广西梧州市2020年中考数学试卷(含解析)

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分） 1．（3分）﹣2的绝对值是（ ） A．﹣2

B．2

C．﹣

D．

2．（3分）点M（2，4）向下平移2个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A．（2，2）

B．（0，2）

C．（4，4）

D．（2，6）

3．（3分）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是（ ）

A．∠2＝∠6

B．∠2+∠3＝180°

C．∠1＝∠4 D．∠5+∠6＝180°

4．（3分）据《梧州日报》报道，在“美丽梧州”国土绿化提质行动中，全市植树造林任务提前超额完成，截至今年5月底新造油茶林12330亩，将12330用科学记数法表示为（ ） A．12.33×103

B．1.223×104

C．0.1233×103

D．1.223×103

5．（3分）下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A．调查梧州市某地西瓜的甜度和含水量 B．调查某厂生产的日光灯使用寿命 C．疫情期问对全班学生的体温检测 D．对梧州市的空气质量的检测

6．（3分）如图是由五个完全一样的立方体搭建而成的立体图形，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

7．（3分）下列运算错误的是（ ） A．（﹣0.1）1＝﹣

﹣

B．（﹣）3＝﹣

第 1 页 共 19 页

C．（

）0＝1 D．﹣12＝﹣1

，则

8．（3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，连接CF，∠C＝30°，CF＝2OG的长是（ ）

A．1

B．

C．2

D．2

9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）

A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4 B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4 C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2

D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4

10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（ ）

A．四边形ACFD是平行四边形 B．BD2+FD2＝BF2 C．OE＝BD

第 2 页 共 19 页

D．面积关系：S△GEO＝S△ADO

11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）

A．2

B．

C．

D．

12．（3分）二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（ ） A．﹣1

B．﹣2

C．1

D．2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）计算：5

﹣3

＝ ．

14．（3分）分解因式：2a2﹣8＝ ．

15．（3分）甲、乙两名工人生产同一种零件，甲每时比乙多生产8个，甲生产168个零件与乙生产144个零件所用的时间相同，设乙每时生产x个零件，根据题意可得方程 ．

16．（3分）如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，面积是 ．

的长是

，则阴影部分的

17．（3分）如图，已知△ABC的外角∠α＝70°．AB＝2

，∠B＝45°，则BC≈ ．

（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．结果保留一位小数）

第 3 页 共 19 页

18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1cm，AC＝2cm，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△A'B'C'，且sinα＝，A'B'与AC交于点D，则DC＝ cm．（结果保留根号）

三、解答题（本大题共8小题，满分66.分）

19．（6分）计算：（﹣2）×（﹣3）﹣[5﹣（﹣3）]+（﹣7﹣1）÷2． 20．（6分）解不等式组：

并把解集在数轴上表示出来．

21．（6分）如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E，F分别是AB，AC的中点． 求证：AD＝EF．

22．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y），其中

+|y+2|＝0．

23．（8分）网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了了解在空中课堂中学生参与互动的次数，在3月份某天随机抽取若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表：

组别 A B C

参与互动x（次）

0≤x≤4 4＜x≤8 8＜x≤12

占调查人数的百分率

5% 20% a

第 4 页 共 19 页

D E

请根据图表中的信息解答下列问题：

12＜x≤16 16次以上

25% 15%

（1）共抽查学生 人，a＝ ，中位数落在 组，请将频数分布直方图补充完整；

（2）已知该校共有学生1800人，请你估计该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有多少人？

（3）该校计划在A组随机抽取两人了解情况，已知A组有男生2人，女生1人，请用画树状图法或列表法求出抽取两名学生都是男生的概率．

24．（10分）为了保护绿水青山，某景区从大门A处仅设置乘环保车、乘船两种交通方式到景点B，乘车需要30分钟到达，乘船需要24分钟到达，已知每隔2分钟发一辆车，每辆车最多坐40人；每隔12分钟发一班船，每艘船最多坐300人．

