(完整版)初中函数综合试题(附答案)

一、选择题：（每小题3分，共45分）

121．已知h关于t的函数关系式为hgt，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ）

2

（A） （B） （C） （D）

2．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用

关系式y＝35x＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（ ） （A）正比例函数 （B）反比例函数． （C）二次函数 （D）一次函数 3．若正比例函数y＝（1－2m）x的图像经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜

x2时y1＞y2，则m的取值范围是（ ）

（A）m＜0 （B）m＞0 （C）m＜

11 （D）m＞ 224．函数y = kx + 1与函数

yy

x

k在同一坐标系中的大致图象是（ ）

yyyOxOOxxOx

（A） （B） （C） （D）

5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数yax(ac)xc与一次函数y＝ax＋c

的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

2

（A） （B） （C） （D） 6．抛物线y2(x1)1的顶点坐标是（ ）

A．（1，1）B．（1，－1）C．（－1，1）D．（－1，－1）

7．函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（ ） A． ab>0， c>0 B． ab<0， c>0 C． ab>0， c<0 D． ab<0， c<0

2

8．已知a，b，c均为正数，且k=

abc，在下列四个点中，正比例函数ykx bcacab 的图像一定经过的点的坐标是（ ） A．（l，

11） B．（l，2） C．（l，－） D．（1，－1） 22AED9．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上

的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为……………（ ）

10．如图4，函数图象①、②、③的表达式应为（ ）

BPFCx，yx2，y 2x（B）yx， yx2，y

2x（C）yx，yx2，y

2x（D）yx，yx2，y

2x（A）y11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米

的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）

12．二次函数y=x2-2x+2有 （ ） A． 最大值是1 B．最大值是2 C．最小值是1 D．最小值是2

13．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=2图象上的两点，若x1A． y2< y1<0 B． y1< y2<0 C． y2> y1>0 D． y1> y2>0 14．若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ( )

A． 9 B． 3 C．-9 D． 0

15．二次函数yx3x23的图象与x轴交点的个数是（ ） 2P A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定

y 二、填空题：（每小题3分，共30分）

1．完成下列配方过程：

x22px1＝x22px________________

＝x____________；

2D O x 第3题图

2．写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_________． 3．如图，点P是反比例函数y2上的一点，PD⊥x轴于点D，则△POD的面积为 ； xm24、已知实数m满足mm20，当m=___________时，函数yxm1xm1的图象与x轴无交点．

5．二次函数yx2(2m1)x(m21)有最小值，则m＝_________；

6．抛物线yx22x3向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析

式为___________； 7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________；

8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A（0，2），铅球路线最高处为B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是________； 9．二次函数yaxbxc(a0)的图像与x轴交点横坐标为－2，b，图像与y轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________； 10．如图，直线ykx2(k0)与双曲线y2k在第一象限内的交点xR，与x轴、y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于 ．

三、解答题：（1－3题，每题7分，计21分；4－6题每题8分，计24分；本题共45分）

1已知二次函数yxbxc的图像经过A（0，1），B（2，－1）两点．

（1）求b和c的值；

（2）试判断点P（－1，2）是否在此函数图像上？

2．已知一次函数ykxk的图象与反比例函数y（1）求n的值．（2）求一次函数的解析式．

28的图象交于点P(4，n)． x

3．看图，解答下列问题．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象． 4．已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2） （1） 求这个函数的解析式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围．

5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计

中，随机抽取一部分情况如下表所示： 每件销售价（元） 每天售出件数 50 60 70 75 80 85 … 300 240 180 150 120 90 … 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．

（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式．

（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元．

求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）

6．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．

（1） （2）

（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；

（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：3.36≈1.8，3.≈1.9，4.36≈2.1）

7．已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2．

（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m 的值；

（Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值．

参：

一、选择题： 1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A 15．C 二、填空题：1．p2，1p2，p，1p2 ． 2 y=元

8．6＋25 9． y25 3． 1 4．2或－1 5．  6．yx28x10 7．10元或20x4121xx3或 yx2x3 10．22 44三、解答题：

1．

2．解：（1）由题意得：n8，n2. 42． 5（2）由点P（4，2）在ykxk上，24kk, k 一次函数的解析式为y22x． 553．解：（1）由图可知A（－1，－1），B（0，－2），C（1，1） 设所求抛物线的解析式为y＝ax＋bx＋c

