四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

四川省成都市新都区

2015 届中考数学三诊试题

） ） 项目总投资

一、选择题

1 . 数轴上到原点距离为 A．±2

B．2

C．4

2 的点表示的数是（

D．±4

2．以下几何体中，侧面张开图可能是正方形的是（ A．正方体

B．圆柱 C ．圆锥 D ．球体

3．建军路地下商业街是市为满足市里人防和商业需要而规划建设的重点城建项目， 12 亿元，其中数据 12 亿用科学记数法表示为（ ）

A．1.2 ×10 8 B．12×10 8 C．1.2 ×10 9 D．1.2 ×10 10 4．以下计算正确的选项是（

）

A．=±3 B ． a0=1 C． 3 ﹣ 2 =1 D．2÷3× =

5．以下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有（

）个

（ 1）等腰三角形；（ 2）正方形；（ 3）矩形；（ 3）菱形；（ 5）圆．

A．2

B．3 C．4

D． 5

6．函数 y=（x﹣ 1） 0 中，自变量 x 的取值范围是（ ）

A．x＞ 1 B ．x≠1 C ．x＜ 1 D ．x≥1

7．在一次环保知识竞赛中，某班 46 名学生的成绩以下表所示：

得分 50 60 70 80 90 100 110 120 人数

2

3 5

13

14

4 4

1

则这些学生成绩的众数和中位数分别为（ ） A．90， 90

B． 90，85

C． 90， 80

D． 14， 4 8．二次函数 y=x 2﹣ 4x+1 的极点坐标为（ ）

A．（ 2， 5） B ．（﹣ 2， 5）

C．（ 2，﹣ 3） D．（﹣ 2，﹣ 3）

9．如图，△ ABC中， AB=AC，∠ A=36°， BD是 AC边上的高，则∠ DBC的度数是（ A．18° B ．24° C ．30° D ．36° 10．如图，在圆内接四边形

ABCD中，∠ C=110°，则∠ BOD的度数为（

） A．140° B．70° C ．80° D ．60°

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二、填空题

11．分解因式： 2x2y﹣ 8y= ．

12．△ ABC中，∠ C=90°， cos∠A=0.3， AB=10，则 AC= ．

13．若双曲线 y=﹣ 经过点 P1（ x1， y1）， P2（ x2，y2）两点，且 x1＜x2＜ 0，则 y1 与 y2 的大小关系 为

．

14．已知关于 x 的方程 kx 2﹣ 2x+1=0 有两个不相等的实数根，那么 三、解答题（本大题共 15．（ 1）计算：（﹣ 6 小题，满分 分） ） 2﹣3tan30 °﹣ |﹣ 2| ﹣ ﹣k 的最大整数值是 ．

（ 2）解不等式 ≤ ，并写出它的正整数解．

16．以下列图，为了测量河对岸楼房 AB的高度，某中学实践活动小组的同学先在 C点测得楼顶 A 的

仰角为 30°，沿 CB方向前进 20（ ﹣ 1）m到达河边的 D 处，在 D 处测得楼房顶端 A 的仰角为 45°， 你能依照以上数据求出楼房的高度吗？若能，请计算楼房的高度；若不能够，请说明原由．

17．先化简

÷（ 2+ ）， x 再从 0， 1，﹣ 1 中选一个合适的数求代数式的值．

18．在边长为 1 的小正方形组成的网格中，有以下列图的 A、B 重合，且 A、 B、C 三点不在同一条直线上）， （ 1）求恰好能使得△ ABC 的面积为 1 的概率； （ 2）求能使△ ABC 为等腰三角形的概率．

A， B 两点，在格点上任意放置点

C（不与

19．如图，矩形 OABC的极点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（ 2，3）．双曲线 y= （ x＞ 0）的图象经过 BC的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE． （ 1）求 k 的值及点 E 的坐标；

（ 2）若点 F 是 OC边上一点，且△ FBC∽△ DEB，求直线 FB 的解析式．

2

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20．以下列图，在边长为 4 的正方形 ABCD中，点 P 在 AB上从 A 向 B 运动，连接 DP交 AC于点 Q，

（ 1）试证明：无论点 P 运动到 AB上哪处时，都有 DQ=BQ；

（ 2）当点 P在 AB上运动到什么地址时，△ ADQ 的面积是正方形 ABCD面积的 ；

（ 3）若点 P从点 A 运动到点 B，再连续在 BC上运动到点 C，在整个过程中，当点 P 运动到什么地址时，△ ADQ恰好为等腰三角形．

四、填空题（本大题共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分） 21．若 x， y 为实数，代数式 5x2+4y2﹣ 8xy+2x+1=0 ，则 x+y=

． 22．已知 ，且﹣ 1＜ x﹣ y＜ 1，则 k 的取值范围是 ． 23．如图，已知 AB为⊙O 的直径，直线 l 与⊙O相切于点 于 F．若 AE=3， CD=2，则⊙O 的直径为

