65质点系的动能定理和机械能守恒定律

一、质点系的动能

1. 质点系动能的定义.

质点系的总动能T定义为质点系内每个质点动能之和, 即

12

T=∑Ti=∑mivi

i=1i=12

n

n

2. 柯尼希定理.

n

112

T=Tc+T′=mtvc+∑mivi′2

2i=12

式中Tc为位于质心的假想质点的动能, T′为质点

系在质心系中的动能.



证明: 由ri=rc+ri′可知vi=vc+vi′, 所以

n

112

T=∑mivi=∑mi(vc+vi′)⋅(vc+vi′)

i=12i=12

nn

1122

′′=∑mivc+∑mivc⋅vi+∑mivi

i=12i=1i=12

由于∑mivc⋅vi′=vc⋅∑mivi′=vc⋅mtvc′=0, 则

n

n

n

1122

′T=mtvc+∑mivi

2i=12

例题7 质量为m、 半径为R的匀质圆盘, 在



Oxy平面沿x轴做无滑滚动, 盘心速度为v0, 如图

所示, 求圆盘动能.

解 盘心即为圆盘质心, 建立质心系Cx′y′如图. 则

1122

T=mvc+Iω

22

21211v=mv0+⋅mR2⋅02 222R

32=mv0 4

二、质点系在惯性系中的动能定理

和机械能守恒定律 1. 质点系的动能定理.

质点系的动能定理表述为: 在惯性系中, 质点系动能的微分等于质点系所受所有外力和内力的元功之和, 即

dT=δW

(e)

+δW

(i)

=∑δWi

i=1

n

(e)

+∑δWi

(i)

i=1

n

(e)n(i)=∑Fi⋅dri+∑Fi⋅dri

ni=1

i=1

证明: 质点系内第i个质点的动能定理为

(e)(i)dTi=Fi⋅dri+Fi⋅dri

对n个质点求和, 则

nn(e)(i)(e)(i)

dT=∑Fi⋅dri+∑Fi⋅dri=δW+δW

i=1

i=1

质点系动能的微分与内力元功有关.

(i)δW=0, 由于刚体内力做功之和为零, 即

所以刚体动能的微分与内力元功无关.

2. 内势能.

从严格意义上讲动能与势能的转化, 要用一对保守力做功之和来度量.

由于一对内力所做元功之和, 已归结为其中一个力在其受力质点相对另一质点的相对位移中所做元功, 即



Fij⋅dri+Fji⋅drj=Fij⋅drij=±Fijdrij



际中涉及的内力均Fij=Fij(rij),若

(i)

Fij⋅dri+Fji⋅drj=−dVij(rij)

因此, 一对内力为保守力, 自然可以使用在§3-5中给出的等价定义中的任意一种来定义. 比如实

则这一对内力为保守内力.

为与质点力学中讨论的外势能V内保守力的势能记为V

(i)

(e)

区分, 一对

, 称为内势能.

物理本质——内势能.

外势能是对势能的一种理解方式, 是简化功能关系的一种方法.

外势能的概念又必须存在, 否则完整的质点动力学就不能建立.

3. 质点系的机械能定理和机械能守恒定律.

(e)

对于第i个质点所受保守外力Fic, 可引入外

(e)V势能i

(e)

Fic⋅dri=−dVi(e)

则质点系总外势能

V

(e)

=∑Vi

i=1

(i)ij

n

(e)

对于第i个质点与第j个质点间的一对保守内力, 可引入内势能V

(i)

Fij⋅drij=−dVij(rij)

则质点系总内势能

V(i)

1n(i)=Vij∑2i,j=1,i≠j

并把第i个质点所受非保守外力所做元功记为

(e)δWinc，把第i个质点与第j个质点间的一对非保守内

(i)

δW力所做元功记为ijnc，则由质点系的动能定理,可

导出

n

1(e)(i)

d(T+V(e)+V(i))=∑δWinc+δW∑ijnc 2i,j=1,i≠ji=1

n

定义质点系总势能V=V

(e)

+V

(i)

, 总机械能

E=T+V=T+V(e)+V(i), 则上式称为质点系的机

械能定理.

作为其推论, 质点系的机械能守恒定律表述为:

若在某一过程中, 质点系所受非保守外力均恒不做功, δW

(e)inc

≡0,i=1,2,⋅⋅⋅,n; 每一对内非保守

(i)δW力做功之和均恒为零, ijnc≡0,i,j=1,2,⋅⋅⋅,n且i≠j,

则在该过程中质点系的总机械能守恒,

E=T+V=T+V(e)+V(i)=常量

质点系机械能守恒说明, 在运动过程中质点系的动能与势能可以相互转化, 但没有机械运动与其他形式的运动之间的能量转化.