2

abc1，a2，2

依题意，得c2， 解得b1， ∴ y＝2x＋x－2．

c2abc1 （2）y＝2x＋x－2＝2（x＋ ∴ 顶点坐标为（－

2

1217）－ 481171，），对称轴为x＝－ 448 （3）图象略，画出正确图象

4．解：（1）函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）

∴9+3b-1=2，解得b=-2 ． ∴函数解析式为y=x2-2x-1

（2）y=x2-2x-1=(x-1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（1，-2） （3）当x=3 时，y=2， 根据图象知，当x≥3时，y≥2 ∴当x>0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3．

5．解：（1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数y与每件售价x之

间的函数关系为： y6006x．

（2）当y168时， 1686x600， 解得：x72； 设门市部每天纯利润为z ①当x72时，y168

zx406006x4036x7052802

当x70时，zmax5280

②当x72时，y168

zx406006x4026x7053202

x70时，y随x的增大而减少

x72时，zmax62253205296

52965280 当x72时，纯利润最大为5296元．

6．

（1） （2）

解：（1）如图，建立直角坐标系， 设二次函数解析式为 y＝ax＋c ∵ D（－0.4，0.7），B（0.8，2.2）， ∴ 2

0.16a＋c＝0.7，

0.a＋c＝2.2．28a＝， ∴ 5 ∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．

c＝0.2． （2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H， AG＝

11（AB－EF）＝（1.6－0.4）＝0.6． 22

在Rt△AGE中，AE＝2，EG＝

AE2－AG2＝220.62＝3.≈1.9．

∴ 2.2－1.9＝0.3（米）． ∴ 木板到地面的距离约为0.3米．

7．解： (I)设点Ａ（x1，0），B(x2，0) ， 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根．

∵x1 ＋ x2 ＝m ， x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2；

2又AB＝∣x1 x2∣＝（x1+x2）4x1x25，∴m2－4m＋3=0 ．

解得：m=1或m=3(舍去) ，∴m的值为1 ． （II）设M(a，b)，则N(－a，－b) ．

∵M、N是抛物线上的两点，

a2mam2b,①∴

2amam2b.②①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 ． ∴a2＝－m＋2．

∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N． ∴a2m．

这时M、N到y轴的距离均为2m， 又点C坐标为（0，2－m），而S△M N C = 27 ，

y C N x O M ∴2××（2－m）×2m=27 ． ∴解得m=－7 ．

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

12中考试题分类汇编--函数综合题

1. 如图，已知点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．

（1）若二次函数y＝－x－

2

25kx＋（2＋2k－k）的图象经过A、B两点，求它的解析式； 2 （2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由． 解：（1）∵ α，β是Rt△ABC的两个锐角，

∴ tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0． 由题知tanα，tanβ是方程

25 x＋kx－（2＋2k－k）＝0的两个根，

22

∴ tanx·tanβ＝（2＝2k－k）＝k－2k－2，∴ k－2k－2＝1．

解得，k＝3或k＝－1． 而tanα＋tanβ＝－

222

5k＞0， 22

∴ k＜0．∴ k＝3应舍去，k＝－1． 故所求二次函数的解析式为y＝－x＋

5x－1． 2 （2）不在． 过C作CD⊥AB于D． 令y＝0，得－x＋ 解得x1＝

2

5x－1＝0， 21，x2＝2． 213 ∴ A（，0），B（2，0），AB＝．

2211 ∴ tanα＝，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝AD．

22 ∴ AD＝2CD．

又CD＝BD·tanβ＝2BD， ∴ BD＝

1CD． 213∴ 2m＋m＝．

2236∴ m＝．∴ AD＝．

55173∴ C（，）．

1059317当x＝时，y＝≠

25510∴ 点C不在（1）中求出的二次函数的图象上．

23)，Q(1，0)． 2．已知抛物线yxkxb经过点P(2，（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线顶点为N，与y轴交点为A．求sin∠AON的值． （3）设抛物线与x轴的另一个交点为M，求四边形OANM的面积．

Q A y O M x

N

解：（1）解方程组01kb

342kb得k22，yx2x3．

b317． 17，4)，ON17，sin∠AON（2）顶点N(12（3）在yx2x3中，令x0得y3，A(0，3)， 令y0得x1或3，M(3，0)．

S四边形S△OANS△ONM

2

367.5（面积单位） 23．如图9，抛物线y=ax+8ax+12a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC. (1) 求线段OC的长.

y(2) 求该抛物线的函数关系式．

(3) 在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在， C请说明理由.