． D，AC⊥l 于 C， AC交⊙O 于点 E，DF⊥AB

24．若抛物线 y=x2﹣（ k﹣ 1） x﹣ k﹣ 1 与 x 轴的交点为 A、 B，极点为 C，则△ ABC 的面积最小值

为

．

xOy 中，直线 AB与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，与反比率函数

（ k

25．如图，在平面直角坐标系

为常数，且 k＞ 0）在第一象限的图象交于点 直线 EM与 FN交于点 C．若 OEF的面积为

E，F．过点 E 作 EM⊥y轴于 M，过点 F 作 FN⊥x轴于 N， S1，△

（ m为大于 l 的常数）．记△ CEF 的面积为

S2，

3

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则

= ． （用含 m的代数式表示）

五、解答题（本大题共 3 小题，满分 30 分） 40 个，且每日生产的产品全部售出，已知生产

26．工艺品厂计划生产某种工艺品，每日最高产量是 2x．

（ 1）当日产量为多少时，每日获取利润为

x 个工艺品成本为 P（元），售价为每个 R（元），且 P与 x，R 与 x 的关系式分别为 P=500+30x，R=170﹣

1150 元？

O，P 为半圆上的动点

（ 2）要想获取最大利润，每日必定生产多少个工艺品？

27．已知四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，在以 AB为直径的正方形内作半圆 （不与 A、 B重合）连接 PA、 PB、 PC、 PD， （ 1）若 DP与半圆 O相切时，求 PA的长． （ 2）如图，以 BC边为 x 轴，以 AB边为 y 轴，建立以下列图的平面直角坐标系，把△ PAD、△ PAB、△PBC的面积分别记为 S1、 S2、 S3，试求 2S1S3﹣ S22 的最大值，并求出此时点 P 的坐标．

（ 3）在（ 2）的条件下， E 为边 AD上一点，且 AE=3DE，连接 BE交半圆 O于 F．连接 FP 并延长至点Q，使得 PQ=PB，求 OQ的长．

28．已知二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，直线 函数交于点 B， C．

（ 1）求二次函数的解析式；

AB 解析式为 y=kx+4 ，且与二次

（ 2）若

= ，求 k； （ 3）可否存在实数 k，使∠ BOC=90°？若存在，求 k 的值；若不存在，说明原由． 4

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2015 年四川省成都市新都区中考数学三诊试卷 参照答案与试题解析 一、选择题

1 . 数轴上到原点距离为 A．±2

B．2

C．4

【考点】 数轴．

【解析】 先设出这个数为 x，再依照数轴上各点到原点的距离进行解答即可． 【解答】 解：设这个数是 x，则 |x|=2 ， 解得 x=±2． 应选 A．

【谈论】 此题观察的是数轴的特点，熟知数轴上各点到原点的距离的定义是解答此题的重点．

2 的点表示的数是（

D．±4

）

2．以下几何体中，侧面张开图可能是正方形的是（ A．正方体

B．圆柱 C ．圆锥 D ．球体

【考点】 几何体的张开图．

【解析】 依照特别几何体的张开图，可得答案． 【解答】 解： A、正方体的侧面张开图是矩形，故 B、圆柱的侧面张开图可能是正方形，故 C、圆锥的侧面张开图是扇形，故 D、球没有侧面，故 D错误． 应选： B．

B 正确；

C 错误；

） A 错误；

【谈论】 此题观察了几何体的张开图，熟记特别几何体的侧面张开图是解题重点．

3．建军路地下商业街是市为满足市里人防和商业需要而规划建设的重点城建项目， 12 亿元，其中数据 12 亿用科学记数法表示为（ 【考点】 科学记数法—表示较大的数． 【解析】 科学记数法的表示形式为

看把原数变成 a 时，小数点搬动了多少位，

时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数． 【解答】 解：将 12 亿用科学记数法表示为： 1.2 ×10 应选： C． 10，n 为整数，表示时重点要正确确定 4．以下计算正确的选项是（

项目总投资

）

A．1.2 ×10 8 B．12×10 8 C．1.2 ×10 9 D．1.2 ×10 10

a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜ 10， n 为整数．确定 n 的值时，要

n 的绝对值与小数点搬动的位数相同．当原数绝对值＞1

9

．

【谈论】 此题观察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a 的值以及 n 的值．

a×10 n 的形式，其中 1≤|a| ＜

）

0

A． =±3 B ． a =1 C． 3 ﹣ 2 =1 D．2÷3× =

【解析】 此题涉及算术平方根、零指数幂、二次根式化简、有理数的乘除混杂运算四个考点．针对每个考点分别进行计算即可求解．

【解答】 解： A、

=3，应选项错误； 6

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B、a =1（a≠0），应选项错误；

0

C、3 ﹣ 2 = ，应选项错误；

D、2÷3× = ，应选项正确． 应选： D．

【谈论】 此题观察实数的综合运算能力，是各地中考题中常有的计算题型．解决此类题目的重点是熟练掌握算术平方根、零指数幂、二次根式、有理数的乘除混杂运算等考点的运算．

5．以下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ A．2

B．3

C．4

D． 5

）个

（ 1）等腰三角形；（ 2）正方形；（ 3）矩形；（ 3）菱形；（ 5）圆． 【考点】 中心对称图形；轴对称图形．

【解析】 依照轴对称图形与中心对称图形的看法求解．

【解答】 解：（ 1）等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； （ 2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形； （ 3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形； （ 3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形； （ 5）圆既是轴对称图形又是中心对称图形； 既是轴对称图形又是中心对称图形的共有 应选： C．

