高考专题高考数学模拟试题及答案

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

2015年高考数学模拟试题及答案

本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。第一卷1至2页，第二卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试时间120分钟。

第一卷（选择题 共60分）

注意事项：

1. 作答第一卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔填写在答题卡上，并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否正确。

2. 第一卷答案必须用2B铅笔填涂在答题卡上，在其他位置作答一律无效。每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 参考公式：

三角函数的和差化积公式

sinasinb2sinabab cos22abab cos22

sinasinb2cosabab sin22abab sin22若事件A在一次试验中发生的概率是p，由它在n次重复试验中恰好发生k次的概率 cosacosb2coscosacosb2sinknkPn(k)Ck np(1p)一组数据x1,x2,,xn的方差S21(x1x)2(x2x)2n

(xnx)2

其中x为这组数据的平均值

一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

(1) 设集合A1,2，B1,2,3，C2,3,4，则(AB)C

(A)1,2,3 (B)1,2,4 (C)2,3,4 (D)1,2,3,4

(2) 函数y21x3(xR)的反函数的解析表达式为

(A)ylog22 x3(B)ylog2x3 2(C)ylog23x 2(D)ylog22 3x(3) 在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项的和为21，则a3a4a5

(A) 33

(B) 72

(C) 84

(D) 1

(4) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为

(A)3 4(B)3 2(C)33 4(D)3 (5) △ABC中，Ap，BC3，则△ABC的周长为 3pp(A)43sin(B)3 (B)43sin(B)3

36pp(C)6sin(B)3 (D)6sin(B)3

36(6) 抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是

(A)

17 169.4

9.4

(B)

15 168.4 9.7

(C)

7 8

9.9

(D) 0

(7) 在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：

9.4

9.6

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为

(A) 9.4，0.484 (B) 9.4，0.016 (C) 9.5，0.04 (D) 9.5，0.016

(8) 设a、b、g为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

① 若ag，bg，则a//b；

② 若ma，na，m//b，n//b，则a//b； ③ 若a//b，la，则l//b； ④ 若a(A) 1

bl，bgm，g(B) 2

an，l//g，则m//n．

(C) 3

(D) 4

其中真命题的个数是

(9) 设k1,2,3,4,5，则(x2)5的展开式中xk的系数不可能是 ．．．

(A) 10 (10) 若sin(a)(B) 40

(C) 50

(D) 80

p67(A)

912p，则cos(2a) 331(B)

3(C)

1 3(D)

7 9x2y2(11) 点P(3,1)在椭圆221(ab0)的左准线上．过点P且方向为a(2,5)的光线，

ab经过直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为

(A)3 3(B)

13(C)2 2(D)

1 2(12) 四棱锥的棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在

同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的．现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 (A) 96

(B) 48

(C) 24

(D) 0

第二卷（非选择题 共90分）

注意事项：

请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔在答题卡上指定区域内作答，在试题卷上作答一律无效。

二．填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． (13) 命题“若ab，则2a2b1”的否命题为 ▲ ． (14) 曲线yx3x1在点(1,3)处的切线方程是 ▲ ． (15) 函数ylog0.5(4x23x)的定义域为 ▲ ． (16) 若3a0.618，a[k,k1)，kZ，则k ▲ ．

(17) 已知a、b为常数，若f(x)x24x3，f(axb)x210x24，则5ab ▲ ．

(18) 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM2，则OA(OBOC)的最小值是

▲ ．

三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (19) (本小题满分12分)

如图圆O1与圆O2的半径都等于1，O1O24．过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、

PN(M、N分别为切点)，使得PM2PN．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨

迹方程．

PMO1(20) (本小题满分12分，每小问满分4分)

甲、乙各两人射击一次，击中目标的概率分别是

NO2

23和．假设两人射击是否击中目标，相34互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (Ⅰ) 求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； ．．．

(Ⅱ) 求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(Ⅲ) 假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击．．．

的概率是多少？

(21) (本小题满分14分，第一小问满分6分，第二、第三小问满分各4分)

如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SAABAE2，

BCDE3，BAEBCDCDE120．

(Ⅰ) 求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）； (Ⅱ) 求证BC平面SAB；

(Ⅲ) 用反三角函数值表示二面角BSCD的大

小（本小问不必写出解答过程）．

(22) (本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小

问满分10分)

