2018-2019学年安徽省合肥市包河区八年级(下)期中数学试卷

2018-2019 学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）要使二次根式

A．x≠3

有意义，则 x 的取值范围是（ ）

B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3

为同类二次根式的是（ ）

2．（3 分）下列根式中，与

A．

B． C． D．

）

（3 分）如果梯子的底端离建筑物 3m 远，那么 5m 长的梯子可以达到建筑物的高度是（ 3．A．2m

B．3m

） ＝2

C．4m D．5m

4．（3 分）下列运算正确的是（

A．

+ ＝ B． C．

• ＝ D． ÷ ＝2

5．（3 分）估计

的值在（ ）

A．4 和 5 之间

B．5 和 6 之间

C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间

）

6．（3 分）如果 2 是方程 x2﹣3x+k＝0 的一个根，则常数 k 的值为（

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

）

7．（3 分）一元二次方程 x2﹣4x+5＝0 的根的情况是（

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

）

D．1，

，3

8．（3 分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（

A．4，5，6

B．1.5，2，2.5 C．2，3，4

9．（3 分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a 元降为 b 元，已知两次降价的百

分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是

（

）

B．a（1﹣x）2＝b

C．a（1﹣2x）2＝b D．a（1﹣x2）＝b

A．a（1+x）2＝b

10．（3 分）如图，小正方形边长为 △1，连接小正方形的三个顶点，可得 ABC，则 AC 边上

的高是（

）

第 1 页（共 14 页）

A．

B． C． D．

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）方程 x2﹣24＝0 的根是

．

）的结果等于

．

cm 时，这三条

12．（4 分）计算（4+

）（4﹣

13．（4 分）一个多边形的每个内角都是 150°，那么这个多边形的边数为 14．（4 分）已知两条线段的长为 5cm 和 12cm，当第三条线段的长为

线段能组成一个直角三角形．

15．（4 分）如图，在 Rt△

ABC 中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，将△ABC 折叠，使点 B

．

恰好落在边 AC 上，与点 B'重合，AE 为折痕，则 EB'＝

16．（4 分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一

个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形

证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a＝3，b＝4，则该矩形的面

积为

．

三、解答题（本题共 6 小题，共 46 分）

17．（6 分）计算：

18．（6 分）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6＝0．

19．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．

（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为 x1，x2，且满足 x12+x22＝16+x1x2，求实数 m 的值．

20．（8 分）合肥市某小区有一块长 12 米、宽 6 米的，计划在其中修建两块矩形空地相同的

长方形绿化地，它们的面积之和为 36 平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小

第 2 页（共 14 页）

路，求小路的宽度为多少米？

21．（8 分）如图，已知 Rt△

ABC 中，∠C＝90°，AD 是角平分线，CD＝15，BD＝25，求

AC 的长．

22．（10 分）某商店购进一批小玩具，每个成本价为20 元．经调查发现售价为 32 元时，每

天可售出 20 个，若售价每增加 5 元，每天销售量减少 2 个；售价每减少 5 元，每天销售

量增加 2 个．商店同一天内售价保持不变．

（1）若售价增加 x 元，则销售量是（

）个（用含 x 的代数式表示）；

（2）某日商店销售该玩具的利润为 384 元，求当天的售价是多少元？（利润＝售价一进 价）

附加题：（本题 5 分，答对计入总分，但满分不超过 100 分）

23．若关于 x 的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0 的所有根都是比 1 小的正实数，则实数 m 的

取值范围是

．

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2018-2019 学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1．（3 分）要使二次根式

A．x≠3

有意义，则 x 的取值范围是（ ）

B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3

【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数． 【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，

