＜数学之友＞ ２０１３年第８期 豳 例谈中考数学易错题及其剖析 殷绍译 （南京大学附属中学。２１０００８） 美国著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中 指出：“解题是人类最富有特征的一种活动，是学生 第三边的长． 错解：由勾股定理得，该直角三角形的斜边ｃ＝ 学习数学的中心环节，是一种实践性技能，是发展数 学思维能力、培养良好心理素质的重要手段．”正因 为如此，解题在数学教学中具有重要的地位．而剖析 易错题的错因，对于培养学生的思维品质、提高解题 能力具有十分重要的意义．本文选取平时练习中一 些常见的易错题进行分析，供大家学习时参考． １ 缺乏整体思想导致解题策略性错误 例１已 ＋羔＝５，求１ 赋 的值 Ｙ 一ａ 十 剖析：多数学生在面对该题时因缺乏整体思想， 无从下手而导致丢分事实上可根据题目所给条件 得到２ ＋Ｙ＝５ｘｙ，而待求式也含有２ ＋Ｙ与 的式 子，所以可将 ＋Ｙ＝５ｘｙ整体代人．本题体现了数 学中的“整体”思想在解题中的应用． ２思维不周密导致增解 例２已知关于 的方程一－兰 ＝２一 有一 一Ｊ ．）一 个正数解，求ｍ的取值范围． 剖析：“关于 的方程”意味着 为未知数，其余 的字母均可视为常数．用解分式方程的常规方法得 出 的值并不困难，但多数学生因考虑不全面而忽 视 ＝３既是方程的正数解同时还是原方程的增根， 从而扩大字母ｍ的取值范围而出错． 例３若（ ＋ ＋２）（ ＋ 一１）＝ｏ，则 ＋ ＝． 一错解：由题意 ＋）， ＋２＝０或 ＋ｙ 一１＝Ｏ，故 ＋），２＝一２或１． 剖析：由于 ＋，，２必定是非负数，故解出的 ＋ ＝一２的答案应舍去由此想到，解题时不仅要思维严 密，还要养成良好的解题习惯一做完题要检查 ３思维定势导致漏解 例４直角三角形的两条边长分别为３和４，求 ＝ ＝５，所以第三边长为５． 剖析：这里受勾股定理中常见的勾股数３，４，５ 思维定势的干扰，把３，４作为直角边，实际上４也可 以作为斜边，即： （１）当３，４分别为直角边时，第三边即斜边 为５； （２）当３为直角边，４为斜边时，第三边是另一 直角边为 ． 所以这个三角形的第三边长为５或 ． 例５已知△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１７，ＡＣ＝１０，高ＡＤ＝ ８，求 ｃ． 错解：如图，在 ＾ 中，由勾股定理得，ＢＤ＝ ｌ５，在ＡＡＣＤ中，由勾股定 理得，ＣＤ＝６，从而得到 ＢＣ＝１５＋６＝２１． 剖析：本题没有提供图形，要求学生自己画图． 由于思维定势，学生拿到题目多数会画出右上图的 锐角三角形，这就局限了本题的解题思维，从而导致 漏解．实际上，如果画出的是钝角三角形，同样符合 题目的条件，也可求出ＢＣ的值．所以本题答案应该 是２ｌ或９． ４概念不清，画蛇添足 例６分解因式：（ ＋４） ＋（ ＋４）（ 一８）． 错解：（ ＋４） ＋（ ＋４）（ 一８） ＝（ ＋４）（ ＋４＋ 一８） ＝（ ＋４）（２ 一４） ＝２（ ＋４）（ 一２） ＝２ ＋４ 一１６． 剖析：分解因式是将一个多项式化为几个整式 的积的形式，题中２（ｘ＋４）（ －２）已是最后结果，再 将结果展开明显属于画蛇添足，没有把握因式分解 概念的本质． ・８１・ 《数学之友》 ２０１３年第８期 ５顾此失彼，漏洞百出 侈４ ７分解因式一２口＋８口 ６—８ａｂ ． 