已知aR，函数f(x)x|xa|．

(Ⅰ) 当a2时，求使f(x)x成立的x的集合； (Ⅱ) 求函数yf(x)在区间[1,2]上的最小值．

(23) (本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分)

设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且

2SAEDBC(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，n1,2,3,其中A、B为常数．

，

(Ⅰ) 求A与B的值；

(Ⅱ) 证明数列an为等差数列；

(Ⅲ) 证明不等式5amnaman1对任何正整数m、n都成立．

参

一．选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分．

题 号 答 案 解析： (1) (A1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 B 7 D 8 B 9 C 10 A 11 A 12 B B)C1,22,3,41,2,3,4．

2，因此y3(2) 由已知得，21xy3，∴1xlog2(y3)，x1log2(y3)，即xlog2所求的反函数为ylog22． x3(3) 设数列an的公比为q(q0)，则a1(1qq2)21，∵a13，∴q2q60，这个方

程的正根为q2，∴a3a4a5(a1a2a3)q221484．

(4) 取BC的中点M，连结AM、A1M，可证平面A1AM平面A1BC．作AHA1M，垂足

为H，则AH平面A1BC．在Rt△A1AM中，AA11，AM3，A1M2，∴

AH3． 2(5) 由正弦定理得，

abcp，而A，BC3，∴b23sinB，sinAsinBsinC32ppppB)]43sincos(B)6cos(B) 3333c23sinC，∴

bc23(sinBsinC)23[sinBsin(pp6sin(B)．∴abc6sin(B)3．

66111(6) 抛物线的标准方程为x2y，F(0,)，准线方程为y，M(x0,y0)，则由抛物线

41616115的定义得，1y0，即y0．

16161(7) 去掉一个最高分9.9和一个最低分8.4后，平均值为x(9.49.49.69.49.7)9.5，

51方差为S2[(0.1)2(0.1)2(0.1)2(0.1)2(0.2)2]0.016．

5(8) 在四个命题中，①、②是假命题，③、④是真命题．

kk2，其值分别为1，10，40，80，80，32． (9) 在(x2)5的展开式中xk的系数为C52p2ppp72a)cos[p(2a)]cos[2(a)]2sin2(a)1． 33669a2(11)首先3，椭圆的左焦点F(c,0)关于直线y2的对称点为G(c,4)，则PG//a，由

c3PG(3c,5)，a(2,5)，得c1．故a3，离心率e．

3(10)cos((12)记四棱锥为PABCD，首先PA,PB,PC,PD必须存放在4个不同的仓库内，每个仓库内

不可能存放3种或3种以上的化工产品，所以每个仓库恰好存放2种化工产品，方案只有

PA,BC,PB,CD,PC,DA,PD,AB和PA,CD,PB,DA,PC,AB,PD,BC两种.

因此，安全存放的不同方法种数为A44248．

二．填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分24分．

(13)若a„b，则 2a„2b1．(14)4xy10．(15)[,0)(16)1．(17)2． (18)2． 解析：

(13)“若p则q”的否命题是“若p则q”．

(14)y3x21，在点(1,3)处的切线的斜率为4，切线方程为y34(x1)，即

143(,1]． 44xy10．

(15)由log0.5(4x23x)…0，得04x23x„1，解得，„x0或(16)∵

143x„1． 4110.6181，即3a1，∴1a0．因此，k1． 33(17)对比f(x)(x1)(x3)和f(axb)(x4)(x6)可知，axbx3或

axbx7，令x5，得5ab2.