4 个，

【谈论】 此题主要观察了中心对称图形与轴对称图形的看法： 合．

判断轴对称图形的重点是搜寻对称轴，

180 度后与原图重

图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要搜寻对称中心，旋转

6．函数 y=（x﹣ 1） 0 中，自变量 x 的取值范围是（ A．x＞ 1 B ．x≠1 C ．x＜ 1 D ．x≥1

）

【考点】 函数自变量的取值范围；零指数幂． 【解答】 解：由 y=（ x﹣ 1） 0 中，得 x﹣1≠0． 解得 x≠1， 应选： B．

【解析】 依照零指数幂的底数不能够为零，可得答案．

自变量 x 的取值范围是 x≠1，

【谈论】 此题观察了函数自变量的取值范围， 7．在一次环保知识竞赛中，某班 得分 人数

50 2

60 3

利用零指数幂的底数不能够为零得出不等式是解题重点．

46 名学生的成绩以下表所示： 80 13

70 5

90 14

100 4 ）

110 4

120 1

则这些学生成绩的众数和中位数分别为（

A．90， 90 B． 90，85 C． 90， 80 D． 14， 4

【考点】 众数；中位数． 【专题】 计算题．

【解析】 依照众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；依照中位数定义，将该组

7

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数据按从小到大依次排列，处于中间地址的两个数的平均数即为中位数． 【解答】 解： 90 分的有 14 人，人数最多，故众数为 90 分； 处于中间地址的数为第

23、 24 两个数，

为 80 分， 90 分，中位数为

=85 分． 应选 B．

【谈论】 此题为统计题，观察众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，若是中位数的看法掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

8．二次函数 y=x 2﹣ 4x+1 的极点坐标为（ ） A．（ 2， 5） B ．（﹣ 2， 5） C．（ 2，﹣ 3）

D．（﹣ 2，﹣ 3） 【考点】 二次函数的性质．

【解析】 将二次函数解析式变成极点式，即可找到极点坐标．【解答】 解：二次函数 y=x 2﹣ 4x+1=（ x﹣2） 2﹣ 3，

∴二次函数 y=x2﹣ 4x+1 的极点坐标为（ 2，﹣ 3）． 应选 C．

【谈论】 此题观察了二次函数的性质，解题的重点是将二次函数的一般式化成极点式． 9．如图，△ ABC 中， AB=AC，∠ A=36°， BD是 AC边上的高，则∠ DBC 的度数是（

） A．18° B ．24° C ．30° D ．36° 【考点】 等腰三角形的性质．

【解析】 依照已知可求得两底角的度数，再依照三角形内角和定理不难求得∠ DBC 的度数．【解答】 解：∵ AB=AC，∠ A=36°， ∴∠ ABC=∠ACB=72° ∵BD是 AC边上的高， ∴BD⊥AC，

∴∠ DBC=90°﹣ 72°=18°． 应选 A．

【谈论】 此题主要观察等腰三角形的性质，解答此题的重点是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．

10．如图，在圆内接四边形 ABCD中，∠ C=110°，则∠ BOD 的度数为（ ） 8 / 26

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A．140° B．70° C ．80° D ．60°

【考点】 圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【解析】 依照圆内接四边形的对角互补求出∠A 的度数，依照圆周角定理获取答案．

【解答】 解：由圆内接四边形的性质可知，∠ A+∠C=180°，

∴∠ A=180°﹣∠ C=70°，

由圆周角定理得，∠ BOD=2∠A=140°， 应选： A．

【谈论】 此题观察的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的重点．

二、填空题

2

11．分解因式： 2x y﹣ 8y= 2y（ x+2）（ x﹣ 2） ． 【专题】 老例题型．

【解析】 先提取公因式 2y，再对余下的多项式利用平方差公式连续分解． 2

=2y（ x2﹣ 4）， =2y（ x+2）（ x﹣ 2）．

故答案为： 2y（ x+2）（ x﹣ 2）．

【谈论】 此题观察了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式第一提取公因式，尔后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要完好，直到不能够分解为止．

12．△ ABC中，∠ C=90°， cos∠A=0.3， AB=10，则 AC= 3 ． 【考点】 解直角三角形．

【解析】 作出图形，依照锐角的余弦等于邻边比斜边，列式计算即可得解． 【解答】 解：如图，∵∠ C=90°， AB=10， ∴cosA= =

， ∴ AC=3． 故答案为： 3．

【谈论】 此题观察了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

13．若双曲线 y= ﹣ 经过点 P1（ x1， y1）， P2（x2， y2）两点，且 x1＜ x2＜ 0，则 y1 与 y2 的大小关系为y1

＜ y2 ．

【考点】 反比率函数图象上点的坐标特点．

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【解析】 依照反比率函数的性质，当 k＜ 0，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，再依照条件 ＜ 0，可得 y1＜ y2． 【解答】 解：∵ k﹣ 6＜0，

