简谐运动周期公式的推导

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简谐运动周期公式的推导

考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O点的这一端系上一个小球，然后拉至A位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A、A’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O点为圆心，以OA长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下：

首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA方向上的分速度为零）。其次，在对应位置上的受力情况相同。

由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。

在图4中小球绕O点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。

-A O A -A O A 图2

图3

O A 图4

如图5作出图4的俯视图，并建以O为坐标原点、OA方向为x轴正方向建直角坐标系。

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y r θ O x y x 图5

则由匀速圆周运动的周期公式可知：

T2……………………（1）

其中是匀速圆周运动的角速度。

小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知：

krm2r……………………（2）

式中的r是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k是弹性绳的劲度系数。由（1）（2）式可得：

T2

m k

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