2022年湖北省鄂州市中考数学试卷(含答案)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1．（3分）（2022•鄂州）实数9的相反数等于（ ） A．﹣9

B．+9

C．

D．﹣

2．（3分）（2022•鄂州）下列计算正确的是（ ） A．b+b2＝b3

B．b6÷b3＝b2

C．（2b）3＝6b3

D．3b﹣2b＝b

3．（3分）（2022•鄂州）孙权于公元221年4月自“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）（2022•鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

5．（3分）（2022•鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）

A．10°

B．15°

C．20°

D．30°

6．（3分）（2022•鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有的情况下，某种细胞可通过来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ） A．8

B．6

C．4

D．2

7．（3分）（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）

A．x＞3

B．x＜3

C．x＜1

D．x＞1

8．（3分）（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）

A．10cm

B．15cm

C．20cm

D．24cm

10．（3分）（2022•鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24移过程中，AB+CD的最小值为（ ）

，当线段BC在平

A．24

B．24

C．12

D．12

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 11．（3分）（2022•鄂州）计算：

＝ ．

12．（3分）（2022•鄂州）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是 ．

13．（3分）（2022•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 ．

15．（3分）（2022•鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA＝

，则k的值为 ．

16．（3分）（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）（2022•鄂州）先化简，再求值：

﹣

，其中a＝3．

18．（8分）（2022•鄂州）为庆祝中国主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：

（1）表中a＝ ，C等级对应的圆心角度数为 ；

（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？

（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．

等级 A B C D

成绩x/分 90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 x＜70

人数 15 a 18 7

19．（8分）（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD． （1）求证：DF＝CF；

（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．

20．（8分）（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022

年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：

（1）两位市民甲、乙之间的距离CD； （2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）

21．（8分）（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：

（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min； （2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式； （3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．

22．（10分）（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D． （1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．

23．（10分）（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣

）的距离

的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点

叫做抛物线的准线方程．其中原点O

F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣为FH的中点，FH＝2OF＝

．

例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1． 【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ． 【技能训练】

（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； 【能力提升】

（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； 【拓展升华】

（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：

＝

＝

．后人把

这个数称为“黄金分割”数，

把点C称为线段AB的黄金分割点．

如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当

＝

时，请直接写出

△HME的面积值．

24．（12分）（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点． （1）请直接写出点B的坐标；

（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；

（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；

（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．

2022年湖北省鄂州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1．（3分）（2022•鄂州）实数9的相反数等于（ ） A．﹣9

B．+9

C．

D．﹣

【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：实数9的相反数是：﹣9． 故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2．（3分）（2022•鄂州）下列计算正确的是（ ） A．b+b2＝b3

B．b6÷b3＝b2

C．（2b）3＝6b3

D．3b﹣2b＝b

【分析】按照整式幂的运算法则和合并同类项法则逐一计算进行即可得答案． 【解答】解：∵b与b2不是同类项， ∴选项A不符合题意； ∵b6÷b3＝b3， ∴选项B不符合题意； ∵（2b）3＝8b3， ∴选项C不符合题意； ∵3b﹣2b＝b， ∴选项D符合题意， 故选：D．

【点评】此题考查了整式幂与合并同类项的相关运算能力，关键是能准确理解并运用相关计算法则．

3．（3分）（2022•鄂州）孙权于公元221年4月自“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4．（3分）（2022•鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据三视图的定答即可．

【解答】解：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个正方形，所以A选项正确， 故选：A．

【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键． 5．（3分）（2022•鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）

A．10°

B．15°

C．20°

D．30°

【分析】由题意可得AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，由∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，可得∠CAB＝∠CBA＝15°，再结合平行线的性质可得∠1＝∠CBA＝15°．

【解答】解：由题意可得AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA，

∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴∠CAB＝∠CBA＝15°， ∵l1∥l2，

∴∠1＝∠CBA＝15°． 故选：B．

【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC＝AC是解答本题的关键．

6．（3分）（2022•鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有的情况下，某种细胞可通过来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ） A．8

