2018年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)

2018年考研（数学三）真题试卷 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 下列函数中，在x=0处不可导的是( ) A．f(x)=|x|sin|x| B．

C．f(x)=cos|x| D．

正确答案：D

解析：对D选项，由于f+’(0)≠f-’(0)，因此f(x)在x=0处不可导．

2． 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( ) A．当f’(x)＜0时， B．当f”(x)＜0时， C．当f’(x)＞0时, D．当f”(x)＞0时，

正确答案：D 解析：对于A选项：．此时f’(x)=一1＜0，但对于B、D选项：，由∫01f(x)dx=0，可得当f”(x)=2a＜0时，=b＞0；当f”(x)=2a＞0时，对于C选项：取f(x)=此时f’(x)=1＞0，但故D选项正确．

3． 设则( ) A．M＞N＞K B．M＞K＞N C．K＞M＞N D．K＞N＞M

正确答案：C

解析：由于而由定积分的性质，可知即K＞M＞N．故C选项正确．

4． 设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )

A．C’(Q0)=0 B．C’(Q0)=C(Q0) C．C’(Q0)=Q0C(Q0) D．Q0C’(Q0)=C(Q0)

正确答案：D

解析：平均成本函数其取最小值时，则导数为零，即 从而C’(Q0)Q0—C(Q0)=0，即C’(Q0)Q0=C(Q0)．

5． 下列矩阵中，与矩阵相似的为( ) A． B． C． D．

正确答案：A

解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)． 若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～

B．从而可知 E一A～E一B，且r(E—A)=r(E一B)． 设题中所给矩阵为A，各选项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知 r(E—B1)=2，r(E—B2)=r(E一B3)=r(E—B4)=1． 因此A～B1，即A相似于A选项下的矩阵．

6． 设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )

A．r(A，AB)=r(A) B．r(A，BA)=r(A)

C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)} D．r(A，B)=r(AT，BT)

正确答案：A

解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系． ①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}； ②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}． 由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)． 又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)． 从而可得r(A，AB)=r(A)．

7． 设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1—x)，∫02f(x)dx=0．6，则P{X＜0}=( )

A．0．2 B．0．3 C．0．4 D．0．6

正确答案：A 解析：由于f(1+x)=f(1一x)，可知f(x)图像关于x=1对称． 而∫02f(x)dx=0.6，可得

8． 已知X1，X2，…Xn(n≥2)为来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，，则( )

A． B． C． D．

正确答案：B

解析：解这道题，首先知道t分布的定义．假设X服从标准正态分布N(0，1)，Y服从χ2(n)分布，则的分布称为自由度为n的t分布，记为Z～t(n)．

填空题

9． 曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_______．

正确答案：y=4x一3

解析：首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．求一阶、二阶导，可得f’(x)=令y”=0，得x=1．当x＞1时f”(x)＞0；当x＜1时f”(x)＜0．因此(1，1)为曲线的拐点．点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=4．因此切线方程为y一1=4(x一1)，即y=4x一3．

10．

正确答案：

解析：本题考查分部积分法。

11． 差分方程△2yx一yx=5的解为________．

正确答案：yx=C.2x一5

解析：△2yx=△(△yx)=△yx+1一△yx=(yx+2一yx+1)一(yx+1一yx)=yx+2—2yx+1+yx，因此原差分方程可化简为yx+2一2yx+1=5．齐次方程yx+2一2yx+1=0的通解为Yx=C.2x．设非齐次方程的特解为yx*=A，代入非齐次方程中，可得A=一5．故非齐次方程，即原差分方程的通解为yx=Yx+yx*=C.2x一5．

12． 设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+ο(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=________．

正确答案：2e 解析：由题意知f’(x)=2xf(x)，解该一阶齐次线性微分方程可得f(x)=又f(0)=2，得C=2．因此f(x)=从而f(1)=2e．

13． 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组，若Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α1+α3，则|A|=________．

正确答案：2

解析：由题可得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)由于α1，α2，α3线性无关，则P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵．因此因此A～B，则矩阵A、B的行列式值相等．即