（1）如果第一辆车与第一艘船同时从大门A出发，设第a辆车到达景点B时，第b艘船恰好也到达景点B，求a与b的关系式；

（2）现有3100名游客在大门A处，若开始时，车与船同时出发，最后将全部游客送到景点B处时，所需最短时间是多少分钟？

25．（10分）在等边三角形ABC中，经过点B有一个圆与AC，AB，BC分别交于点D，E，F，连接BD，DE，DF．

第 5 页 共 19 页

（1）如图（1），若BD是圆的直径，AE＝CF时，求证：DE＝DF； （2）如图（2），若

＝，AD＝4时，求AB的长．

26．（12分）如图，已知边长为4的正方形ABCD中，AB⊥y轴，垂足为点E，AD⊥x轴，垂足为点F，点A在双曲线y＝上，且A点的横坐标为1． （1）请求出B，C两点的坐标；

（2）线段BF，CE交于点G，求出点G到x轴的距离；

（3）在双曲线上任取一点H，连接BH，FH，是否存在这样的点H，使△BFH的面积等于5，若存在，请直接写出适合的所有的点坐标；若不存在，请说明理由．

第 6 页 共 19 页

2020年广西梧州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分） 1．【解答】解：|﹣2|＝2． 故选：B．

2．【解答】解：点M（2，4）向下平移2个单位长度，得到的点的坐标是（2，4﹣2）， 即（2，2）， 故选：A．

3．【解答】解：A，∠2和∠6是内错角，内错角相等两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；

B，∠2+∠3＝180°，∠2和∠3是同旁内角，同旁内角互补两只象平行，能判定a∥b，不符合题意；

C，∠1＝∠4，由图可知∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠4，∠2和∠4互为同位角，能判定a∥b，不符合题意；

D，∠5+∠6＝180°，∠5和∠6是邻补角，和为180°，不能判定a∥b，符合题意； 故选：D．

4．【解答】解：12330＝1.223×104． 故选：B．

5．【解答】解：A、调查梧州市某地西瓜的甜度和含水量，适合抽样调查，故本选项不合题意；

B、调查某厂生产的日光灯使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意； C、疫情期问对全班学生的体温检测，适合全面调查，故本选项符合题意； D、对梧州市的空气质量的检测，适合抽样调查，故本选项不合题意． 故选：C．

6．【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：B．

7．【解答】解：A、（﹣0.1）1＝﹣10，故原题计算错误；

﹣

第 7 页 共 19 页

B、（﹣）3＝﹣，故原题计算正确； C、（

）0＝1，故原题计算正确；

D、12＝﹣1，故原题计算正确； 故选：A．

8．【解答】解：连接OF，

∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G， ∴CD⊥EF， ∴∠CGF＝90°， ∵∠C＝30°，CF＝2∴GF＝CF＝

，

＝

＝3，

，

由勾股定理得：CG＝设OC＝OF＝R，

在Rt△OGF中，由勾股定理得：OG2+GF2＝OF2， 即（3﹣R）2+（解得：R＝2， 即OC＝2，

∴OG＝CG﹣OC＝3﹣2＝1， 故选：A．

9．【解答】解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0， 由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，

而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4， 故选：D．

10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，

）2＝R2，

第 8 页 共 19 页

∵CF＝BC， ∴CF＝AD，

∴四边形ACFD是平行四边形，故选项A不合题意； ∴AC∥DF，DG＝GC， ∴BD⊥DF，

∴BD2+FD2＝BF2，故选项B不合题意； ∵DG＝GC，AE＝EC， ∴EG∥AD，AD＝2EG， ∴△EGO∽△DAO， ∴

＝（

）2＝4，

，

∴S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，故选项C符合题意，选项D不合题意， 故选：C．

11．【解答】解：如图，过点O作OF⊥BE于点F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6， 在Rt△ADB中，∠C＝90°， ∴BD＝∴tan∠DBC＝

＝10， ＝

＝，

设OF＝3x，BF＝4x， 则BO＝5x， ∵OB＝OE， ∴BF＝EF＝4x， ∴CE＝CB﹣BE＝8﹣8x， ∵DE是⊙O的切线，

第 9 页 共 19 页

∴OE⊥DE，

∴∠OEF+∠DEC＝90°， ∵∠DEC+∠EDC＝90°， ∴∠OEF＝∠EDC， ∵∠OFE＝∠DCE， ∴△OEF∽△EDC， ∴∴

＝＝， ，

，

解得x＝0（舍去），x＝∴OB＝5x＝故选：C．

．

12．【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点， 则△＞0且a≠1，

当△＝（﹣2a+3）2﹣4（a﹣1）（a﹣4）＝8a﹣7＞0时，解得a＞， ∵a取满足条件的最小整数，而a≠1， 故a＝2，

当a＝2时，y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4＝x2﹣x﹣2，

设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，

对于y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则y＝x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝﹣2， 故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，﹣2）， 由直线y＝kx﹣2知，该直线过点C， ①当k＞0时，

∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，

第 10 页 共 19 页

则此时直线过点B、C，

将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝2k﹣2， 解得k＝1； ②当k＜0时， ∵直线y＝kx﹣

2与新图象恰有三个公共点时，

则此时直线过A、C点或直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点， 当直线过点A、C时，

将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣k﹣2， 解得k＝﹣2，

当直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点时，

联立直线和抛物线的表达式得：x2﹣x﹣2＝kx﹣2，即x2﹣（k+1）x＝0， 则△＝（﹣k﹣1）2﹣4×1×0＝0， 解得k＝﹣1，

综上，k＝1或﹣2或﹣1， 故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．【解答】解：原式＝（5﹣3）＝2

，

故答案为：2

14．【解答】解：2a2﹣8 ＝2（a2﹣4）， ＝2（a+2）（a﹣2）． 故答案为：2（a+2）（a﹣2）．

15．【解答】解：设乙每时生产x个零件，则甲每时生产（x+8）个零件， 根据题意得：故答案是：

＝＝

， ．

16．【解答】解：∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆， ∴∠AOB＝

＝60°，

第 11 页 共 19 页

∵∴

的长是π，

＝π，

∴OA＝2， ∴S扇形OAB＝

过O作OH⊥AB于H， ∵OA＝OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴AB＝OA＝2，∠AOH＝AOB＝30°， ∴AH＝AB＝1， ∴OH＝

＝

， ，

﹣

，

＝

，

∴S△OAB＝AB•OH＝

∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝故答案为：

﹣

．

17．【解答】解：过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D． ∵AD⊥BC,∠B＝45°, ∴CD＝AD．

∴△ABD为等腰直角三角形． ∵AB＝2

,

∴AD＝BD＝2． 在Rt△ACD中，tan∠α＝即CD＝≈0.73．

第 12 页 共 19 页

,

∴BC＝BD﹣CD ＝2﹣0.73 ＝1.27 ≈1.3． 故答案为：1.3．

18．【解答】解：如图，过点D作DH⊥A'C于H，

∵将Rt△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△A'B'C'， ∴∠A＝∠A'，∠ACA'＝∠BCB'＝α，A'C＝AC＝2（cm）， ∴sin∠A'CA＝

＝，sinA'＝sinA＝

，

∴CD＝3DH，A'H＝2DH， ∴CH＝

∵A'H+CH＝A'C， ∴DH＝（∴DC＝（3故答案为：（3

﹣1）（cm）， ﹣3）（cm）， ﹣3）． ＝2

DH，

三、解答题（本大题共8小题，满分66.分）

19．【解答】解：原式＝6﹣8+（﹣8）÷2＝6﹣8+（﹣4）＝﹣2﹣4＝﹣6． 20．【解答】解：解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 把不等式组的解集在数轴上表示为：

第 13 页 共 19 页

．

21．【解答】证明：在Rt△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴AD＝BC，

∵点E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝BC， ∴AD＝EF．

22．【解答】解：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y） ＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy ＝9xy， ∵

+|y+2|＝0，

∴x﹣1＝0且y+2＝0， 解得：x＝1，y＝﹣2，

当x＝1，y＝﹣2时，原式＝9×1×（﹣2）＝﹣18． 23．【解答】解：（1）共抽查学生数是：3÷5%＝60（人）， a＝1﹣5%﹣20%﹣25%﹣15%＝35%； C组的人数有：60×35%＝21（人），