(18) OA(OBOC)OA2OM2OAOM…2，当且仅当O为AM的中点时取等号． 三．解答题：

(19)本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力．满分12分．

解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则两圆心分别为O1(2,0),O2(2,0)．设P(x,y)， 则PM2O1P2O1M2(x2)2y21， 同理PN2(x2)2y21． ∵PM2PN，

∴(x2)y12[(x2)y1]， 即(x6)2y233． 所以动点P的轨迹方程为 (x6)2y233．（或

2222yP(x, y)MO1OO2Nxx2y212x30）

(20)本小题主要考查相互事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用

概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：(Ⅰ)设事件A{甲射击4次，至少1次未击中目标}，

则A{甲射击4次，全部击中目标}．

265P(A)1P(A)1()4．

38165． 81(Ⅱ)事件B{甲射击4次，恰好2次击中目标}，C{乙射击4次，恰好3次击中目标}，

答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为

2233则P(BC)P(B)P(C)C24()()C4()()231334141． 81． 8答：两人各射击4次，甲恰好2次击中目标且乙恰好3次击中目标的概率为

(Ⅲ)事件D{乙恰好射击5次后，被中止射击}＝{乙射击5次，前2次至少1次击中目

标，第3次击中目标，后2次未击中目标}．

13145． P(D)[1()2]()24441024答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率为

45． 1024(21)本小题主要考查异面直线所成角、线面垂直、二面角等基础知识以及空间线面位置关系的证

明、角和距离的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分14分． 解：(Ⅰ)连结BE，由BCDE3，BCDCDE120，由图形的对称性可知，

四边形BCDE是等腰梯形，BE//CD， ∴SBE即为异面直线CD与SB所成的角． ∵SA平面ABCDE，SAABAE2， ∴SAAB，SAAE，SBSE22． 在△ABE，

∵ABAE2，BAE120， ∴BE23． 在△SBE，

∵SBSE22，BE23， ∴cosSBEBCAEDS32266，SBEarccos． 446． 4(Ⅱ)由(Ⅰ)知，四边形BCDE是等腰梯形，△ABE是等腰三角形，

∴五边形ABCDE是轴对称图形，

因此，异面直线CD与SB所成的角的arccos1(0120120120)90，即BCAB． 2又∵SA平面ABCDE，∴SABC．而SAABA，

∴ABCAEC∴BC平面SAB．

(Ⅲ)二面角BSCD的大小为parccos782．（提示：作出二面角的平面角82DFG．）

(22)本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能

力．满分14分．

解：(Ⅰ)当a2时，f(x)x2|x2|．方程f(x)x即为

x2,x2,x2|x2|xx0或2或x0或x12或x1． 2x2x12xx1因此，方程f(x)x的解集为0,1,12． (Ⅱ)首先f(x)x2|xa|…0恒成立． ①若1剟a2，则在区间[1,2]上，当xa时，f(x)取最小值0；

②若a1，则在区间[1,2]上，f(x)x2(xa)，f(x)3x22axx(3x2a)0，即

f(x)在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f(1)1a；

③若a2，则在区间[1,2]上，f(x)x2(ax)，f(x)3x22ax3x(x若2a3，则f(x)在区间[1,2a)． 32a2a]上是增函数，在区间[,2]上是减函数，其最小值33为f(1)a1与f(2)4a8的较小者． ∵f(1)f(2)73a， ∴若2a 若

7，则在区间[1,2]上，f(x)的最小值为f(2)4a8； 37„a3，则在区间[1,2]上，f(x)的最小值为f(1)a1； 3若a…3，则f(x)在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f(1)a1．

综上所述，函数yf(x)在区间[1,2]上的最小值为

f(x)min1a,a10,1剟a24a8,2a„7 ．

37a1,a3(23)本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力．满分

14分．

解：(Ⅰ)由a11，a26，a311，得S11，S22，S318．

AB28,把n1,2分别代入(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，得

2AB48解得，A20，B8．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，5n(Sn1Sn)8Sn12Sn20n8，即

5nan18Sn12Sn20n8，

①

又5(n1)an28Sn22Sn120(n1)8． ② ②-①得，5(n1)an25nan18an22an120， 即(5n3)an2(5n2)an120． 又(5n2)an3(5n7)an220．

③ ④

④-③得，(5n2)(an32an2an1)0， ∴an32an2an10， ∴an3an2an2an1a3a25，又a2a15，

因此，数列an是首项为1，公差为5的等差数列． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，an5n4,(nN)．考虑

5amn5(5mn4)25mn20．

(aman1)2aman2aman1„amanaman125mn15(mn)9．

∴5amn(aman1)2厖15(mn)291522910．

即5amn(aman1)2，∴5amnaman1． 因此，5amnaman1．