<数学之友> 2013年第8期 豳 例谈中考数学易错题及其剖析 殷绍译 (南京大学附属中学。210008) 美国著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中 指出:“解题是人类最富有特征的一种活动,是学生 第三边的长. 错解:由勾股定理得,该直角三角形的斜边c= 学习数学的中心环节,是一种实践性技能,是发展数 学思维能力、培养良好心理素质的重要手段.”正因 为如此,解题在数学教学中具有重要的地位.而剖析 易错题的错因,对于培养学生的思维品质、提高解题 能力具有十分重要的意义.本文选取平时练习中一 些常见的易错题进行分析,供大家学习时参考. 1 缺乏整体思想导致解题策略性错误 例1已 +羔=5,求1 赋 的值 Y 一a 十 剖析:多数学生在面对该题时因缺乏整体思想, 无从下手而导致丢分事实上可根据题目所给条件 得到2 +Y=5xy,而待求式也含有2 +Y与 的式 子,所以可将 +Y=5xy整体代人.本题体现了数 学中的“整体”思想在解题中的应用. 2思维不周密导致增解 例2已知关于 的方程一-兰 =2一 有一 一J .)一 个正数解,求m的取值范围. 剖析:“关于 的方程”意味着 为未知数,其余 的字母均可视为常数.用解分式方程的常规方法得 出 的值并不困难,但多数学生因考虑不全面而忽 视 =3既是方程的正数解同时还是原方程的增根, 从而扩大字母m的取值范围而出错. 例3若( + +2)( + 一1)=o,则 + =. 一错解:由题意 +), +2=0或 +y 一1=O,故 +),2=一2或1. 剖析:由于 +,,2必定是非负数,故解出的 + =一2的答案应舍去由此想到,解题时不仅要思维严 密,还要养成良好的解题习惯一做完题要检查 3思维定势导致漏解 例4直角三角形的两条边长分别为3和4,求 = =5,所以第三边长为5. 剖析:这里受勾股定理中常见的勾股数3,4,5 思维定势的干扰,把3,4作为直角边,实际上4也可 以作为斜边,即: (1)当3,4分别为直角边时,第三边即斜边 为5; (2)当3为直角边,4为斜边时,第三边是另一 直角边为 . 所以这个三角形的第三边长为5或 . 例5已知△ABC中,AB=17,AC=10,高AD= 8,求 c. 错解:如图,在 ^ 中,由勾股定理得,BD= l5,在AACD中,由勾股定 理得,CD=6,从而得到 BC=15+6=21. 剖析:本题没有提供图形,要求学生自己画图. 由于思维定势,学生拿到题目多数会画出右上图的 锐角三角形,这就局限了本题的解题思维,从而导致 漏解.实际上,如果画出的是钝角三角形,同样符合 题目的条件,也可求出BC的值.所以本题答案应该 是2l或9. 4概念不清,画蛇添足 例6分解因式:( +4) +( +4)( 一8). 错解:( +4) +( +4)( 一8) =( +4)( +4+ 一8) =( +4)(2 一4) =2( +4)( 一2) =2 +4 一16. 剖析:分解因式是将一个多项式化为几个整式 的积的形式,题中2(x+4)( -2)已是最后结果,再 将结果展开明显属于画蛇添足,没有把握因式分解 概念的本质. ・81・ 《数学之友》 2013年第8期 5顾此失彼,漏洞百出 侈4 7分解因式一2口+8口 6—8ab . 错解:一2a。+8azb一8ab =2a(一。 +4 一46 ). 6忽视边角分类 ,造成漏解甚至错误 : : . .例9 已知等腰三角形一腰上的中线把该三角 形的周长分为15和l8两部分,求这个等腰三角形 的腰长和底边长. 剖析:分解因式时,如果第一项出现负号,一般 的解题习惯是将负号提出来.本题由于没有将负号 提出,出现了分解不彻底的错误. 正解:一2。。+8a b一8ab =一2a(a 一4ab+ 46 ):一2a(a一2b) . 例8 n,b,c在数轴上的位置如图所示,化 简ln l一、//(a+c) +√(c一0) 一6. c 0 a b f{【 号_+姜。 解 ’=l8 解得£{ 一:;: ’故这个等 C‘ 错解:原式=口一(口+c)+(c—a)一6 =a—a—c+c—a—b=一a—b. 剖析:本题的解答过程暴露出学生对数轴上用 字母表示的数的大小关系模糊,对绝对值的意义混 淆不清,不能正确去掉绝对值符号而导致出错. 正解:原式=口+(a+c)一(c~a)一b :a+a+c—c+a—b=5a—b. { ’解 rtx,=三912. 这样,这个等腰三角形的 2.3挖掘潜智 (上接第8O页) 2.2克服疲劳 由于大量的题目与频繁的考试,同学们会因智力 疲劳产生“厌战”情绪,这是不奇怪的,此时,若仍然一 味地钻研“工程浩大”的大题,则收效甚微.而适当配 以客观题,则可调节学习状态,缓解智力疲劳. 挖掘潜藏的智能是数学学习的一项重要目标, 而处理客观题在这方面有着奇特的功效.客观题之 “小”,必须在短时间内用巧妙的方法获得,而不能 “大动干戈”. 例4设集合A={1,2,3,4,5},B={6,7,8}, 例3椭圆的离心率为 ,A是其左顶点,F 若从集合A到集合曰的映射,满足 1) ——2)≤厂 是其右焦点,日是其短轴的一个顶点,则/_ABF的大 小是 . (3) 4) 5),则这样的映射有个. 分析:不难发现:将集合A的5个元素“分配” 给集合B的3个元素,也就好比将l,2,3,4,5五个 . 分析:文字简炼,信息少,不会对同学们的心理 造成压力,同学们也有精力去战胜它.  ̄数装到标号分别为6,7,8的三个筐中,每个筐可装 0到5个数.筐可装0到5个数筐6中的数小于筐 7中的小于筐8中的,于是只要确定筐6,7,8中数 的个数,就能确定筐6,7;8中的数.那么也就相当于 t]n得 2- = ,,则可设n2=2,c2= 3一 ,那么b = 一1.不妨设B是上顶点,则A = (a,b),BF=(c,一6),所以AB・BF=(a,6)・(c,一 将数5分成三个非负整数的和,于是问题转化为求 方程 +Y+z=5的非负整数解的组数.再将方程变 为(戈卡1).+(y 1)+(z专11)=8,则又转化为求方 程S+t+lr=8- 的正整数解的组数.相当于在一排8 6):ac~b :√6—2 一 +1=0,故/_ABF= "17. 点评:离心率是一个十分活跃的“角色” 它与 向量的数量积结合,在这里演绎了一出引人入胜、精 个1形成的7个空档中任意插人2块隔板,则有C; =21的插法,帮这样的映射有21个. 彩绝伦的“好戏”,对于学生智力疲劳的消除有着良 好的效果. ・在处理大问题辅以客观题,可以让学生在忙碌紧 张的学习中有些许缓冲,有利于提高高考复习效率 82・