∵共有60人，中位数是第30、31个数的平均数， ∴中位数落在C组， 补全统计图如下：

故答案为：60，35%，C；

（2）该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有；1800×（35%+25%+15%）

第 14 页 共 19 页

＝1350（人）．

（3）根据题意画图如下：

共有6种等可能的情况数，其中抽取两名学生都是男生的有2种， 则抽取两名学生都是男生的概率是＝． 24．【解答】解：（1）由题意可得， 30+2（a﹣1）＝24+12（b﹣1）， 化简，得 a＝6b﹣8，

即a与b的关系式是a＝6b﹣8； （2）设所需要的船的数量为x艘，

由（1）知，当所需要的车的辆数为（6x﹣8）辆时，车与船同时到达景点B，

，

解得

≤x≤

，

∵x为整数， ∴x＝6， ∴6x﹣8＝28，

此时游客剩余人数为：3100﹣300×6﹣40×28＝180， ∵40＜180＜300，

∴若乘船送剩余人数，则船的数量为6+1＝7，所需时间为12×（7﹣1）+24＝96（min）， 若乘车送剩余人数，则车的数量为28+5＝33，所需时间为2×（33﹣1）+30＝94（min）， 由上可得，剩余人数，则船的数量为94分钟． 25．【解答】（1）证明：如图1中，

第 15 页 共 19 页

∵BD是直径，

∴∠BED＝∠BFD＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵AE＝CF， ∴BE＝BF， ∵BD＝BD，

∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL）， ∴DE＝DF．

（2）解：如图2中，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N．

∵∠AED+∠BED＝180°，∠BED+∠BFD＝180°， ∴∠AED＝∠DFB， ∵∠DME＝∠DNF＝90°， ∴△DME∽△DNF， ∴

＝

＝，

在Rt△ADM中，∠AMD＝90°，∠A＝60°，AD＝4， ∴DM＝AD•sin60°＝2∴DN＝5

，

，

第 16 页 共 19 页

在Rt△DCN中，∠DNC＝90°，∠C＝60°， ∴CD＝

＝10，

∴AB＝AC＝AD+DC＝4+10＝14．

26．【解答】解：（1）对于y＝①，当x＝1时，y＝＝2，故点A（1，2）， 即AE＝1，AF＝2，

则BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣2＝2， 故点B的坐标为（﹣3，2），点C的坐标为（﹣3，﹣2）；

（2）由（1）知，点F（1，0），

设直线BF的表达式为y＝kx+b，则，解得，

故直线BF的表达式为y＝﹣x+， 设直线BF交y轴于点M，则点M（0，）， 同理可得，直线CE的表达式为y＝x+2，

联立BF、CE的表达式并解得，

故点G的纵坐标为，

；

则点G到x轴的距离为

（3）存在，理由：

由直线BF的表达式知，点M（0，）， 由点B的坐标知，tan∠BME＝

＝

＝2，则sin∠BME＝

，

由点B、F的坐标知，BF＝①当点H在BF上方时（BF∥m），

＝2，

第 17 页 共 19 页

如下图，过点H作直线m∥BE交y轴于点N，过点M作MG⊥m于点G，

则△BFH的面积＝BF×MG＝×2∵m∥EF，则∠MNG＝∠BME， 在Rt△MGN中，sin∠MNG＝sin∠BME＝

＝

＝

，解得MN＝，

×MG＝5，解得MG＝

，

则ON＝OM+MN＝+＝3，故点N（0，3）， 则直线m的表达式为y＝﹣x+3②，

联立①②并解得，

故点H的坐标为（3+，）或（3﹣，）；

②当点H在BF下方时（BF∥m′）， 同理可得，点H的坐标为（﹣2，﹣1）． 综上，点H的坐标为（3+备注：（3）其它方法：

设点H（a，），过点H作HM∥y轴交BF于点M，则点M（a，﹣a+），

，

）或（3﹣

，

）或（﹣2，﹣1）．

第 18 页 共 19 页

S△BHF＝×MH×AB＝2MH＝5，则MH＝2.5，

当点H在第一象限时，则MH＝﹣（﹣a+）＝2.5，解得a＝3±则点H的坐标为（3+

，

）或（3﹣

，

）；

，

当点H在第三象限时，同理可得，点H的坐标为（﹣2，﹣1）； 综上，点H的坐标为（3+

，

）或（3﹣

，

）或（﹣2，﹣1）．

第 19 页 共 19 页