ABxO

3283xx43；（3）4个点： 解：（1）23；（2）y33(623,0)(623,0),(0,0),(4,0)

4．已知函数y=

图92和y=kx+l(k≠O)． x (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?

2aa2解；(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴∴ 1k1ak1 (2)将y＝

2x代人y=kx+l，消去y．得kx+x一2=0．

2

∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∵△＝1＋8k， ∴1+8k≥0，解得k≥一

1 8

∴k≥一

1且k≠0． 85．已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；

（2）若P，A两点在抛物线y=－4 x2+bx+c上，求b，c的值，

3并说明点C在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在

一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由. （1）30,（

33,）; 22333

,），A（3，0）在抛物线上，故 -4×3 +b× +c=3,-4×3+b2223423（2）∵点P（

2

×3 +c=0, ∴b=3,c=1. ∴抛物线的解析式为y=-4x+3x+1,C点坐标为（0，1）. ∵

32

-4×0+3×0+1=1，

3∴ 点C在此抛物上.

6.如图，二资助函数yxbxc的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.

（1）求二次函数yxbxc的关系式.

（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.

2

解：（1）∵M（1，－2），N（－1，6）在二次函数y = x+bx+c的图象上，

∴221bc2,b4, 解得

1bc6.c1.2

二次函数的关系式为y = x－4x+1.

（2）Rt△ABC中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4，

4x24x1,x24x30,

解得x4161227.

2

∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移17个单位. 7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数yx,y1x6的图象交于点A。动点P从点2O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S. （1）求点A的坐标.

（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式.

（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.

（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________.

yx,x4,解：（1）由 可得 1yx6,y4.2 ∴A（4，4）。

（2）点P在y = x上，OP = t，

则点P坐标为(22t,t). 2221t，并且点Q在yx6上。 22点Q的纵坐标为

∴

21tx6,x122t， 222t)。 2即点Q坐标为(122t,PQ1232t。 2当12322tt时，t32。 22＜t32时， 当0S2323t(12t)t262t. 222

当点P到达A点时，t42，

＜t＜42时， 当32S(12 322t) 2

92t362t144。 2＜t32中， （3）有最大值，最大值应在0333St262t(t242t8)12(t22)212,

222当t22时，S的最大值为12. （4）t122.

8．已知一次函数y=3+m(O(1)直线AC的解析式为________，直线l的解析式为________ (可以含m)；

(2)如图，l、l分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，当m在其范围内变化时，判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由；

(3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围； (4)若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=3x平移时，判断△ABC介于直线l，l之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由)

解： (1)y=3x +2 y=3x-m

(2)不变的量有：

①四边形四个内角度数不变， 理由略；

②梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略． (3)S=

4343 m 033 (4)沿y=3x平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为S，则

53 39． 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A2

是方程x-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD． (1)求点C的坐标；

(2)求直线AD的解析式； (3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)OA=6，OB=12 ，

点C是线段AB的中点，OC=AC. 作CE⊥x轴于点E．

11

∴ OE=OA=3，CE=OB=6．

22

0∴ 点C的坐标为(3，6).

(2)作DF⊥x轴于点F

OD2

△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．

OC3 ∴ 点D的坐标为(2，4).

设直线AD的解析式为y=kx+b．

6kb0 把A(6，0)，D(2，4)代人得，

2kb4 解得k1，

b6 ∴ 直线AD的解析式为y=-x+6 . (3)存在．

Q1(-32，32)； Q2(32，-32)； Q3(3，-3) ；

Q4(6，6) .

10. 在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒).

(1)用含t的代数式表示点P的坐标; (2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?

(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式. 解:(1)作PM⊥y轴,PN⊥x轴.∵OA=3,OB=4,∴AB=5.

PMAPPM3t12.∴PM=t. .∴OBAB455PNPBPN53t9∵PN∥y轴,∴.∴.∴PN=3-t. OAAB355∵PM∥x轴,∴

∴点P的坐标为(

129t,3-t). 55921212t)=t(4-t-t). 555(2)①当∠POQ=90°时,t=0,△OPQ就是△OAB,为直角三角形. ②当∠OPQ=90°时,△OPN∽△PQN,∴PN2=ON•NQ.(3-化简,得19t2-34t+15=0.解得t=1或t=

15. 191220③当∠OQP=90°时,N、Q重合.∴4-t=t,∴t=.