∴该函数图象经过第二、四象限，且在每一象限内 ∵x1＜x2＜ 0， ∴y1＜y2．

故答案为： y1 ＜y2．

【谈论】 此题主要观察了反比率函数的性质，熟练掌握反比率函数的性质是解决问题的重点．

y 随 x 的增大而增大，

x1＜ x2

14．已知关于 x 的方程 kx 2﹣ 2x+1=0 有两个不相等的实数根，那么

k 的最大整数值是 ﹣1 ． 【考点】 根的鉴识式；一元二次方程的定义．

【解析】 依照方程 kx 2﹣ 2x+1=0 有两个不相等的实数根获取△＞

0 且 k≠0，即△ =4﹣ 4k＞ 0 且 k≠0， 求出 k 的取值范围即可求出 k 的最大整数值． 【解答】 解：∵关于 x 的方程 kx 2﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根， ∴△＞ 0 且 k≠0，即△ =4﹣ 4k＞0 且 k≠0， ∴ k＜ 1 且 k≠0，

∴k的最大整数值为：﹣ 1，故答案为：﹣ 1．

【谈论】 此题观察了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的鉴识式△ =b 2﹣ 4ac ：当△＞ 0，方程有 两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根，也观察了一元二次方程的定义．

三、解答题（本大题共

6 小题，满分 分） ） 2﹣3tan30 °﹣ |

﹣

15．（ 1）计算：（﹣

﹣ 2| ﹣

（ 2）解不等式

≤ ，并写出它的正整数解．

【考点】 实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解；特别角的三角函数值．

【解析】 （ 1）此题涉及负整数指数幂、特别角的三角函数值、绝对值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，尔后依照实数的运算法规求得计算结果；

（ 2）第一利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出合适条件的正整数即可．

【解答】 解：（ 1）（﹣

） 2﹣3tan30 °﹣ |

﹣

﹣2| ﹣

=4﹣3×

﹣ 2+ ﹣3

=4﹣

﹣ 2+

﹣ 3

=﹣1；

（ 2）

≤ ， 3（x﹣ 2）≤ 2（ 7﹣ x），

10

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3x﹣6≤14﹣ 2x ， 3x+2x≤14+6， 5x≤20， x≤4，

它的正整数解为 1， 2，3， 4．

【谈论】 此题观察实数的综合运算能力，是各地中考题中常有的计算题型．解决此类题目的重点是熟记特别角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．同时观察了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答此题的重点．解不等式应依照不等式的基本性质．

16．以下列图，为了测量河对岸楼房 AB的高度，某中学实践活动小组的同学先在 C点测得楼顶 A 的 A 的仰角为

45°，

仰角为 30°，沿 CB方向前进 20（ ﹣ 1）m到达河边的 D 处，在 D 处测得楼房顶端

你能依照以上数据求出楼房的高度吗？若能，请计算楼房的高度；若不能够，请说明原由．

【考点】 解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题．

【解析】 设楼房的高度 AB为 xm，依照等腰直角三角形的性质和正切的看法分别表示出 式计算即可．

【解答】 解：设楼房的高度 ∵∠ ADB=45°， ∴BD=AB=xm， ∵∠ C=30°， ∴tan ∠C= 由题意得，

，即 BC= x， x ﹣x=20（

AB 为 xm，

BD、 BC，列

﹣1），

解得， x=20， 答：楼房的高度是

20m．

【谈论】 此题观察的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确注明仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的重点．

17．先化简

÷（ 2+ ）， x 再从 0， 1，﹣ 1 中选一个合适的数求代数式的值．

【考点】 分式的化简求值．

【解析】 先依照分式混杂运算的法规把原式进行化简，再选出合适的

x 的值代入进行计算即可． 【解答】 解：原式 =

÷

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= ?

= ，

=1．

当 x=1 时，原式 =

【谈论】 此题观察的是分式的化简求值，熟知分式混杂运算的法规是解答此题的重点． 18．在边长为 1 的小正方形组成的网格中，有以下列图的 A、B 重合，且 A、 B、C 三点不在同一条直线上）， （ 1）求恰好能使得△ ABC 的面积为 1 的概率； （ 2）求能使△ ABC 为等腰三角形的概率．

A， B 两点，在格点上任意放置点

C（不与

【考点】 概率公式；等腰三角形的判断；勾股定理． 【专题】 网格型．

【解析】 （1）由任意放置点 C（不与 A、 B 重合，且 A、B、 C 三点不在同一条直线上），共有 答案；

（ 2）由能使△ ABC 为等腰三角形的有 5 个，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】 解：（ 1）∵任意放置点 13 种等可能的结果，

如图 1，其中恰好能使得△ ABC 的面积为 1 的有 4 种情况，

C（不与 A、 B 重合，且 A、 B、 C 三点不在同一条直线上），共有

13 种

等可能的结果，其中恰好能使得△ ABC 的面积为 1 的有 4 种情况，直接利用概率公式求解即可求得

∴恰好能使得△ ABC 的面积为 1 的概率为：

； （ 2）∵如图 2，能使△ ABC 为等腰三角形的有 5 个，

12

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∴能使△ ABC 为等腰三角形的概率为： ． =所讨情况数与总情况数之比． 【谈论】 此题观察了概率公式的应用．用到的知识点为：概率