14． 随机事件A，B，C相互，且p(A)=p(B)=P(C)=则p(AC|A∪B)=_________．

正确答案： 解析：

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 已知实数a，b满足求a，b．

正确答案：要使上式极限存在，则有=a一1=0，求得a=1．=1+b=2，从而可得b=1．综上所述：a=1，b=1．

16． 设平面区域D由曲线与直线及y轴围成，计算二重积分

正确答案：

17． 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．

正确答案：设铁丝分成的三段绳长分别为x，y，z，则x+y+z=2．从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题．从而得唯一驻点(一2πλ，一8λ，)．由问题的实际背景可知，在该驻点处，S取得最小值．因此

18． 已知(一1＜x＜1)，求an．

正确答案：本题考查常见函数的泰勒展开公式．

19． 设数列{xn}满足：x1＞0，(n=1，2，…)．证明：{xn}收敛，并求

正确答案：设f(x)=ex一1一x(x＞0)，则有f’(x)=ex一1＞0，因此f(x)＞f(0)=0，从而可知x2＞0．猜想xn＞0，现用数学归纳法证明．当n=1时，x1＞0，成立；假设当n=k(k=2，3，…)时，有xk＞0，则n=k+1时，有从而得知无论n取任何自然数，都有xn＞0，即数列{xn}有下界．当x＞0时，g’(x)=ex一ex一xex=一xex＜0．因此g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即有ex一1＜xex，因此xn+1一xn=＜ln1=0，可知数列{xn}单调递减．由单调有界准则可知数列{xn}收

敛．设，则有AeA=eA一1(A≥0)．可知A=0是该方程的解．因为当x＞0时，g(x)=ex一1一xex＜g(0)=0．因此A=0是方程AeA=eA一1唯一的解．故

20． 设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数。 (I)求f(x1，x2，x3)=0的解； (Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．

正确答案：(I)由f(x1，x2，x3)=0得当a≠2时，方程组有唯一解：x1=x2=x3=0．当a=2时，方程组有无穷解：令x1=1，可得解．k∈R．(Ⅱ)当a≠2时，做非退化的线性变换此时f(x1，x2，x3)的规范形为f=y12+y22+y32．当a=2时，做非退化的线性变换则 f(x1，x2，x3)=y12+y22+(y1+y2)2=2y12+2y22+2y1y2 则f(x1，x2，x3)的规范形为f=z12+z22．

21． 已知a是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I)求a；(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．

正确答案：(I)由题意知，|A|=|B|，且r(A)=r(B)．由于因此可得a=2．(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P，即求方程组Ax=B的解．令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，x=(x1，x2，x3)，则可得方程组Ax1=β1的基础解系为(一6，2，1)T，特解为(3，一1，0)T； 得方程组Ax2=β2的基础解系为(一6，2，1)T，特解为(4，一1，0)T； 得方程组Ax3=β3的基础解系为(一6，2，1)T，特解为(4，一1，0)T．从而可知三个非齐次方程组的通解为 ξ1=x=k1(一6，2，1)T+(3，一1，0)T； ξ2=x2=k2(一6，2，1)T+(4，一1，0)T； ξ3=x3=k3(一6，2，1)T+(4，一1，0)T．由P为可逆矩阵，即|P|≠0，可知k2≠k3．因此k1，k2，k3为任意常数，且k2≠k3．

22． 设随机变量X与Y相互，X的概率分布为P(X=1)=P(X=一1)=，Y服从参数为λ的泊松分布．令Z=XY.(I)求Cov(X，Z)；(Ⅱ)求Z的概率分布．

正确答案：(I)由题意知，E(X)=0，D(X)=E(X2)一[E(X)]2=1，E(Y)=λ． 因此 Cov(X，Z)=Cov(X，XY)=E(X2Y)一E(X)E(XY) =E(X2)E(Y)一[E(X)]2E(Y) =D(X)E(Y)=λ．可知Z=XY的所有可能取值为k=0，±1，±2，…．因此P(Z=k)=P(XY=k)=P(XY=k|X=1)P(X=1) +P(XY=k|X=一1)P(X=一1) =P(Y=k，X=1)+P(Y=-k，X=一1) =当k=0时，P(Z=0)=P(Y=0)=e-λ．

23． 设总体X的概率密度为其中σ∈(0，+∞)为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．σ的最大似然估计量为(I)求(Ⅱ)求

正确答案：(I)设样本X1，X2，…，Xn所对应的样本值分别为x1，x2，…，xn.