分式及分式的应用 专题培优、拔高(奥数)复习讲义

一、中考考点梳理

（一）解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:

1．取倒数或利用倒数关系；2． 恰当引入参数；3．拆项变形或拆分变形；4．利用比例性质5．整体代入等． （二）给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．

二、典型例题精选

2a3【例l】 已知a3a10，则代数式6的值为 ．

a1 解题思路：目前不能求出a的值，但可以求出a

【例2】 已知一列数a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,且a18，a75832，（ ）

A．648 B．832 C．1168 D．1944 解题思路：引入参数k，把a1

【例3】 xyz3a(a0)．求

11． 3，需要对所求代数式变形含“a”

aaa1a2a3a4a5a6，则a5为a2a3a4a5a6a7a7用k的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．

(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)

(xa)2(ya)2(za)2 解题思路：观察发现，所求代数式是关于xa、ya、za的代数式，而条件可以拆成xa、ya、za的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．

【例4】 已知

xyyzzx1,2,3,求x的值． xyyzzx

解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形

式．

【例5】 不等于0的三个正整数a,b,c满足

1111，求证：a,b,c中至少有两个互为相反数． abcabc 解题思路：a,b,c中至少有两个互为相反数，即要证明(ab)(bc)(ca)0．

【例6】 已知a,b,c为正整数，满足如下两个条件：①abc32; ②

bcacababc1．求证：以a,b,c为三边长可以构成一个直角三角形． bcacab4

解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．

三、课后过关自测小练习

1．若abcdabcdbcda，则

abcd的值是 ．

2．已知xx2x23x11，则x49x21 ． 3．若ax21998,bx21999,cx22000且abc24，则cababcbac1a1b1c 的值为 ．

4．已知2x3xy2yx2xyy35，则1x1y ．

5．如果a1b1,b1c1，那么c1a（ ）

． A．1 B．2 C．112 D．4

6．设有理数a,b,c都不为0，且abc0，则

1b2c2a211c2a2b2a2b2c2的值为（

A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定

7．已知4x3y6z0,x2y7z0(xyz0)，则2x23y26z2x25y27z2的值为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．不能确定

8．已知xx3x2mx11，则x6m3x31的值为（ ）

A．1 B．111m33 C．3m22 D．3m21

a2b29．设abc0，求2a2bc2b2acc22c2ab的值．

．

）10．已知x111yz其中x,y,z互不相等，求证x2y2z21． yzx

11．设a,b,c满足

12．三角形三边长分别为a,b,c．

11111111，求证2n12n12n12n1．（n为自然数） abcabcabcab2n1c2n1aabc，求证：这个三角形是等腰三角形； bcbca1111（2）若，判断这个三角形的形状并证明．

abcabc（1）若

13．已知axbycz1，求

111111的值． 1a41b41c41x41y41z4

14．解下列方程（组）： （1）

x1x8x2x7； x2x9x3x8

（2）

5x96x84x192x21； x19x9x6x8111xyz2（3）111x3．

yz1z1xy14

四、能力提升拓展训练

1．设a,b,c满足abc0，abc0，若xaabbcc，ya(111111bc)b(ca)c(ab)，x2y3xy ．

2．若abc0，且abbccacab，则(ab)(bc)(ca)abc ．

3．设a,b,c均为非零数，且ab2(ab),bc3(bc),ac4(ac)，则abc ．

4．已知x,y,z满足xyzyxzzyx1，则x2y2z2yzxzyx的值为 ．

5．设a,b,c是三个互不相同的正数，已知

acbcabba，那么有（ ）． A．3b2c B．3a2b C．2bc D．2ab

6．如果abc0，

1a1b1c4，那么111a2b2c2的值为（ ）

． A．3 B．8 C．16 D．20

x25x19910，则代数式(x2)4(x1)27．已知1(x1)(x2)的值为（ ）．

A．1996 B．1997 C．1998 D．19999

8．若xy6x15y4x23y2x5yx，则5xy6y2x22xy3y2的值为（ ）． 则

A．

99 B． C．5 D．6 24

9．已知非零实数a,b,c满足abc0． （1）求证：abc3abc； （2）求(333abbccacab)()的值． cababbcca

a4ma213．求m的值． 10．已知a4a10，且322ama2a2 11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍， 求证：x

pq2．(pq10) pq1b2c2a2a2c2b2b2a2c2,B,C12．设A，当ABC3时，

2bc2ac2ab求证：A

2002B2002C20023．

13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？

（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？