19．如图，矩形 OABC的极点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（ 2，3）．双曲线 y= （ x＞ 0）的图象经过 BC的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE． （ 1）求 k 的值及点 E 的坐标；

（ 2）若点 F 是 OC边上一点，且△ FBC∽△ DEB，求直线 FB 的解析式．

【考点】 反比率函数综合题．

【解析】 （ 1）第一依照点 B 的坐标和点 D 为 BC的中点表示出点 D 的坐标，代入反比率函数的解析 式求得 k 值，尔后将点 E 的横坐标代入求得 析式．

【解答】 解：（ 1）∵ BC∥x 轴，点 B 的坐标为（ 2， 3）， ∴BC=2，

∵点 D 为 BC的中点， ∴CD=1，

∴点 D 的坐标为（ 1，3），

代入双曲线 y= （ x＞0）得 k=1×3=3； ∵BA∥y 轴，

∴点 E 的横坐标与点 B 的横坐标相等，为 2， ∵点 E 在双曲线上， ∴y=

E 点的纵坐标即可；

（ 2）依照△ FBC∽△ DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点 F 的坐标后即可求得直线 FB 的解

∴点 E 的坐标为（ 2，

）；

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（ 2）∵点 E的坐标为（ 2， ）， B 的坐标为（ 2， 3），点 D 的坐标为（ 1， 3），

∴ BD=1， BE= ， BC=2 ∵△ FBC∽△ DEB， ∴

即：

∴ FC=

∴点 F 的坐标为（ 0， ） 设直线 FB 的解析式 y=kx+b （k≠0） 则

解得： k= ，b=

∴直线 FB 的解析式 y=

【谈论】 此题主要观察了待定系数法求函数解析式，以及矩形的性质，解题时注意点的坐标与线段长的相互转变．

20．以下列图，在边长为 4 的正方形 ABCD中，点 P 在 AB上从 A 向 B 运动，连接 DP交 AC于点 Q，

（ 1）试证明：无论点 P 运动到 AB上哪处时，都有 DQ=BQ；

（ 2）当点 P在 AB上运动到什么地址时，△ ADQ 的面积是正方形 ABCD面积的 ；

（ 3）若点 P从点 A 运动到点 B，再连续在 BC上运动到点 C，在整个过程中，当点 P 运动到什么地址时，△ ADQ恰好为等腰三角形．

【考点】 四边形综合题．

【解析】 1 ）依照正方形性质得出 AB=AD，∠ BAD=90°，∠ DAC=∠BAC=45°，利用“边角边”证明 △ADQ≌△ ABQ即可得出结论；

（ 2）过点 Q作 QE⊥AD于 E，QF⊥AB 于 F，则 QE=QF=AE=AF，若△ ADQ的面积是正方形 面积的 ，

ABCD

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

则有 S△ADQ= AD?QE= S 正方形 ABCD，求得 OE的值，再利用△ DEQ∽△ DAP 有 = （ 3）点 P 运动时，△ ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：

①当点 P 运动到与点 B 重合时， QD=QA，此时△ ADQ是等腰三角形；

解得 AP值； QD=QA或 DA=DQ或 AQ=AD．

②当点 P 与点 C 重合时，点 Q与点 C 也重合，此时 DA=DQ，△ ADQ是等腰三角形； ③当 AD=AQ=4时，有 CP=CQ， CP=AC﹣ AD而由正方形的对角线的性质获取 CP的值． 【解答】 （ 1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ BAD=90°，∠ DAC=∠BAC=45°， 在△ ADQ和△ ABQ中，

，

∴△ ADQ≌△ ABQ（ SAS）， ∴DQ=BQ；

（ 2）解：△ ADQ的面积恰好是正方形 ABCD面积的 时，过点 Q作 QE⊥AD 于 E，QF⊥AB 于 F，如图 1 所示： 则四边形 AFQE为正方形，∴QE=QF=AE=AF，

∵在边长为 4 的正方形 ABCD中， ∴S正方形 ABCD=16，

∴ AD×QE= S 正方形 ABCD= ×16 = ，

∴QE= ， ∵EQ∥AP， ∴△ DEQ∽△ DAP，

∴ = ，即 ， 解得 AP=2，

∴ AP=2 时，△ ADQ的面积是正方形 ABCD面积的 ；（ 3）解：如图 2 所示：

若△ ADQ是等腰三角形，则有 QD=QA或 DA=DQ或 AQ=AD，①当 AD=DQ时，则∠ DQA=∠DAQ=45° ∴∠ ADQ=90°， P 为 C点，

②当 AQ=DQ时，则∠ DAQ=∠ADQ=45°， ∴∠ AQD=90°， P 为 B，

③AD=AQ（ P 在 BC上），

∴CQ=AC﹣ AQ= BC﹣ BC=（ ﹣ 1） BC

∵AD∥BC，

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

∴△ ADQ∽△ CQP，

∴

= ，即可得 = =1，

∴CP=CQ=（ ﹣ 1） BC=4（ ﹣ 1）

综上所述： P 在 B 点， C 点，或在 CP=4（

﹣ 1）处，△ ADQ是等腰三角形．

【谈论】 此题是四边形综合题目，观察了正方形的性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；此题综合性强，难度较大，（ 3）需要分类谈论．