5171520综上所述,当t=0,t=1,t=,t=时,△OPQ为直角三角形.

191715(3)当t=1或t=时,即∠OPQ=90°时,以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴

19126的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分别为P(,),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式

5512655为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).将P(,)代入上式,得a=-.∴y=-(x2-3x).

556655即y=-x2+x.

6215613630说明:若选择t=时,点P、Q、O三点的坐标分别是P(,),Q(,0),O(0,0).求得抛物

1919191919261线的解析式为y=-x+x,相应给分. 3030

11．已知：抛物线yx2xm（m>0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.

（1）求C点、C′点的坐标（可用含m的代数式表示）

（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示） （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.

y 2O x

12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ A ）

A．（1，1） B．（-1，1） C．（-1，-1） D．（1，-1）

13．如图，△OAB是边长为23的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.

（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标； （2）当A′E//x轴，且抛物线y12xbxc经过点A′和E时，求6抛物线与x轴的交点的坐标；

（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.

，o，

解：（1）由已知可得∠AOE=60 , AE=AE

，

由A′E//x轴,得△OAE是直角三角形，

，

设A的坐标为（0，b）

AE=AE=3b,OE=2b

，

3b2b23

，

所以b=1，A、E的坐标分别是（0，1）与（3，1）

（2）因为A、E在抛物线上，所以

，

1c 121(3)3bc6c1123yxx1 所以，函数关系式为366b6由123xx10得x13,x223 66与x轴的两个交点坐标分别是（3，0）与（23，0）

（3）不可能使△A′EF成为直角三角形. ，o，o，o

∵∠FAE=∠FAE=60,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠AEF=90或∠AFE=90

，oo，

若∠AEF=90,利用对称性,则∠AEF=90, A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；

，o

同理若∠AFE=90也不可能

所以不能使△A′EF成为直角三角形. 14.已知抛物线y=x²—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向

左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线. ⑴求平移后的抛物线解析式;

⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;

⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c(a＞

0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -(1)解：yx4x1 配方，得y(x2)3，

22b个单位长度，试探索问题⑵． a向左平移4个单位，得y(x2)3 ∴平移后得抛物线的解析式为yx4x1 (2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)

2x0yx4x1解，得

2y1yx4x122∴两抛物线的交点为（0，1）

由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时， m＞－3且m≠1

b24acb2)（3）由yaxbxc配方得，ya(x 2a4a2向左平移b个单位长度得到抛物线的解析式为 ab24acb2ya(x)

2a4ab4acb2b4acb2,)，(,) ∴两抛物线的顶点坐标分别为(2a4a2a4ab4acb2ya(x)x02a4a解 得，

2ycya(xb)4acb2a4a∴两抛物线的交点为（0，c） 由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：

4acb2m＞且m≠c

4a15.直线y3x1分别与x轴、y轴交于B、A两点． 3⑴求B、A两点的坐标；

⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平 面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD

求D点的坐标． 解：如图（1）令x=0，由y3x1 得 y=1 3令y=0，由y3x1 得x3 3∴B点的坐标为（3，0），A点的坐标为（0，1） （2）由（1）知OB=3，OA=1

∴tan∠OBA=

3OA= ∴∠OBA=30° OB3∵△ABC和△ABO关于AB成轴对称

∴BC=BO=3，∠CBA=∠OBA=30° ∴ ∠CBO=60° 过点C作CM⊥x轴于M，则在Rt△BCM中 CM=BC×sin∠CBO=3×sin60°=

3 2333∴OM=OB－BM=3－= 222BM=BC×cos∠CBO=3×cos60°=

∴C点坐标为（

33，） 22连结OC

∵OB=CB，∠CBO=60° ∴△BOC为等边三角形

过点C作CE∥x轴，并截取CE=BC则∠BCE=60° 连结BE则△BCE为等边三角形． y作EF⊥x轴于F，则EF= CM=

CE33，BF=BM=

22AOF=OB+BF=3+

333= 22OMBFx∴点E坐标为（

333，） 22333，） 22∴D点的坐标为（0，0）或（

2

16．已知抛物线y=ax+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

2

(2)画出抛物线y=ax+bx+c当x<0时的图象；

2

(3)利用抛物线y=ax+bx+c,写出x为何值时，y>0．

(第25题)