解得 x≥3．

故选：D．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子

（a≥0）叫二次根式．性质：二

次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2．（3 分）下列根式中，与

为同类二次根式的是（ ）

A．

B． C． D．

【分析】先化简二次根式，再根据定义判断解可得．

【解答】解：∵

＝2 ，

，

∴与

为同类二次根式的是

故选：A．

【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．

3．（3 分）如果梯子的底端离建筑物 3m 远，那么 5m 长的梯子可以达到建筑物的高度是（

）

A．2m

B．3m C．4m D．5m

【分析】在梯子与建筑物构成的直角三角形中，梯子的长即为斜边的长，梯子底端离建 筑物的距离为直角边的长，由勾股定理即可求得梯子可以达到的建筑物的高度．

【解答】解：如图；梯子 AC 长是 5 米，梯子底端离建筑物的距离 AB 长为 3 米；

在 Rt△ ABC 中，AC＝5 米，AB＝米；

根据勾股定理，得 BC＝4 米，

故选：C．

第 4 页（共 14 页）

【点评】此题主要考查勾股定理的应用，正确地获取题目中的信息是解答此类题的关键．

4．（3 分）下列运算正确的是（

） ＝2

C．

•

＝

D．

÷

＝2

A．

+ ＝ B．

【分析】利用二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的性质对 B 进行判断；根 据二次根式的乘法法则对 C 进行判断；根据二次根式的除法法则对 D 进行判断．

【解答】解：A、

与 不能合并，所以 A 选项错误；

B、原式＝3

，所以 B 选项错误；

C、原式＝ D、原式＝

＝ ，所以 C 选项错误；

＝2，所以 D 选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行

二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵

活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5．（3 分）估计

的值在（ ）

A．4 和 5 之间

B．5 和 6 之间

＜

C．6 和 7 之间

＜

D．7 和 8 之间

【分析】利用二次根式的性质，得出 【解答】解：∵

＜

，进而得出答案．

＜ ，

∴6＜

＜7，

∴

的值在整数 6 和 7 之间．

故选：C．

【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出

＜ ＜ 是解题关键．

） D．﹣2

6．（3 分）如果 2 是方程 x2﹣3x+k＝0 的一个根，则常数 k 的值为（

A．1

B．2 C．﹣1

【分析】把 x＝2 代入已知方程列出关于 k 的新方程，通过解方程来求 k 的值． 【解答】解：∵2 是一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 的一个根，

第 5 页（共 14 页）

∴22﹣3×2+k＝0，

解得，k＝2．

故选：B．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一

元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数

所得式子仍然成立．

7．（3 分）一元二次方程 x2﹣4x+5＝0 的根的情况是（

）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

【分析】把 a＝1，b＝﹣4，c＝5 代入 ＝b△2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根 的情况．

【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，

∴ ＝b△2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，

所以原方程没有实数根．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式

＝△．当 ＞△0，方程有两个不相等的实数根；当 ＝0，方程有两个相等的实数 b△2﹣ 4ac

根；当 ＜△0，方程没有实数根．

8．（3 分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（

）

D．1，

，3

A．4，5，6

B．1.5，2，2.5 C．2，3，4

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故 A 选项错误；

B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故 B 选项正确；

C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故 C 选项错误；

D、12+（ 故选：B．

）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故 D 选项错误．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2＝c2，那

么这个三角形就是直角三角形．

9．（3 分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a 元降为 b 元，已知两次降价的百

分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是

第 6 页（共 14 页）

（

）

A．a（1+x）2＝b

B．a（1﹣x）2＝b

C．a（1﹣2x）2＝b D．a（1﹣x2）＝b

【分析】设每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分 率），则第一次降价后的价格是 560（1﹣x），第二次后的价格是 560（1﹣x）2，据此即