四、填空题（本大题共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分） 21．若 x， y 为实数，代数式 5x2+4y2﹣ 8xy+2x+1=0 ，则 x+y=

﹣2 ． 【考点】 配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 【解析】 依照完好平方公式变形，再利用非负数的性质求出 x 与 y 的值，即可求出 x+y 的值．【解答】 解：∵ 5x 2+4y2﹣8xy+2x+1=0 ，

∴ 4x2 +4y2﹣ 8xy+x 2+2x+1=0，∴

（ 2x ﹣ 2y）2+（ x+1） 2=0，

∴ x=y=﹣ 1， ∴ x+y=﹣ 2， 故答案为：﹣ 2．

【谈论】 此题观察了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完好平方公式是解此题的重点．

22．已知

，且﹣ 1＜ x﹣ y＜ 1，则 k 的取值范围是 0＜ k＜ 1 ． 【考点】 二元一次方程组的解；解一元一次不等式组． 【专题】 计算题；一次方程（组）及应用．

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

【解析】 方程组中两方程相减表示出

x﹣ y，代入已知不等式求出 k 的范围即可． 【解答】 解：

， ②﹣①得： x﹣ y=1﹣ 2k， 代入已知不等式得：﹣ 解得： 0＜ k＜1， 故答案为： 0＜ k＜ 1

【谈论】 此题观察了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法规是解此题的重点．

1＜ 1﹣ 2k＜ 1，

23．如图，已知 AB为⊙O 的直径，直线 l 与⊙O相切于点 D，AC⊥l 于 C， AC交⊙O 于点 E， DF⊥AB 于 F．若 AE=3， CD=2，则⊙O 的直径为 5 ．

【考点】 切线的性质．

【解析】 利用切线的性质，易得 OD∥AC，既而证明 AD是∠ BAC的角均分线，依照角均分线的性质定理可证得： CD=DF， AF=AC，进而证得△ BDF≌△ EDC，则 BF=CE；依照 AC=AF， BF=CE即可求解．【解答】 解：连接 DE，BD． ∵DC是圆的切线．

∴∠ EDC=∠DAC，OD⊥直线 l ， ∵AC⊥直线 l ． ∴OD∥AC， ∴∠ ADO=∠DAC， ∵OA=OD， ∴∠ OAD=∠ADO， ∴∠ OAD=∠DAC，

∴ DF=CD=2，∠ ADF=∠ADC， ∴ AF=AC， ∵∠ DCE=∠ACD， ∴△ CDE∽△ CAD， ∴CD： CA=CE： CD，

∴CD=CE?CA，即 4=CE（ CE+3）， 解得： CE=1，

∵ DF⊥AB，AC⊥l 于 C， ∴∠ BFD=∠DCE=90°，在△ BDF 和△ EDC中，

2

，

17

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

∴△ BDF≌△ EDC（ AAS）， ∴ FB=CE=1，

∴ AB=BF+AF=BF+AC=1+AE+CE=1+3+1=5． 故答案为： 5．

【谈论】 此题观察了切线的性质、平行线的判断与性质、角均分线的性质以及全等三角形的判断与性质．注意正确作出辅助线是解此题的重点．

24．若抛物线 y=x 2﹣（k﹣ 1）x﹣ k﹣ 1 与 x 轴的交点为 A、B，极点为 C，则△ ABC的面积最小值为 1 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；三角形的面积． 【专题】 数形结合．

【解析】 求出 A、B 间距离的表达式和抛物线极点纵坐标公式，依照三角形面积公式表示出三角形面积，将表达式转变成完好平方的形式，即可求出△ ABC 的面积最小值．

．

【解答】 解：∵ |x 1﹣ x2|=

= = ， 抛物线极点纵坐标为：

，

整理得，﹣

，

由于抛物线张口向上，

故三角形的高为

，

S△ABC=

? = = ， 当 k=﹣ 1 时， S△ABC获取最小值，为 1． 故答案为 1． 【谈论】 此题观察了抛物线与 x 轴两交点间距离的求法及抛物线极点坐标的求法，将问题转变成完好平方式是解题的重点．

25．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，与反比率函数

（ k

为常数，且 k＞ 0）在第一象限的图象交于点 直线 EM与 FN交于点 C．若 OEF的面积为

E，F．过点 E 作 EM⊥y轴于 M，过点 F 作 FN⊥x轴于 N， S1，△

（ m为大于 l 的常数）．记△ CEF 的面积为

S2，

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

则

= ． （用含 m的代数式表示）

【考点】 反比率函数综合题． 【专题】 压轴题．

【解析】 依照 E， F 都在反比率函数的图象上得出假设出 E， F 的坐标，进而得出△OEF的面积 S2，进而比较即可得出答案．

【解答】 解：过点 F 作 FD⊥BO于点 D，EW⊥AO 于点 W，

∵

， ∴

= ，

∵ME?EW=FN?DF， ∴ = ， ∴

= ，

设 E点坐标为：（ x，my），则 F 点坐标为：（ mx，y），

∴△ CEF 的面积为： S1= （ mx﹣ x）（ my﹣ y） = （m﹣ 1） 2xy ， ∵△ OEF的面积为： S2=S 矩形 CNOM﹣ S1﹣ S△MEO﹣S△FON， =MC?CN﹣ （m﹣ 1） 2xy ﹣ ME?MO﹣ FN?NO， =mx?my﹣ （m﹣ 1） 2xy ﹣ x?my﹣ y?mx，