错解：一２ａ。＋８ａｚｂ一８ａｂ ＝２ａ（一。 ＋４ 一４６ ）． ６忽视边角分类 ，造成漏解甚至错误 ： ： ． ．例９ 已知等腰三角形一腰上的中线把该三角 形的周长分为１５和ｌ８两部分，求这个等腰三角形 的腰长和底边长． 剖析：分解因式时，如果第一项出现负号，一般 的解题习惯是将负号提出来．本题由于没有将负号 提出，出现了分解不彻底的错误． 正解：一２。。＋８ａ ｂ一８ａｂ ＝一２ａ（ａ 一４ａｂ＋ ４６ ）：一２ａ（ａ一２ｂ） ． 例８ ｎ，ｂ，ｃ在数轴上的位置如图所示，化 简ｌｎ ｌ一、／／（ａ＋ｃ） ＋√（ｃ一０） 一６． ｃ ０ ａ ｂ ｆ｛【 号＿＋姜。 解 ’＝ｌ８ 解得￡｛ 一：；： ’故这个等 Ｃ‘ 错解：原式＝口一（口＋ｃ）＋（ｃ—ａ）一６ ＝ａ—ａ—ｃ＋ｃ—ａ—ｂ＝一ａ—ｂ． 剖析：本题的解答过程暴露出学生对数轴上用 字母表示的数的大小关系模糊，对绝对值的意义混 淆不清，不能正确去掉绝对值符号而导致出错． 正解：原式＝口＋（ａ＋ｃ）一（ｃ～ａ）一ｂ ：ａ＋ａ＋ｃ—ｃ＋ａ—ｂ＝５ａ—ｂ． ｛ ’解 ｒｔｘ，＝三９１２． 这样，这个等腰三角形的 ２．３挖掘潜智 （上接第８Ｏ页） ２．２克服疲劳 由于大量的题目与频繁的考试，同学们会因智力 疲劳产生“厌战”情绪，这是不奇怪的，此时，若仍然一 味地钻研“工程浩大”的大题，则收效甚微．而适当配 以客观题，则可调节学习状态，缓解智力疲劳． 挖掘潜藏的智能是数学学习的一项重要目标， 而处理客观题在这方面有着奇特的功效．客观题之 “小”，必须在短时间内用巧妙的方法获得，而不能 “大动干戈”． 例４设集合Ａ＝｛１，２，３，４，５｝，Ｂ＝｛６，７，８｝， 例３椭圆的离心率为 ，Ａ是其左顶点，Ｆ 若从集合Ａ到集合曰的映射，满足 １） ——２）≤厂 是其右焦点，日是其短轴的一个顶点，则／＿ＡＢＦ的大 小是 ． （３） ４） ５），则这样的映射有个． 分析：不难发现：将集合Ａ的５个元素“分配” 给集合Ｂ的３个元素，也就好比将ｌ，２，３，４，５五个 ． 分析：文字简炼，信息少，不会对同学们的心理 造成压力，同学们也有精力去战胜它． ￣数装到标号分别为６，７，８的三个筐中，每个筐可装 ０到５个数．筐可装０到５个数筐６中的数小于筐 ７中的小于筐８中的，于是只要确定筐６，７，８中数 的个数，就能确定筐６，７；８中的数．那么也就相当于 ｔ］ｎ得 ２－ ＝ ，，则可设ｎ２＝２，ｃ２＝ ３一 ，那么ｂ ＝ 一１．不妨设Ｂ是上顶点，则Ａ ＝ （ａ，ｂ），ＢＦ＝（ｃ，一６），所以ＡＢ・ＢＦ＝（ａ，６）・（ｃ，一 将数５分成三个非负整数的和，于是问题转化为求 方程 ＋Ｙ＋ｚ＝５的非负整数解的组数．再将方程变 为（戈卡１）．＋（ｙ １）＋（ｚ专１１）＝８，则又转化为求方 程Ｓ＋ｔ＋ｌｒ＝８－ 的正整数解的组数．相当于在一排８ ６）：ａｃ～ｂ ：√６—２ 一 ＋１＝０，故／＿ＡＢＦ＝ ＂１７． 点评：离心率是一个十分活跃的“角色” 它与 向量的数量积结合，在这里演绎了一出引人入胜、精 个１形成的７个空档中任意插人２块隔板，则有Ｃ； ＝２１的插法，帮这样的映射有２１个． 彩绝伦的“好戏”，对于学生智力疲劳的消除有着良 好的效果． ・在处理大问题辅以客观题，可以让学生在忙碌紧 张的学习中有些许缓冲，有利于提高高考复习效率 ８２・
