）

v=PD⋅ω8-8 图9-8a所示机构中，已知：OA=BD=DE=0.1m，EP=0.13m；

ωOA=4rad/s。在图9-8a所示位置时，曲柄OA与水平线OB垂直；且B，D和F在同1铅直线上，又DE垂直于EF。求杆EF的角速度和点F的速度。

vA

AvCBvBCωOADvEEvFF (a)

ϕωEFP (b)

图9-8

F解 机构中，杆AB，BC和EF作平面运动，曲柄OA和三角块CDE作定轴转动，而滑块B，F作平移。此时杆AB上vA，vB均沿水平方向如图9-8b所示，所以杆AB作瞬时平移。

vB=vA=OA⋅ωOA=0.40m/s

vC⊥DC，vB⊥DB，杆BC的速度瞬心在点D，故

DCvC=⋅vB

DB

vDE

⋅vB=0.40m/s（方向沿杆EF如图9-8b） vE=DE⋅C=

DCDB

由速度投影定理得

vF⋅cosϕ=vE

由几何关系知，在△DEF中，

cosϕ= vF=

31，sinϕ=22

vE

=0.462m/s（↑）cosϕvFvF

=

PFEF/sin

=

vFsinϕ=1.33rad/s（顺）EF

杆EF的速度瞬心在点P：

ωEF=