2

2

=mxy﹣ （ m﹣ 1） xy ﹣ mxy，

2

= （ m﹣ 1） xy ，

= （ m+1）（ m﹣ 1） xy，

∴ = = ． 19 / 26

CEF 的面积 S1 以及△ 19

四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

故答案为：

．

【谈论】 此题主要观察了反比率函数的综合应用以及三角形面积求法，依照已知表示出

E，F 的点坐

标是解题重点．

五、解答题（本大题共 x 个工艺品成本为

﹣ 2x．

3 小题，满分 30 分） 40 个，且每日生产的产品全部售出，已知生产

P=500+30x，R=170

26．工艺品厂计划生产某种工艺品，每日最高产量是

P（元），售价为每个

R（元），且 P与 x，R 与 x 的关系式分别为

1150 元？ （ 1）当日产量为多少时，每日获取利润为

（ 2）要想获取最大利润，每日必定生产多少个工艺品？【考点】 二次函数的应用．

【解析】 （ 1）经过理解题意，找出题目中所给的等量关系，再依照这一等量关系列出表示利润的函 数解析式，并把 1150 代入求解； （ 2）依照二次函数最值的求法，求得最值．【解答】 解：（ 1）依照题意可得 （ 170﹣ 2x）x﹣（ 500+30x）

=1150．解得 x1=55（舍）， x2=15．

答：每日产量为 15 时，获取利润为 1150 元． （ 2）设每日所获利润为 W． W=（170﹣ 2x） x﹣（ 500+30x）

2

=﹣2（ x2﹣ 70x）﹣ 500

2

2

2

=﹣2（ x ﹣ 70x+35 ﹣ 35 ）﹣ 500 当 x=35 时， W有最大值 1950 元．

答：要想获取最大利润，每日必定生产35 个工艺品．

【谈论】 本问题主要观察了二次函数的实质应用，找到相等关系并列出函数关系式是重点．

27．已知四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，在以 AB为直径的正方形内作半圆 （不与 A、 B重合）连接 PA、 PB、 PC、 PD， （ 1）若 DP与半圆 O相切时，求 PA的长． O，P 为半圆上的动点

（ 2）如图，以 BC边为 x 轴，以 AB边为 y 轴，建立以下列图的平面直角坐标系，把△

1

2

3

1 3

2 2 PAD、△ PAB、 △PBC的面积分别记为 S 、 S 、 S ，试求 2S S ﹣ S 的最大值，并求出此时点

P 的坐标．

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

（ 3）在（ 2）的条件下， E 为边 AD上一点，且 AE=3DE，连接 BE交半圆 O于 F．连接 FP 并延长至点Q，使得 PQ=PB，求 OQ的长．

【考点】 圆的综合题． 【专题】 压轴题． 获取 AP的值；

﹣ S2 2 关于 x 的解析式，求得其最值即可获取

【解析】 （ 1）依照已知可得 OD垂直均分 AP，获取△ AMO∽△ DAO，依照勾股定理进而获取 AM，即可

（ 2）过点 P 分别作 PE⊥AB，设 P 点坐标为（ x， y），经过勾股定理获取 x2 =2y﹣ y2，进而获取 2S1S3

P 的坐标；

（ 3）连接 AF，作 FK⊥AB 交于点 K，易得△ BAE∽△ BFA∽△ AFE，依照相似三角形的性质获取 BF，

进而依照勾股定理以及△ BFK∽△ BEA，获取 BE、 FK 及 BK，即可得出 F 点坐标，接着获取直线 PF 解 析式，设 Q（a，﹣ 7a+8），利用 PQ=PB=

获取 Q点坐标，即可获取 OQ的长度．

【解答】 解：（ 1）如图 1，连接 OP、 OD， AP 与 OD订交于点 M， ∵DP与半圆 O相切， ∴OA=OP，OP⊥DP，得 ∴△ AMO∽△ DAO， ∴

