第十二章全等三角形、等腰三角形(培优卷1) 八年级数学人教版上册

1．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．

（1）求证：CE＝BF； （2）求∠BPC的度数．

2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．

（1）求证：CF＝EB．

（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．

3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．

4．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．

（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？

5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，F为BC边上的两点，CF＝DB，连接AD，过点C作CE⊥AD于点G，交AB于点E，连接EF． （1）若∠DAB＝15°，AD＝6，求线段GD的长度； （2）求证：∠EFB＝∠CDA；

（3）若∠FEB＝75°，试找出AG，CE，EF之间的数量关系，直接写出结论．

6．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．

（1）如图1，DE与AC交于点P，观察并猜想BD与DP的数量关系： ． （2）如图2，DE与CA延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（3）若DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请画出图形并写出你的结论，无需证明． 7．【阅读理解】

已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS） ∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB

又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形． ∴DE＝EC．

∴AC＝AE+EC＝AB+BD． 【解决问题】

已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝2，则三角形DEC的周长为 ． 【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想． 【类比猜想】

任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．

8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M． （1）求证：△ADC≌△AEB；

（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论； （3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．

9．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．

10．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF． （1）求证：BE＝EF；

（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

11．如图，已知BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．

12．阅读下列材料：

问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．

小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．

请你参考小明同学的思路，解决下列问题：

（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是 ；

（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为 ，△EFC的周长为 ； （3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，则△AEF的面积为 ．

13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ADC＝90°，AD∥BC．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF，点F在正方形ABCD的内部，连接DF，求证：DF平分∠ADC；

（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM交EF于点N，过点E作EG∥AF交DC的延长线于点G，若∠BGE+2∠FEC＝135°，DH＝1，求线段MN的长．

14．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．

【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．

（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是 ． （2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．

【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．

15.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

（1）如图（1），当t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 16.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果） （2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．