2018年考研(数学三)真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1. 下列函数中,在x=0处不可导的是( ) A.f(x)=|x|sin|x| B.
C.f(x)=cos|x| D.
正确答案:D
解析:对D选项,由于f+’(0)≠f-’(0),因此f(x)在x=0处不可导.
2. 设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且∫01f(x)dx=0,则( ) A.当f’(x)<0时, B.当f”(x)<0时, C.当f’(x)>0时, D.当f”(x)>0时,
正确答案:D 解析:对于A选项:.此时f’(x)=一1<0,但对于B、D选项:,由∫01f(x)dx=0,可得当f”(x)=2a<0时,=b>0;当f”(x)=2a>0时,对于C选项:取f(x)=此时f’(x)=1>0,但故D选项正确.
3. 设则( ) A.M>N>K B.M>K>N C.K>M>N D.K>N>M
正确答案:C
解析:由于而由定积分的性质,可知即K>M>N.故C选项正确.
4. 设某产品的成本函数C(Q)可导,其中Q为产量,若产量为Q0时平均成本最小,则( )
A.C’(Q0)=0 B.C’(Q0)=C(Q0) C.C’(Q0)=Q0C(Q0) D.Q0C’(Q0)=C(Q0)
正确答案:D
解析:平均成本函数其取最小值时,则导数为零,即 从而C’(Q0)Q0—C(Q0)=0,即C’(Q0)Q0=C(Q0).
5. 下列矩阵中,与矩阵相似的为( ) A. B. C. D.
正确答案:A
解析:本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等). 若存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则A~
B.从而可知 E一A~E一B,且r(E—A)=r(E一B). 设题中所给矩阵为A,各选项中的矩阵分别为B1,B2,B3,B4.经验证知 r(E—B1)=2,r(E—B2)=r(E一B3)=r(E—B4)=1. 因此A~B1,即A相似于A选项下的矩阵.
6. 设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则( )
A.r(A,AB)=r(A) B.r(A,BA)=r(A)
C.r(A,B)=max{r(A),r(B)} D.r(A,B)=r(AT,BT)
正确答案:A
解析:解这道题的关键,要熟悉以下两个不等关系. ①r(AB)≤min{r(A),r(B)}; ②r(A,B)≥max{r(A),r(B)}. 由r(E,B)=n,可知r(A,AB)=r(A(E,B))≤min{r(A),r(E,B)}=r(A). 又r(A,AB)≥max{r(A),r(AB)},r(AB)≤r(A),可知r(A,AB)≥r(A). 从而可得r(A,AB)=r(A).
7. 设f(x)为某分布的概率密度函数,f(1+x)=f(1—x),∫02f(x)dx=0.6,则P{X<0}=( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
正确答案:A 解析:由于f(1+x)=f(1一x),可知f(x)图像关于x=1对称. 而∫02f(x)dx=0.6,可得
8. 已知X1,X2,…Xn(n≥2)为来自总体N(μ,σ2)(σ>0)的简单随机样本,,则( )
A. B. C. D.
正确答案:B
解析:解这道题,首先知道t分布的定义.假设X服从标准正态分布N(0,1),Y服从χ2(n)分布,则的分布称为自由度为n的t分布,记为Z~t(n).
填空题
9. 曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_______.
正确答案:y=4x一3
解析:首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0,+∞).求一阶、二阶导,可得f’(x)=令y”=0,得x=1.当x>1时f”(x)>0;当x<1时f”(x)<0.因此(1,1)为曲线的拐点.点(1,1)处的切线斜率k=f’(1)=4.因此切线方程为y一1=4(x一1),即y=4x一3.
10.
正确答案:
解析:本题考查分部积分法。
11. 差分方程△2yx一yx=5的解为________.
正确答案:yx=C.2x一5
解析:△2yx=△(△yx)=△yx+1一△yx=(yx+2一yx+1)一(yx+1一yx)=yx+2—2yx+1+yx,因此原差分方程可化简为yx+2一2yx+1=5.齐次方程yx+2一2yx+1=0的通解为Yx=C.2x.设非齐次方程的特解为yx*=A,代入非齐次方程中,可得A=一5.故非齐次方程,即原差分方程的通解为yx=Yx+yx*=C.2x一5.
12. 设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+ο(△x)(△x→0),且f(0)=2,则f(1)=________.
正确答案:2e 解析:由题意知f’(x)=2xf(x),解该一阶齐次线性微分方程可得f(x)=又f(0)=2,得C=2.因此f(x)=从而f(1)=2e.
13. 设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为线性无关的向量组,若Aα1=α1+α2,Aα2=α2+α3,Aα3=α1+α3,则|A|=________.