解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，

得方程组

解得

∴抛物线的解析式为

顶点坐标为

(2)所画图如图．

(3)由图象可知，当-10．

17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5，0)，M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°． (1)求直线CB的解析式： (2)求点M的坐标；

(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D1MC1(点D1，C1依次与点D，C对应)，射线MD1交直线DC(第28题) 于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DE=m，BF=n． 求m与n的函数关系式．

解：(1)过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠CBO=60°， 0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=3, BA=BC·cos∠CBO=1． ∴点C的坐标为(4，3)．

设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，3)，

(第(1)小

得

解得

∴直线CB的解析式为y=-3x+53．

(2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°，∠CBM=∠DMC=∠DOB=60° ∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3． ∴△ODM∽△BMC．

∴OD·BC=BM·OM．

∵B点为(5，0)，∴OB=5． 设OM=x，则BM=5-x．

∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)． 解得x1=1，x2=4．

∴M点坐标为(1，0)或(4，0)． (3)(I)当M点坐标为(1，0)时， 如图①，OM=1，BM=4．

∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO． 又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB． ∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF.

∴CF=2DE．

∵CF=2+n，DE=m， ∴2+n=2m，即m=1+

(第(2)小

(第(3)小题

n(0(Ⅱ)当M点坐标为(4，0)时，如图②． OM=4,BM=1.

同理可得△DME∽△CMF，

∴DE=2CF.

∵CF=2-n，DE=m，∴m=2(2-n)，即m=4-2n(

11时，分别求出点D和点E的坐标； 31(2) 当t时，求直线DE的函数表达式；

3(1) 当t(3)如果记四边形MNPQ的面积为S，那么请写出面积S与变量t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由。

19．如图，在△ABC中，ABAC1，点D，E在直线BC上运动，设BDx， CEy．（1）如果BAC30，DAE105，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果BAC的度数为，DAE的度数为，当，满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．

解：（1）在△ABC中，ABAC1，∠BAC30，

Ａ ∠ABC∠ACB75，

∠ABD∠ACE105． 又∠DAE105，

∠DAB∠CAE75．

又∠DAB∠ADB∠ABC75， ∠CAE∠ADB． △ADB∽△EAC． ABBD ． ECAC 即

Ｄ Ｂ Ｃ Ｅ

（第22题图）

1x1

，所以y． y1x

（2）当，满足关系式290时，函数关系式y1仍然成立． x 此时，∠DAB∠CAE． 又∠DAB∠ADB∠ABC90，

∠CAE∠ADB．

△ADB∽△EAC仍然成立． 又∠ABD∠ACE，1成立． x，B的20．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A 从而（1）中函数关系式yy C Ｎ P M A （第23题B 0)43，动点M，N分别从O，B同时出发，以坐标分别为(4，，，每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点

N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，

O x

连结NP，已知动点运动了x秒．

（1）P点的坐标为（ ， ）（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

解：（1）由题意可知，C(0，3)，M(x，，0)N(4x，3)，

P点坐标为(x，3-3x)． 43x，其4（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC4x，NC边上的高为中0≤x≤4．

1333S(4x)x(x24x)(x2)2．

28823S的最大值为，此时x2．

2（3）延长MP交CB于Q，则有PQBC． ①若NPCP，

y C PQBC，NQCQx．

Ｑ P Ｎ B 3x4，

4x．

3②若CPCN，则CN4x，PQ35x，CPx， O 44M （第23题图） A x

516x，x． 49③若CNNP，则CN4x．

3PQ， NQ42x，

44x在Rt△PNQ中，PNNQPQ．

2223128． (4x)2(42x)2(x)2，x457416128综上所述，x，或x，或x．

395721. （2006·北京市海淀区）已知抛物线y1x2xc的部分图象如图1所示。

2

图1 图2

（1）求c的取值范围；

（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y1x2xc的解析式； （3）若反比例函数y22k的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直x角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y1与y2的大小.22. 解：（1）根据图象可知c0

且抛物线y1x2xc与x轴有两个交点

所以一元二次方程x22xc0有两个不等的实数根。 所以24c44c0，且c0 所以c1

（2）因为抛物线经过点（0，-1） 把x0，y11代入y1x2xc 得c1

故所求抛物线的解析式为y1x2x1 （3）因为反比例函数y22222k2的图象经过抛物线y1x2x1上的点（1，a） x2把x1，y1a代入y1x2x1，得a2 把x1，a2代入y2所以y2k，得k2 x2 x2画出y2的图象如图所示.

x

观察图象，y1与y2除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为1，2和2，1 把x1，y22和x2，y21分别代入y1x2x1和y222可知， x1，2和2，1是y与y12的两个交点

根据图象可知：当x1或0x1或x2时，y1y2

当x1或x1或x2时，y1y2

当1x0或1x2时，y2y1

2

22．已知抛物线y＝ax＋bx＋c经过点（1，2）.