可列方程求解．

【解答】解：设每次降价的百分率为 x，由题意得：

a（1﹣x）2＝b．

故选：B．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条

件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．

10．（3 分）如图，小正方形边长为 △1，连接小正方形的三个顶点，可得 ABC，则 AC 边上

的高是（

）

A． B． C． D．

【分析】以 AC、AB、BC 为斜边的三个直角三角形的面积分别为 1、1、 ，因此△ABC 的面积为 ；用勾股定理计算 AC 的长为

，因此 AC 边上的高为 ．

【解答】解：∵三角形的面积等于小正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即 △S ABC

＝4﹣ ×1×2﹣ ×1×1

＝ ，

∵

＝ ，

＝ ，

∴AC 边上的高＝

故选：C．

【点评】此题首先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算，再根据勾股定

理求得 AC 的长，最后根据三角形的面积公式计算．

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

第 7 页（共 14 页）

（4 分）方程 x2﹣24＝0 的根是 11．

x1＝2

，x2＝﹣2 ．

【分析】利用直接开平方法解方程得出答案． 【解答】解：x2﹣24＝0，

则 x2＝24，

故 x＝±

，

，x2＝﹣2 ．

，x2＝﹣2

．

解得：x1＝2

故答案为：x1＝2

【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． 12．（4 分）计算（4+

）（4﹣ ）的结果等于 11

【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝16﹣5

＝11．

故答案为 11．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后

进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

13．（4 分）一个多边形的每个内角都是 150°，那么这个多边形的边数为

12 ．

【分析】根据多边形的内角和定理：180°（• n﹣2）求解即可．

【解答】解：由题意可得：180°（• n﹣2）＝150°•n，

解得 n＝12．

所以多边形是 12 边形，

故答案为：12．

【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n 边形的内角和为：180°（．此类题型 • n﹣2）

直接根据内角和公式计算可得．

（ 分）已知两条线段的长为 5cm 和 12cm，当第三条线段的长为 14． 4这三条线段能组成一个直角三角形．

13 或 cm 时，

【分析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边

二种情况下的结果．

【解答】解：根据勾股定理，当 12 为直角边时，第三条线段长为

＝13；

第 8 页（共 14 页）

当 12 为斜边时，第三条线段长为＝

＝ ．

故答案为：13 或

．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意要分两种情况讨论． 15．（4 分）如图，在 Rt△

ABC 中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，将△ABC 折叠，使点 B

15 ．

恰好落在边 AC 上，与点 B'重合，AE 为折痕，则 EB'＝

【分析】由翻折不变性可知：AB＝AB′＝30，EB＝EB′，设 EB＝EB′＝x，在 Rt△ CEB′ 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵AB＝30，BC＝40，

∴AC＝

＝50，

由翻折不变性可知：AB＝AB′＝30，EB＝EB′，设 EB＝EB′＝x，

在 Rt△ CEB′中，则有：（40﹣x）2＝x2+202，

∴x＝15，

故答案为 15．

【点评】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解

决问题，属于中考常考题型．

16．（4 分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一

个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形

证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a＝3，b＝4，则该矩形的面

积为 24 ．

【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为 x， 在直角三角形 ACB 中，利用勾股定理可建立关于 x 的方程，进而可求出该矩形的面积．

第 9 页（共 14 页）

【解答】解：设小正方形的边长为 x，

∵a＝3，b＝4，

∴AB＝3+4＝7，

在 Rt△ ABC 中，AC2+BC2＝AB2，

即（3+x）2+（x+4）2＝72，

整理得，x2+7x﹣12＝0，

∴x2+7x＝12，

∴该矩形的面积＝（3+x）（x+4）＝x2+7x+12＝12+12＝24．

故答案为：24．

【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于 x 的方 程是解题的关键．

三、解答题（本题共 6 小题，共 46 分）

17．（6 分）计算：

【分析】首先化简二次根式，进而合并得出答案．

【解答】解：原式＝3

+ ﹣2 ×

＝3

+

﹣

＝2

．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键． 18．（6 分）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6＝0．

【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方即可得．

【解答】解：∵x2﹣6x＝﹣6，

∴x2﹣6x+9＝﹣6+9，即（x﹣3）2＝3，

则 x﹣3＝±

，

∴x＝3

．

第 10 页（共 14 页）

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键．

19．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．

（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为 x1，x2，且满足 x12+x22＝16+x1x2，求实数 m 的值．

】△ ）根据方程的系数结合根的判别式 【分析（1解之即可得出实数 m 的取值范围；

≥0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，

222（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2＝﹣（，1•mx2 +1）x 2＝m﹣1，结合 x1+x2＝16+x1x2

可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值，再结合（1）的结论即可确定 m

的值．

【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0 有实数根，

∴ ＝[2△（m+1）]2﹣4（m2﹣1）＝8m+8≥0，

解得：m≥﹣1，

∴当方程有实数根时，实数 m 的取值范围为 m≥﹣1．

（2）∵方程两实数根分别为 x1，x2，

∴x1+x2＝﹣2（m+1），x1•x2＝m2﹣1． ∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1x2， ∴[﹣2（m+1）]2﹣2（m2﹣1）＝16+（m2﹣1）， 整理，得：m2+8m﹣9＝0，