正确答案:2
解析:由题可得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)由于α1,α2,α3线性无关,则P=(α1,α2,α3)为可逆矩阵.因此因此A~B,则矩阵A、B的行列式值相等.即
14. 随机事件A,B,C相互,且p(A)=p(B)=P(C)=则p(AC|A∪B)=_________.
正确答案: 解析:
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知实数a,b满足求a,b.
正确答案:要使上式极限存在,则有=a一1=0,求得a=1.=1+b=2,从而可得b=1.综上所述:a=1,b=1.
16. 设平面区域D由曲线与直线及y轴围成,计算二重积分
正确答案:
17. 将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.
正确答案:设铁丝分成的三段绳长分别为x,y,z,则x+y+z=2.从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题.从而得唯一驻点(一2πλ,一8λ,).由问题的实际背景可知,在该驻点处,S取得最小值.因此
18. 已知(一1<x<1),求an.
正确答案:本题考查常见函数的泰勒展开公式.
19. 设数列{xn}满足:x1>0,(n=1,2,…).证明:{xn}收敛,并求
正确答案:设f(x)=ex一1一x(x>0),则有f’(x)=ex一1>0,因此f(x)>f(0)=0,从而可知x2>0.猜想xn>0,现用数学归纳法证明.当n=1时,x1>0,成立;假设当n=k(k=2,3,…)时,有xk>0,则n=k+1时,有从而得知无论n取任何自然数,都有xn>0,即数列{xn}有下界.当x>0时,g’(x)=ex一ex一xex=一xex<0.因此g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,即有ex一1<xex,因此xn+1一xn=<ln1=0,可知数列{xn}单调递减.由单调有界准则可知数列{xn}收
敛.设,则有AeA=eA一1(A≥0).可知A=0是该方程的解.因为当x>0时,g(x)=ex一1一xex<g(0)=0.因此A=0是方程AeA=eA一1唯一的解.故
20. 设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数。 (I)求f(x1,x2,x3)=0的解; (Ⅱ)求f(x1,x2,x3)的规范形.
正确答案:(I)由f(x1,x2,x3)=0得当a≠2时,方程组有唯一解:x1=x2=x3=0.当a=2时,方程组有无穷解:令x1=1,可得解.k∈R.(Ⅱ)当a≠2时,做非退化的线性变换此时f(x1,x2,x3)的规范形为f=y12+y22+y32.当a=2时,做非退化的线性变换则 f(x1,x2,x3)=y12+y22+(y1+y2)2=2y12+2y22+2y1y2 则f(x1,x2,x3)的规范形为f=z12+z22.
21. 已知a是常数,且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I)求a;(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P.
正确答案:(I)由题意知,|A|=|B|,且r(A)=r(B).由于因此可得a=2.(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P,即求方程组Ax=B的解.令P=(ξ1,ξ2,ξ3),B=(β1,β2,β3),x=(x1,x2,x3),则可得方程组Ax1=β1的基础解系为(一6,2,1)T,特解为(3,一1,0)T; 得方程组Ax2=β2的基础解系为(一6,2,1)T,特解为(4,一1,0)T; 得方程组Ax3=β3的基础解系为(一6,2,1)T,特解为(4,一1,0)T.从而可知三个非齐次方程组的通解为 ξ1=x=k1(一6,2,1)T+(3,一1,0)T; ξ2=x2=k2(一6,2,1)T+(4,一1,0)T; ξ3=x3=k3(一6,2,1)T+(4,一1,0)T.由P为可逆矩阵,即|P|≠0,可知k2≠k3.因此k1,k2,k3为任意常数,且k2≠k3.
22. 设随机变量X与Y相互,X的概率分布为P(X=1)=P(X=一1)=,Y服从参数为λ的泊松分布.令Z=XY.(I)求Cov(X,Z);(Ⅱ)求Z的概率分布.
正确答案:(I)由题意知,E(X)=0,D(X)=E(X2)一[E(X)]2=1,E(Y)=λ. 因此 Cov(X,Z)=Cov(X,XY)=E(X2Y)一E(X)E(XY) =E(X2)E(Y)一[E(X)]2E(Y) =D(X)E(Y)=λ.可知Z=XY的所有可能取值为k=0,±1,±2,….因此P(Z=k)=P(XY=k)=P(XY=k|X=1)P(X=1) +P(XY=k|X=一1)P(X=一1) =P(Y=k,X=1)+P(Y=-k,X=一1) =当k=0时,P(Z=0)=P(Y=0)=e-λ.
23. 设总体X的概率密度为其中σ∈(0,+∞)为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本.σ的最大似然估计量为(I)求(Ⅱ)求
正确答案:(I)设样本X1,X2,…,Xn所对应的样本值分别为x1,x2,…,xn.
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