（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值.

（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|＋|b|＋|c|的最小值.

解：⑴由题意，a＋b＋c＝2， ∵a＝1，∴b＋c＝1 bb

抛物线顶点为A（－，c－）

24

设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b－4c＞0 ∴|BC|＝| x1－x2|＝| x1－x2|＝（x1＋x2）－4 x1x2＝b－4c b32∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝ b－4c

42

即b－4c＝23·b－4c，∵b－4c＞0，∴b－4c＝23

2

∵c＝1－b， ∴b＋4b－16＝0， b＝－2±25 所求b值为－2±25

⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾. ∴a＞0． 4

∵b＋c＝2－a，bc＝

a

42

∴b、c是一元二次方程x－(2－a)x＋＝0的两实根．

a42

∴△＝（2－a）－4×≥0，

a

∴a－4a＋4a－16≥0, 即（a＋4）(a－4)≥0，故a≥4. ∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．

①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾； ②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,

则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2， ∵ a≥4，故2a－2≥6

当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6． 23. 已知抛物线yaxbxc与y

轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y=-x+2 并且线段CM的长为22

（1） 求抛物线的解析式。

（2） 设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0）， O x y 23

2

2

2

22

22

2

2

22

2

且点A在B的左侧，求线段AB的长。

（3） 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线yaxbxc

2

b4acb2过点C（0,2），所以c=2，抛物线yaxbxc的顶点M在直线2a,4a24a2b2b2,解得b0或b2 CM上，所以

4a2a若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M11,2

aaCM过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在RtCMQ中，所以，8()[2(22CQ2QM2

121)]，解得，a。 a21212∴所求抛物线为：yx2x2 或yx2x2 以下同下。

2221a（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y）

∵点M在直线yx2上，∴yx2 由勾股定理得CM∴

x2(y2)2，∵CM22

x2(y2)2=22，即x2(y2)28

yx2x12x22解方程组 x2(y2)28 得y14 y20

∴M（-2，4） 或 M （2，0）

当M（-2，4）时，设抛物线解析式为ya(x2)4，∵抛物线过（0，2）点， ∴a‘

‘

2112，∴yx2x2 222当M（2，0）时，设抛物线解析式为ya(x2) ∵抛物线过（0，2）点，∴a∴所求抛物线为：y112，∴yx2x2 22y 12x2x2 或2M 1yx22x2

2（2）∵抛物线与x轴有两个交点，

C （12∴yx2x2不合题意，舍去。

212A B M∴抛物线应为：yx2x2 N O D 2抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴

由12x2x20，得 2ABx1x242

（3）∵AB是⊙N的直径，∴r =22 ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4

设直线yx2与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴

NGDNsin4522= r MDN45，作NG⊥CM于G，在RtNGD中，即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径，∴直线CM与⊙N相切 24． 已知：抛物线y=-x+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P． (1)求A、B、P三点坐标；

(2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由. 解：(1)求得A(1，0)，B (3，0)， P (2，1) (2)作图正确 当1＜x＜3时，y>0

yx24x3(3)由题意列方程组得： y2x62

y 3 2 2

1 转化得：x-6x+9=0 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 O △ ＝0，∴方程的两根相等， -2 -3 方程组只有一组解 ∴此抛物线与直线有唯一的公共点

25． 已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C.

(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长； (2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；

(3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且22

x1+x2－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式． 解：(1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝

23 3AOAB，由此可求得：ABACy A C x O D B H G

∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠ ，∴△ABO∽△ABC ，∴AC＝

4 3 方法二：由题意知：tan∠OAB=

OB323，1，由勾股定理可求得AB＝2， OA33在ABC中，tanBACtanOAB34，可求得AC＝ 33 (2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，

则可证得AC＝AD，BD＝--4′

x ∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB＝AO×OD----6′，即1y

22

2x2x2化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=

44方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC＝(1－y)+x=(1+y)，化简即可

得。

ykxb2(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：12，消去y得：x-4kx-4b=0，则有

yx4x1x24k，由题设知： xx4b122222

x1+x2-6(x1+x2)=8，即(4k)+8b-24k=8，且b=-1，则16k-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=当k1=2、b=-1时，

