八年级下册数学19.1.2 函数的表示方法教案

1．了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；(重点)

2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(难点)

一、情境导入

问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？

(2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？

二、合作探究

探究点一：函数的表示方法

【类型一】 用列表法表示函数关系 有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下

面表格中的一些数据回答下列问题： 质量(克) 伸长量(厘米) 总长度(厘米) 1 0.5 10.5 2 1 11 3 1.5 11.5 4 2 12 … … … (1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？ (2)当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．

(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克．

解析：(1)根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据函数值，可得所挂重物质量．

解：(1)5÷0.5×1＝10(克)，

答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克； (2)函数的表达式：h＝10＋0.5x(0≤x≤50)； (3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30，

答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．

方法总结：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．

【类型二】 用图象法表示函数关系 第 1 页 共 5 页

如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(千米)和行

驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：

(1)汽车共行驶的路程是多少？

(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？

(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？

(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？ 解析：根据图象解答即可．

解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)；

(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时； (3)由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B点所用的时间160是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝(千米/时)；由纵坐标看出汽车从B到C没动，

3此时速度为0千米/时；由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)；

(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5小时，返回用了1.5小时．

方法总结：图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．

【类型三】 用解析式法表示函数关系

一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余

油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．

(1)写出y与x的关系式；

(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？ (3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？

解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值；(3)令y＝0，求出x即可．

解：(1)y＝－0.6x＋48；

(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米；

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(3)令y＝0，－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80km.

方法总结：解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．

探究点二：函数表示方法的综合运用 【类型一】 分段函数及其表示 为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每

户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )

解析：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8(x－100)

0.5x（0≤x≤100），＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为y＝纵观各选

0.8x－30（x>100）.

项，只有C选项图形符合．故选C.

方法总结：根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．

【类型二】 函数与图形面积的综合运用 如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A

停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．

(1)求矩形ABCD的面积； (2)求点M、点N的坐标；

1

(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．

5

解析：(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形

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ABCD面积的一半，并且运动路程由4到9，说明CD的长为5.然后求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求可得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，进而得出M点坐标，利用AD，BC，CD的长得出N点坐标；(3)分点P在BC、CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x即可． 解：(1)结合图形可知，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在4～9之间，△ABP的面积不变，得出BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20；

(2)由(1)得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，则点M的纵坐标为10，故点M坐标为(4，10)．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，故点N的坐标为(13，0)；

11

(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的，则△ABP的面积为20×＝4.

55

11

①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝AB·PB＝×5x＝

225x5x

，令＝4，解得x＝1.6； 22

11

②点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝AB·PB＝×5×4

22＝10(不合题意，舍去)；

1

③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度13－x，y＝AB·PA＝

2155

×5×(13－x)＝(13－x)，令(13－x)＝4，解得x＝11.4， 222

综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.

方法总结：函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．

三、板书设计

1．函数的三种表示方法 (1)列表法； (2)图象法； (3)解析式法．

2．函数表示方法的综合运用

函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示．针对这个问题，可通过引导学生对例子比较来解决．这样学生通过对不同例子的比较就能很好的区分这三种方法的特点，并能选择合适的方法．这节课的另一个目标是让学生了解分段函数，通过两个例子的介绍，能理解分段函数并按要求进行求值．

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