B．6

C．4

D．2

【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22022与22的尾数相同，即可求解．

【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……， ∴2的乘方的尾数每4个循环一次， ∵2022÷4＝505…2， ∴22022与22的尾数相同， 故选：C．

【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关

键．

7．（3分）（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）

A．x＞3

B．x＜3

C．x＜1

D．x＞1

【分析】根据题意和函数图象，可以写出当kx+b＜x时，x的取值范围． 【解答】解：由图象可得，

当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方， ∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3， 故选：A．

【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8．（3分）（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）

A．10cm

B．15cm

C．20cm

D．24cm

【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法

得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径． 【解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，

∵AC⊥CD、BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∵AC＝BD＝4cm，

∴四边形ACDB是平行四边形， ∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm， ∵CD切⊙O于点E， ∴OE⊥CD， ∴OE⊥AB，

∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm）， ∴EF＝BD＝4cm，

设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm， 在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2， ∴r2＝82+（r﹣4）2， 解得：r＝10，

∴这种铁球的直径为20cm， 故选：C．

【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键． 10．（3分）（2022•鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点

D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24移过程中，AB+CD的最小值为（ ）

，当线段BC在平

A．24

B．24

C．12

D．12

【分析】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即B和C点重合，点D平移至T，连接AT，即AB+CD最小，进一步求得结果． 【解答】解：如图，

作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT，

AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长， 可得AK＝AE•sin60°＝∴AR＝2∵AD＝24

+6，

＝， +4

＝12

＝2，

，DL＝

＝4

，

＝6

，

∴sin∠ADR＝∴∠ADR＝30°，

∵∠PFD9＝60°， ∴∠ADT＝90°， ∴AT＝

＝

＝12

，

故答案为：C．

【点评】本题考查了平移性质和平移的运用，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，将B和C两地变为“一个点”．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 11．（3分）（2022•鄂州）计算：

＝ 2 ．

【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解． 【解答】解：∵22＝4， ∴

＝2．

故答案为：2

【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．

12．（3分）（2022•鄂州）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是 3 ． 【分析】根据众数的概念求解即可．

【解答】解：因为这组数据中3出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数是3， 故答案为：3．

【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

13．（3分）（2022•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为

．

【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．

【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b， ∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根， 则a+b＝4，ab＝3， 则原式＝

＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作

方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根及韦达定理．

15．（3分）（2022•鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA＝

，则k的值为 2 ．

【分析】由点A在直线y＝2x上，且OA＝的坐标代入解析式可得，k＝2． 【解答】解：设A（x，y）， ∵点A在直线y＝2x上，且OA＝∴A点坐标为（ 1，2），

∵点A在双曲线y＝（x＞0）上， ∴2＝k， 故答案为：2．

【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，是数形结合题．

16．（3分）（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为

．

，

，可求得A点坐标为（ 1，2）把已知点

【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，

作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°， 在△ABD和△BCE中，

∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE，

∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°， ∴∠APB＝120°，

在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4， ∴∠C＝60°，

∴△CEF是等边三角形， ∴∠BFE＝120°， 即∠APB＝∠BFE， ∴△APB∽△BFE， ∴

＝＝2，

设BP＝x，则AP＝2x， 作BH⊥AD延长线于H，

∵∠BPD＝∠APE＝60°， ∴∠PBH＝30°， ∴PH＝，BH＝

，

∴AH＝AP+PH＝2x+＝x， 在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2， 即（x）2+（解得x＝∴AP＝

x）2＝62，

（舍去）， ，

+

＝6+

＝

，

或﹣，BP＝

∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6+故答案为：

．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）（2022•鄂州）先化简，再求值：

﹣

，其中a＝3．

【分析】根据同分母分式加法的法则计算即可，然后将a的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：＝＝＝a﹣1，

当a＝3时，原式＝3﹣1＝2．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法的运算法则和因式分解的方法．

18．（8分）（2022•鄂州）为庆祝中国主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：

（1）表中a＝ 20 ，C等级对应的圆心角度数为 108° ；

﹣

（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？

（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．

等级 A B C D

成绩x/分 90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 x＜70

人数 15 a 18 7

【分析】（1）由A的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由全校参加此次竞赛共有的人数乘以成绩为A等级的学生所占比例即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷

＝60（人），

＝108°，

∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级对应的圆心角度数为：360°×故答案为：20，108°； （2）600×

＝150（人），

答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人； （3）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种， ∴恰好抽到T1，T2的概率为＝．

【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了统计表和扇形统计图．

19．（8分）（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD． （1）求证：DF＝CF；

（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．

【分析】（1）由矩形的性质得OC＝OD，得∠ACD＝∠BDC，再证∠CDF＝∠DCF，即可得出结论；

（2）证△CDF是等边三角形，得CD＝DF＝6，再证△OCD是等边三角形，得OC＝OD＝6，则BD＝2OD＝12，然后由勾股定理得BC＝6【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD， ∴OC＝OD， ∴∠ACD＝∠BDC，

∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD， ∴∠CDF＝∠DCF， ∴DF＝CF；

（2）解：由（1）可知，DF＝CF， ∵∠CDF＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝DF＝6，

∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝OD＝6， ∴BD＝2OD＝12，

，即可解决问题．

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴BC＝

＝

＝6×6＝36

， ．

∴S矩形ABCD＝BC•CD＝6

【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（8分）（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：

（1）两位市民甲、乙之间的距离CD； （2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）

【分析】（1）根据斜坡CF的坡比＝1：3，可得GC＝3DG＝90米，然后在Rt△DGC中，利用勾股定理进行计算即可解答；

（2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DG＝BH＝30米，DH＝BG，设BC＝x米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数 定义求出AB的长，从而求出AH，DH的长，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米， ∴

＝，

∴GC＝3DG＝90（米）， 在Rt△DGC中，DC＝

＝

米；

＝30

（米），

∴两位市民甲、乙之间的距离CD为30

（2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，

则DG＝BH＝30米，DH＝BG， 设BC＝x米，

在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC•tan45°＝x（米）， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米， 在Rt△ADH中，∠ADH＝30°， ∴tan30°＝∴x＝60+30经检验：x＝60∴AB＝（60

＝，

+90是原方程的根， +90）米，

+90）米．

＝

，

∴此时飞机的高度AB为（60

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

21．（8分）（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示： （1）小明家离体育场的距离为 2.5 km，小明跑步的平均速度为 （2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式； （3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．

km/min；

【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为：路程÷时间；

（2）是分段函数，利用待定系数法可求；

（3）小明离家2km时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家2km，利用路程÷速度可得此时间，第二个时间利用BC段解析式可求得． 【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为故答案为：2.5，；

（2）如图，B（30，2.5），C（45，1.5），

＝km/min；

设BC的解析式为：y＝kx+b， 则

，

解得：，

∴BC的解析式为：y＝﹣x+4.5，

∴当15≤x≤45时，y关于x的函数表达式为：y＝；

（3）当y＝2时，﹣∴x＝2

， ＝12，

x+4.5＝2，

∴当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或min．

【点评】本题考查了函数的图象，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键，注意他所用的时间单位是min．

22．（10分）（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D． （1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．

【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而得出∠OAC+∠OBC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，结合已知得出∠PCB+∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，即可得出PC是⊙O的切线； （2）由tanA＝，得出

＝，由△PCB∽△PAC，得出

＝

＝

＝，进而求

出PB＝2，PA＝8，OC＝3，由平行线分线段成比例定理得出即可求出△OCD的面积．

【解答】解：（1）PC是⊙O的切线，理由如下： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OAC+∠OBC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠PCB＝∠OAC， ∴∠PCB+∠OCB＝90°， ∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC， ∵OC是半径， ∴PC是⊙O的切线；

，进而求出CD＝6，

（2）在Rt△ACB中，tanA＝∵tanA＝， ∴

＝，

，

∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P， ∴△PCB∽△PAC， ∴

＝

＝

＝，

∵PC＝4， ∴PB＝2，PA＝8， ∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6， ∴OC＝OB＝OA＝3， ∵BC∥OD， ∴