△＝16k+16b=-16>0，符合题意；当k2=2

2222

1，212

，b=-1时，△＝16k+16b=4-16<0，不合题意2（舍去），∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1

26．如图，已知抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，与y轴交于点C（0， 3），点P是抛物线的顶点，若m-n= -2，m·n =3．

（1）求抛物线的表达式及P点的坐标； （2）求△ACP的面积S△ACP．

2

解： （1）设抛物线的表达式为y=ax+bx+c，∵抛物线过C（0，3），∴c=3，

又∵抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，

2

∴m、n为一元二次方程ax+bx+3=0的解，

∴m+n=-

b3 ，mn=， aa由已知m-n= -2，m·n =3，∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，

2

∴ 抛物线的表达式为y=x-4x+3，P点的坐标是（2，1）

（2）由（1）知，抛物线的顶点P（2，-1），过P作PD垂直于y轴于点D，所以，S△BCP =S梯形CBPD-S△CPD=S△COB+ S梯形OBPD- S△CPD， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴S△BCP =S△COB+ S梯形OBPD- S△CPD=

2111×3×3+×1×（3+2）-×2×4=3． 22227．已知抛物线C1：yx2mxn（m，n为常数，且m≠0，n0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．

b4acb2注：抛物线yaxbxca≠0的顶点坐标为，．

4a2a2（1）请在横线上直接写出抛物线C2的解析式：________________________； （2）当m1时，判定△ABC的形状，并说明理由；

（3）抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 解：（1）yx2mxn．

（2）当m1时，△ABC为等腰直角三角形．

理由如下： 如图：

点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，

2ACBC．

过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D，过点C作CEAD于E．

当m1时，顶点A的坐标为A11，n，CE1．

又

点C的坐标为0，n，

AE1nn1．AECE．

从而∠ECA45，∠ACy45．

由对称性知∠BCy∠ACy45，∠ACB90．

△ABC为等腰直角三角形．

（3）假设抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PCABBC． 由（2）知，ACBC，ABBCAC． 从而△ABC为等边三角形．

∠ACy∠BCy30．

四边形ABCP为菱形，且点P在C1上，点P与点C关于AD对称．

PC与AD的交点也为点E，因此∠ACE903060．

点A，C的坐标分别为Am，mn，C0，n，

2AEm2nnm2，CEm． AEm2在Rt△ACE中，tan603．

CEmy

m3，m3．

故抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时m3．

28．如图10（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym.

（1）写出y与x的关系式； A D （2）当x＝2，3.5时，y分别是多少？ 11（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

L 三角形移动了多长时间？ B 1C

2

图（1）y＝2x

（2）8；24.5 （3）5秒

2

29、 如图，已知抛物线L1: y=x-4的图像与x有交于A、C两点， （1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；

（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点

为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；

（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.

YD l1

AC XO

l2B

图21

2

解：设l2的解析式为y=a(x-h)+k

∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称， ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）

2

∴y=ax+4

∴0=4a+4 得 a=-1

2

∴l2的解析式为y=-x+4 (2)设B(x1 ,y1) ∵点B在l1上

2

∴B(x1 ,x1-4)

∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 ∴B、D关于O对称

2

∴D(-x1 ,-x1+4).

2 将D(-x1 ,-x1+4)的坐标代入l2：y=-x+4 ∴左边=右边 ∴点D在l2上.

(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则 S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|

a.当点B在x轴上方时，y1＞0

∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大， ∴S既无最大值也无最小值

b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0

∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小， ∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值

此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.9分 ∴AC⊥BD

∴平行四边形ABCD是菱形 此时S最大=16.

22

m21m22230.已知关于x的二次函数yxmx与yxmx，这两个二次函数

222的图象中的一条与x轴交于A, B两个不同的点．

(l）试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点； (2）若A点坐标为（-1, 0)，试求B点坐标；

(3）在（2）的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

m21, 解：(l）对于关于x的二次函数y =xmx22m212

由于△＝(-m )-4×l×=-m-2<0,

2 2

所以此函数的图象与x轴没有交点

m22 对于关于x的二次函数 y =xmx.