解得：m1＝﹣9，m2＝1．

又∵m≥﹣1，

∴实数 m 的值为 1．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△

≥0 时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22＝16+x1x2，找出关于 m

的一元二次方程．

20．（8 分）合肥市某小区有一块长 12 米、宽 6 米的，计划在其中修建两块矩形空地相同的

长方形绿化地，它们的面积之和为 36 平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小

路，求小路的宽度为多少米？

第 11 页（共 14 页）

【分析】设小路的宽度为 x 米，根据矩形的面积公式可得（12﹣3x）（6﹣2x）＝36，解

方程即可求解．

【解答】解：设小路的宽度为 x 米，根据题意得，

（12﹣3x）（6﹣2x）＝36，

解得 x1＝1，x2＝6（不合题意，舍去）．

答：小路的宽度为 1 米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键．

21．（8 分）如图，已知 Rt△

ABC 中，∠C＝90°，AD 是角平分线，CD＝15，BD＝25，求

AC 的长．

【分析】过点 D 作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线的性质求出 DE，根据勾股定理求出 BE， 证明 AC＝AE，根据勾股定理列式计算，得到答案．

【解答】解：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，

∵AD 是角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝CD＝15，

在 Rt△ DEB 中，BE＝

＝20，

在 Rt△ ACD 和 Rt△ AED 中，

，

∴Rt△ ACD≌Rt△ AED（HL）

∴AC＝AE，

在 Rt△ ABC 中，AC2+BC2＝AB2，即 AC2+402＝（AC+20）2，

解得，AC＝30，即 AC＝30．

第 12 页（共 14 页）

【点评】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边

的距离相等是解题的关键．

22．（10 分）某商店购进一批小玩具，每个成本价为20 元．经调查发现售价为 32 元时，每

天可售出 20 个，若售价每增加 5 元，每天销售量减少 2 个；售价每减少 5 元，每天销售

量增加 2 个．商店同一天内售价保持不变．

（1）若售价增加 x 元，则销售量是（

20﹣0.4x ）个（用含 x 的代数式表示）；

（2）某日商店销售该玩具的利润为 384 元，求当天的售价是多少元？（利润＝售价一进 价）

【分析】 1（ ）根据“售价每增加 5 元，每天销售量减少 2 个”列出代数式；

（2）根据利润＝售价一进价列出方程并解答．

【解答】解：（1）依题意得：20﹣ ×2＝20﹣0.4x．

故答案是：20﹣0.4x；

（2）①售价增加 x 元，依题意得：（32﹣20+x）（20﹣0.4x）＝384

整理，得 x2﹣38x+360＝0．

解得 x1＝20，x2＝18

当 x2＝18 时，20﹣0.4x＝20﹣0.4×18＝12.8（不合实际，舍去）． 所以 32+20＝52（元）

②设售价减少 y 元，

由题意，得（32﹣20﹣y）（20+0.4y）＝384

整理，得 y2+38y﹣408＝0．

解得 y1＝﹣19+ 当 y＝﹣19+

，y2＝﹣19﹣ （舍去）

时，20+0.4y＝20+（﹣19+ ）＝1+ （不合实际，舍去）．

综上所述，当天的售价是 52 元． 答：当天的售价为 52 元．

第 13 页（共 14 页）

【点评】此题考查一元二次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系，

列出方程，需要掌握的基本计算能力．

附加题：（本题 5 分，答对计入总分，但满分不超过 100 分）

23．若关于 x 的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0 的所有根都是比 1 小的正实数，则实数 m 的

取值范围是 m＝1 或 m＞2 ．

【分析】分 1﹣m2＝0，1﹣m2≠0 两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都

是比 1 小的正实数，列出不等式，求出 m 的取值范围．

【解答】解：当 1﹣m2＝0 时，m＝±1．

当 m＝1 时，可得 2x﹣1＝0，x＝ ，符合题意；

当 m＝﹣1 时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣ ，不符合题意；

当 1﹣m2≠0 时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，

[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，

∴x1＝

，x2＝ ．

∵关于 x 的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0 的所有根都是比 1 小的正实数，

∴0＜

＜1，解得 m＞0，

0＜

＜1，解得 m＞2．

综上可得，实数 m 的取值范围是 m＝1 或 m＞2．

故答案为：m＝1 或 m＞2．

【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分

﹣m2＝0，1﹣m2≠0 两种情况讨论求解．

第 14 页（共 14 页）

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