，即

，

∴CD＝6， ∵OC⊥CD， ∴

＝×3×6＝9．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形面积的计算公式是解决问题的关键．

23．（10分）（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣

）的距离

的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点

叫做抛物线的准线方程．其中原点O

F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣为FH的中点，FH＝2OF＝

．

例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1． 【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： （0，） ， y＝﹣ ． 【技能训练】

（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； 【能力提升】

（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； 【拓展升华】

（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：

＝

＝

．后人把

这个数称为“黄金分割”数，

把点C称为线段AB的黄金分割点．

如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当△HME的面积值．

＝

时，请直接写出

【分析】（1）根据焦点的坐标公式和准线l的方程直接得出结论即可； （2）可求出点P的纵坐标，从而确定P点的横坐标；

（3）作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，由BK∥FH∥AG得△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，从而

，

，进一步求得结果；

（4）设点M（m，m2），根据

＝2列出方程，求得m的值，进一步求得结果．

【解答】解：（1）∵a＝2， ∴

＝，

故答案为：（0，），y＝﹣； （2）∵a＝， ∴﹣

＝﹣4，

∴准线为：y＝﹣4， ∴点P的纵坐标为：2， ∴

＝2，

∴x＝±4，

∴P（4，2）或（﹣4，2）； （3）如图，

作AG⊥l于G，作BK⊥l于K， ∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝∵BK∥FH∥AG，

∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG， ∴∴

＝

，＝，

，

， ，

∴a＝；

（4）设点M（m，m2）， ∵

＝

，

∴＝2，

∴＝2，

∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去）， ∴M（﹣2，1），

∵E为线段HF的黄金分割点， ∴EH＝当EH＝当EH＝3﹣

＝

﹣1或EH＝2﹣（

＝， ．

﹣1）＝3﹣

， ＝

﹣1，

﹣1时，S△HME＝时，S△HME＝3﹣

﹣1或3﹣

∴△HME的面积是

【点评】本题考查了阅读运用新知识能力，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．

24．（12分）（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点． （1）请直接写出点B的坐标；

（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；

（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；

（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可；

（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．设PH＝OH＝x，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出PB即可；

（3）如图2中，设PA′交OB于点T．利用相似三角形的性质求出ET，再求出PB，可得结论；

（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．证明△AFP≌△KFG（SAS），推出∠PAF＝∠GKF＝90°，推出点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小．

【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10， ∴AB＝∴B（8，6）；

（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．

＝

＝8，

∵∠POH＝45°， ∴PH＝OH， 设PH＝OH＝x，

∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°， ∴△BHP∽△BAO，

∴＝＝＝

， ，

∴＝

∴PH＝x，PB＝x， ∴x+x＝10， ∴x＝

，

＝

， ＝，

∴PB＝×

∴PA＝AB＝PB＝8﹣∴P（，6）；

（3）如图2中，设PA′交OB于点T．

∵∠OAB＝90°，OE＝EB， ∴EA＝EO＝EB＝5， ∴∠EAB＝∠B，

由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′， ∴∠A′＝∠B， ∵A′P⊥OB，

∴∠ETA′＝∠BAO＝90°， ∴△A′TE∽△BAO， ∴∴

＝＝

， ，

∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，

∵cosB＝∴

＝

＝，

，

∴PB＝，

∴AP＝AB＝PB＝8﹣＝∴P（

（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．

，6）；

，

∵∠AFK＝∠PFG＝60°， ∴∠AFP＝∠KFG， ∵FA＝FK，FP＝FG， ∴△AFP≌△KFG（SAS）， ∴∠PAF＝∠GKF＝90°，

∴点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小， ∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，

∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°， ∴四边形JOQK是矩形， ∴OJ＝KQ，JK＝OQ， ∵KA＝KF，KJ⊥AF， ∴AJ＝JF＝1，KJ＝∴KQ＝OJ＝5，

∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，

，

∴QR＝∴OQ＝

KQ＝+

＝

，

，

∴OW＝OR•sin60°＝4， ∴OG的最小值为4，

∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°， ∴△FOW是等边三角形， ∴FW＝4，即FG＝4， ∴线段FP扫过的面积＝

＝

．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．