22m21)=-m2-2<0, 由于△＝(-m ) -4 ×l×(22

所以此函数的图象与x轴没有交点

m22, 对于关于x的二次函数yxmx22m22)3m240, 由于(m)41(22所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.

m22, 故图象经过A、B两点的二次函数为yxmx22m22m22 (2 )将A(-1,0)代入yxmx，得1m=0.

222 整理，得m-2m = 0 .

解之，得m=0，或m = 2．

22

当m =0时，y＝x-1．令y = 0，得x-1 = 0. 解这个方程，得x1=-1，x2=1

此时，B点的坐标是B (l, 0)．

22

当m=2时，y=x-2x-3.令y=0，得x-2x-3=0. 解这个方程，得x1=-1，x2=3

此时，B点的坐标是B（3，0）.

2

(3) 当m =0时，二次函数为y＝x-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当

x<0时，函数值 y 随：的增大而减小．

22

当m=2时，二次函数为y = x-2 x-3 = (x-1)-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小. 31．如图1，已知直线y2

11，B两点． x与抛物线yx26交于A24（1）求A，B两点的坐标；

（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． yy

P BB

xxOO A A

图1 图2

12yx6x16x44 2解：（1）解：依题意得解之得

y13y22y1x23)，B(4，2) A(6，（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1）

y 由（1）可知：OA35 OB25 B C M A

Ｅ O D x

AB55 OM15ABOB 22 过B作BE⊥x轴，E为垂足 由△BEO∽△OCM，得：

OCOM5，OC， OBOE45 2C，0，D0， 同理：OD， 设CD的解析式为ykxb(k0)

525450kbk24  5

5bb225． 2（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交

1点的直线yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．

2 AB的垂直平分线的解析式为：y2x1yxm2 

1yx264 

121xxm60 42抛物线与直线只有一个交点，

y B 4122H P G A 1(m6)0， 42523m P1，

44 在直线GH：yO x

125x中， 24图2

第26题

2525G，0，H0，

24GH255 4

设O到GH的距离为d，

11GHdOGOH22125512525d 24224

5d52AB∥GH， P到AB的距离等于O到GH的距离d．

S最大面积1155125ABd55 22242232.已知：m、n是方程x6x50的两个实数根，且mn，抛物线yxbxc的图像经过点A(m,0)、B(0，n).

(1) 求这个抛物线的解析式；

(2) 设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△

b4acb2,)）BCD的面积；（注：抛物线yaxbxc(a0)的顶点坐标为（( 2a4a2(3) P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分

成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标. ¡ü D

解：（1）解方程x6x50,得x15,x21 由mn，有m1,n5

所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.

将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入yxbxc.

22B 得1bc0b4解这个方程组，得

c5c52C O A ¡ú

所以，抛物线的解析式为yx4x5

2（2）由yx4x5，令y0，得x4x50

2解这个方程，得x15,x21

所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）. 过D作x轴的垂线交x轴于M.

127 9(52)221125S梯形MDBO2(95)14，SBOC55

2222725所以，SBCDS梯形MDBOSDMCSBOC1415.

22则SDMC（3）设P点的坐标为（a,0）

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为yx5. 那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a5)，

PH与抛物线yx4x5的交点坐标为H(a,a4a5).

2233EP，即(a24a5)(a5)(a5) 223解这个方程，得a或a5（舍去）

2222②EHEP，即(a4a5)(a5)(a5)

332解这个方程，得a或a5（舍去）

332P点的坐标为(,0)或(,0).

23由题意，得①EH33．已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数ykx1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为4，4．平行于x轴的直线l过0，1点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位t0，二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

y 3， 44)代入ykx1得k解：（1）把A(4，3一次函数的解析式为yx1；

4二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴， O x l

设二次函数解析式为yax2，

把A(4，4)代入yax得a21， 4二次函数解析式为y12x． 43yx14 （2）由

y1x24x1x4解得或1，

yy441B1，，

4过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A，B，

151， 4455425， 直角梯形AABB的中位线长为28则AA415，BB过B作BH垂直于直线AA于点H，则BHAB5，AH4115， 442515AB5，

4422AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，

以AB为直径的圆与直线l相切．

（3）平移后二次函数解析式为y(x2)t，

令y0，得(x2)t0，x12t，x22t，

过F，M，N三点的圆的圆心一定在直线x2上，点F为定点，

22要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x2的距离， 此时，半径为2，面积为4π，

设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE1，

在三角形CEM中，ME2213，

MN23，而MNx2x12t，t3，

当t3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π．