，

OD垂直均分 AP，

∵ AD=2， AO=1， DO=

=

=

， ∴AM= =

=

= ， ； ∴AP=2AM=2×

（ 2）作 PE⊥AB 于点 E，设 P（ x， y），

2

2

2

在 Rt△EPO中，可得 PE+EO=OP， 即 x2 +（ y﹣ 1） 2=12，

2

2

∴x=2y﹣ y ，

依照题意可得： S1= ?AD?（ 2﹣ y）=2﹣ y，

S3= ?BC?y=y， S2= ?AB?x=x，

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

∴2S S ﹣ S =2?（ 2﹣ y）?y﹣ x

2 2

2

1 3

=4y﹣ 2y2﹣ x2 =x2

2

∵0＜x≤1

∴当 x=1 时， 2S1S3﹣ S2 有最大值，最大值为 1， 将 x=1 代入 x2=2y﹣ y2 中，可得 y=1， 此时点 P（ 1，1）

（ 3）连接 AF，得 AF⊥BE，作 FK⊥AB 交于点 K，∵AE=3DE， AD=2， ∴ AE= ， AF= ，

依照题意，易得△ BAE∽△ BFA∽△ AFE， 即：

，

得 BF=

= = ， 在△ ABE 中， BE= = ， 易得△ BFK∽△ BEA， 即：

=

， 得 FK=

?BF= = ， 依照勾股定理可得， BK=

=

∴F（ ， ），

∵P（ 1， 1），

可求得直线 PF 解析式： y=﹣ 7x+8， 设 Q（ a，﹣ 7a+8）， ∵PQ=PB= ，

∴

= ， ∴a1= ， a2= ， ∵Q在 FP 的延长上， ∴ a＞ 1，

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

∴ a= ，

∴Q点坐标为（ ，﹣ ），

∵O点坐标为（ 0， 1）， ∴QO=

= ． 【谈论】 此题观察了圆的综合题，涉及了相似三角形的判断与性质、勾股定理、二元一次方程的最值问题、两点间的距离等多个考点，此题综合性很强，解题的重点是在于数形结合与方程思想的变换，特别是第（ 3）问受骗算量较大，需要仔细仔细．

28．已知二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，直线 函数交于点 B， C．

（ 1）求二次函数的解析式；

AB 解析式为 y=kx+4 ，且与二次

（ 2）若

= ，求 k； （ 3）可否存在实数 k，使∠ BOC=90°？若存在，求 k 的值；若不存在，说明原由． 23

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

【考点】 二次函数综合题． 【专题】 综合题． 的解析式为 y=﹣ x2+4x；

2

【解析】 （ 1）先利用对称轴方程可求出

b=4，尔后利用抛物线经过原点获取

c=0，进而可得抛物线

2

（ 2）设 B（ m，﹣ m+4m）， C（ n，﹣ n +4n），作 BD⊥y轴于 D，CE⊥y轴于 E，依照三角形面积公式 获取 AB： BC=1： 3，再证明△ ABD∽△ ACE，利用相似比得 与直线的交点问题，可把

=

=

，即 = ，则 n=4m，依照抛物线

m、n 看作方程﹣ x2+4x=kx+4 的两根，则 m+n=﹣ k+4，mn=4，于是可求出 m、

2 2

2

n，获取 B（ 1， 3），尔后把 B 点坐标代入 y=kx+4 中可求出 k 的值； （ 2）利用一次函数图象上点的坐标特点，设

2

2 2

2

2

2

2

2

B（m， km+4）， C（ n，kn+4），由（ 1）得 m+n=﹣ k+4， 2

2

2 mn=4，再依照两点间的距离公式获取

2

OB=m+（ km+4） ，OC=n +（ kn+4） ，BC=（ m﹣ n） +（km﹣ kn） 2

，依照利用勾股定理的逆定理，当

OB+OC=BC 时，∠ BOC=90°，即 m+（ km+4） +n +（ kn+4） =（ m

﹣ n） 2+（ km﹣ kn） 2，尔后整理后把 m+n=﹣ k+4， mn=4代入可求出 k 的值． 【解答】 解：（ 1）∵二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的对称轴为 x=2， ∴﹣

=2，解得 b=4，

∵抛物线经过原点， ∴ c=0，

∴抛物线的解析式为

y=﹣ x2+4x；

（ 2）设 B（ m，﹣ m2+4m）， C（ n，﹣ n2+4n），作 BD⊥y轴于 D，CE⊥y轴于 E，

∵

= ，

∴AB： BC=1：3， ∵BD∥CE， ∴△ ABD∽△ ACE， ∴

= = ，即 = ，

∴ n=4m，

∵m、 n 为方程﹣ x2+4x=kx+4 的两根， ∴ m+n=﹣ k+4， mn=4，

∴ m?4m=4，解得 m1=1， m2=﹣ 1（舍去）， ∴ n=4，

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四川省成都市新都区中考数学三诊试题(含解析)

∴B（ 1， 3），

把 B（ 1， 3）代入 y=kx+4 得 k+4=3， ∴k=﹣ 1； （ 2）存在．

设 B（ m， km+4）， C（n， kn+4），∵m、 n 为方程﹣ x2+4x=kx+4 的两根，

∴ m+n=﹣ k+4， mn=4，

2

2 2 2

2 2

2 2

2

OB=m+（ km+4） ，OC=n +（ kn+4） ， m﹣ n） +（ km﹣ kn） ，

2

2

2

2 BC=（

2

2

2

2

2

当 OB+OC=BC 时，∠ BOC=90°，即 m+（km+4） +n +（ kn+4 ） =（m﹣ n） +（km﹣ kn） ， 整理得（ 1+k2 ）mn+4k（ m+n） +16=0， ∴4（ 1+k 2） +4k（﹣ k+4） +16=0，

解得 k=﹣ ． 【谈论】 此题观察了二次函数的综合题： 熟练掌握二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特点；能灵便运用相似三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理；把抛物线与直线的交点问题转变成根与 系数的关系问题；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．

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