三、质点系在质心系中的动能定理

质点系在质心系中的动能定理为

nn12(e)(i)

dT′=d∑mivi′=∑Fi⋅dri′+∑Fi⋅dri′

i=12i=1i=1

n

亦与惯性系中的动能定理形式相同, 与内力

元功有关.

证明: 在作为非惯性系的质心系中讨论质点系运动时, 需考虑惯性力, 且视惯性力为外力. 由于各质点所受惯性力在质心系内做功之和



∑−miac⋅dri′=−ac⋅d(∑miri′)=0, 所以惯性力不在

方程中出现, 定理形式与惯性系内定理形式相同.

四、小结

牛顿力学基本理论框架.

一般情况下, 质点系力学的三个定理只能对质点系的运动进行整体描述, 而不能确定其中每个质点的运动细节.

内力. 质心和质心系．

从整体上研究质点系运动的基本思想是把其整体运动分解为以质心为代表的“平动”和相对质心系的运动.

在质点系力学中三个基本定理有相对的性, 因此如何选取适当的定理去解决问题, 往往是成败的关键.

例题8 绞车安装在水平梁上, 梁的两端搁在支座A和B上, 质量为m1的重物向下做加速运动, 并通过不可伸长的轻绳带动滑轮转动. 滑轮质量为m2, 半径为R, 可视为匀质圆盘. 梁及支架总质量为m3, 其质心C在AB的垂直平分线上. 滑轮轴承光滑, AB=2l, AD=d, 如图所示, 设初时各物体均为静止、 绳与滑轮间滑动.

试求: (1) 重物m1的加速度; (2)A处支座对梁的作用力.

解 先分析各物体运动情况……在重物下落过程中梁固定不动.

(1)以重物、 绳和滑轮构成系统, 受外力



W1=m1g, W2=m2g, FNO(FNO沿竖直方向). 建立坐标系Oxyz如图, 由对z轴的角动量定理

d12x+m2R)=Rm1g (Rm1x

dt2R

所以

2m1g

=x

2m1+m2

(2) 以重物、 绳、 滑轮及梁构成了系统, 受



外力W1=m1g, W2=m2g, W3=m3g, FNA, FNB, 建立BZ轴与z轴同向, 由对BZ轴的角动量定理

d12x+m2R(2l−d)m1xdt2R

=(2l−d)m1g+(2l−d−R)m2g+lm3g−2lFNA

=2m1g(2m1+m2), 可求得 x利用

FNA

1

={(2l−d)(m1+m2)g−Rm2g+lm3g 2l

m1g−[2(2l−d)m1+m2R]} (2m1+m2)

讨论:

. 以(m1+绳+m2)x(1) 可以根据动能定理求

为系统, 由于在运动中只有保守力W1=m1g做功, 所以系统机械能守恒, 以o为重力势能零点, 则

21112x+⋅m2R()−m1gx=−m1gx0 m1x

222R

x0为重物初始位置.

时, 系统选取要x(2) 当我们用角动量定理求

适当.

. x(3) 用动量定理无法求出

=m1g+m2g−FNO后,用动量定理m1xx(4) 求出

求出FNO, 再以m3为系统求出FNA.

选取系统、 定理和参考点(轴)的原则是: 尽

量减少在方程中出现的未知量个数……

(1) 选用动量和角动量定理时, 内力不在方程中出现;

(2) 选用角动量定理时, 对参考点(轴)力矩为零的外力不在方程中出现;

(3) 应用动能定理时, 不做功的外力及内力均不在方程中出现.

优先选用守恒定律解决问题.

例题9 一水平匀质细管长为L, 质量为m0, 能绕过管一端并与其固连的竖直轴转动. 轴质量可忽略, 轴承处光滑. 管内放有一质量为m的小球, 如图所示. 初始时, 管的角速度为ω0, 小球位于管的中点, 小球相对管的速度为零. 设小球与管壁间无摩擦, 试求小球出口时的速率.

解 以小球、 管和轴构成系统, 建立柱坐标系如图所示, 极轴沿管的初始位置. 系统受外力



W1=m0g, W2=mg, FNA和FNB对z轴力矩均为零,

所以系统对z轴角动量守恒. 设小球出口时管的角



速度为ω, 小球速度为v, 则

11L2222

m0Lω+mLω=m0Lω0+m()ω0 332

所以

4m0+3m

ω=ω0

4(m0+3m)

由于系统所受所有外力、 内力均不做功, 所以系统机械能守恒

111111L22222

⋅m0Lω+mv=⋅m0Lω0+m(ω0)2 2322322

故

v=

Lω04(m3m)

28m22

0+69m0m+36m0+ 请读者思考: 若小球与管壁间有摩擦, 球出口速度v

及径向速度vr有何影响?

对小