高一数学科教案

單元名稱 牛頓定理的應用 設計者 林青蓉 教材來源 高一第一冊第四章（正中書局） 適用年級 高一 教材研究 除法定理、因式定理、綜合除法 上課時間 30分 教學方法 講述法、問答法、練習法 教學資源 海報、磁鐵、板書 學 目 標 單 元 目 標 定理 除法的運算 驗法 4-1能利用牛頓定理計算例題 5.熟練一次因式檢驗法 三、 情意 6.培養學生對於研究數學的興趣 牛頓定理(一次因式檢驗法)的應用

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具 體 目 標 教 一、 認知 餘式定理 綜合除法 驗法） 二、 技能 4.增進牛頓定理的推理能力 1. 明瞭除法定理、因式定理、 1-1能說出除法定理、因式定理、餘式2. 知道長除法、分離係數法、2-1能明白長除法、分離係數法、綜合3. 知道牛頓定理（一次因式檢3-1 能了解牛頓定理就是一次因式檢5-1 能找出多項式的因式 6-1 能認真聆聽老師的講解 6-2 能踴躍參予師生之間的討論與互動 具體目標 1-1 6-1 6-2 2-1 3-1 4-1 5-1 6-1，6-2 教 學 活 動 一、 準備活動 備 註 （一）教師： 研讀第一冊第四章及教師手 1.熟悉教材 冊相關部分 2.收集本單元相關資料 3.確定教學目標 4.設計教學活動 5.製作教具 （二）學生：預習第一冊4-2 二、引起動機 藉由例題引導學生求出多項式的商 請學生自己動手算，求出此式及餘式 多項式之商式及餘式；若有三、發展活動 學生不會，再給予提示，如：1. 複習除法定理，練習求出多項式運用因式定理、除法定理、的商式和餘式 餘式定理、長除法、分離係 2.證明牛頓定理（一次因式檢驗法） 數法、綜合除法 設f（x）是一個整係數n次多 項式。若整係數一次式a x－b3.舉例說明牛頓定理 是f（x）的因式，且a與b 互質，則a是an的因數， b是a0的因數 4.由例題導出一次因式檢驗步驟 詳見補充部分 四、 綜合活動 1.引導學生熟悉一次因式檢驗法 請學生多做例題，有問題可2.交代學生回家作習題4-2的第12題 第 2 頁，共 4 頁

牛頓定理(一次因式檢驗法)的應用

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補充：

1. 如果我們要運用牛頓定理來檢驗多項式是否有一次因式a x－b，則檢驗步驟如下：

（1）一定是整係數多項式；如果前面的領導係數an 為負數，則應先歸為正數；

如果前面的領導係數an 為分數，則先化為整數。

（2）找出領導係數an 的全部正因數，設其中任一個因數為a；

找出常數項 a0 的全部正因數和負因數，設其中任一個為 b 。 （3）找出所有a/ b 的組合，計算每一個f（a/ b）的值 。 （4）若f（a/ b）＝0，則a x－b是f（x）的一個因式。 若f（a/ b）≠0，則a x－b 不是f（x）的一個因式。

（5）檢驗後，若多項式都沒有一次因式，並不表示不能因式分解，可能還有

二次因式ㄜ！

2. 根據因式定理

（1） 若多項式有x－1的因式，則此多項式的各項係數和等於0。 （2） 若多項式有x＋1的因式，則此多項式的奇次項係數和就等於偶次項

係數和。

（3） 若多項式的各項係數皆為正，則f（x）＝0沒有正根。

（4） 若多項式除缺項外，各偶次項係數皆為正，而各奇次項係數皆為負，

則f（x）＝0沒有負根。

（5） 若多項式缺奇次項，則f（x）＝0的根必定正負成對。

3. 牛頓定理在么領時的推論

若an ＝1，則f（x）＝0若有有理根，必是整數根，且是a0的因數。

4. 輔助定理

（a－b）︱f（1）

（a＋b）︱f（-1）

牛頓定理(一次因式檢驗法)的應用

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牛頓定理(一次因式檢驗法)的應用第 4 頁，共 4 頁