九年级数学一次函数人教版知识精讲

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

一次函数

二. 重点、难点：

1. 一次函数的概念：

（1）理解一次函数概念的关键是对其定义的理解。由定义可知：

(1)它的解析式是ykxb y是x的一次函数(2)其中，k、b是常数，且k0要证明y是x的一次函数，就需要证明：它的解析式可写成y＝kx＋b的形式，而且k、b一定是常数，且k≠0，这两个内容缺一不可。

（2）对正比例函数定义的理解还须加上b＝0的条件。 （3）一次函数与正比例函数的关系如下：

一次函数y＝kx＋b（k≠0），当b＝0时，y＝kx是正比例函数。 当b≠0时，y＝kx＋b不是正比例函数。

因此，如果y是x的正比例函数，则y一定是x的一次函数，反之则不一定成立。 2. 一次函数的图象：

一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象都是一条与坐标轴斜交的直线。因此，只需求出直线y＝kx＋b上的两点，就可得到它。

一般，作正比例函数y＝kx的图象常取点（0，0）和（1，k）；

b，0两点，这两 作一次函数y＝kx＋b（b0）的图象常取（0，b）和k点是直线与坐标轴的交点。

3. 参数k、b的意义和对一次函数y＝kx＋b的图象和性质的影响。

（1）k0直线ykxb由左向右是上升的，函数y随x的增大而增大。 k0直线ykxb由左向右是下降的，函数y随x的增大而减小。

因此，k的符号与直线的方向、函数的增减性是相互决定的。 （2）b是一次函数y＝kx＋b中当x＝0时所对应的函数值，因此直线y＝kx＋b与y轴交于点（0，b），说明b是直线y＝kx＋b在y轴上的截距。因此，b的符号和直线与y轴交点位置是相互对应的。

（3）k、b的符号对直线位置的影响：

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word y yO xO x k>0 , b>0图象过一、二、三象限 k>0 , b<0图象过一、三、四象限 y yO xO x k<0 , b>0图象过一、二、四象限 k<0 , b<0图象过二、三、四象限

讨论k、b符号与直线y＝kx＋b在坐标系中的位置要注意用k、b的意义去解决，不必死记对应的结论。

（4）已知两直线：yk1xb1k10和yk2xb2k20，且b1b2。

则k1k2l1//l2

4. 一次函数y＝kx＋b有两个参数，因此只要有两个条件就可以求出它的解析式，这就是待定系数法。 5. 一次函数y＝kx＋b（k≠0）和二元一次方程Ax＋By＝C之间在A≠0且B≠0的条件下是可以互相转化的。

即：Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0）

yACxA0，B0 BB2 / 12

word 由此可知，在直角坐标系，一次函数的图象所对应的直线，同时也对应于一个二元一次方程。因此两条直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的交点坐标也就 yk1xb1是相应的二元一次方程组的解。yk2xb2

【典型例题】

m22m2已知函数ym1x是正比例函数，求函数的解析式。 例1.

m10解：根据题意，得：2

m2m21m1 m1，或m3m3

解析式为：y4x

例2. 证明：点（4，-7），点（-1，8），点（2，-1）在同一条直线上。 证明：设过点（-1，8）和点（2，-1）的直线的解析式为y＝kx＋b

8k1b则

12kbkb8即 2kb1k3

b5函数解析式为：y3x5 当x4时，y3457

点4，7在点1，8和点2，1所确定的直线上 点4，7，点1，8，点2，1在同一条直线上

例3. 已知一次函数y2m3x4n满足下列条件，分别求出字母m、n的 取值X围。

（1）使得y随x的减小而增大；

（2）使得函数图像与y轴交点在x轴下方； （3）使函数经过第二、三、四象限。 解：（1）∵y随x的减小而增大 2m30

m3 23当m时，y随x的减小而增大

2（2）∵函数图象与y轴的交点在x轴下方

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word n44n0，3

2m30m23n4，m

23当m，n4时，函数图象与y轴交点在x轴下方

2（3）∵函数图象经过二、三、四象限

m32m30，2

4n0n43当m，n4时，函数图象经过二、三、四象限

2 yO x

例4. 已知直线l经过两直线y=-x+2和y=2x+5的交点，且在y轴上的截距为-1，求此直线l的解析式。

分析：求两直线的交点，即求两个函数解析式组成的二元一次方程组的解即可。 解：设直线l的解析式为y＝kx＋b

yx2x1解方程组，得：

y3y2x5∴（-1，3）为两直线交点

∴y＝kx＋b过（-1，3）点，且在y轴上的截距为-1

3kbk4，

b1b1即：直线l的解析式为y4x1

例5. 一次函数y＝kx＋b在y轴上交于（0，4）点，图象与坐标轴围成的三角形面积为4，求函数解析式，并画出示意图。

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word 解：∵函数y＝kx＋b在y轴上交于（0，4）点，∴b＝4 即y＝kx＋4

4，0点 ykx4交x轴于k∵图象与坐标轴围成的三角形面积为4

1444 2k42

kk2

所求函数解析式为：y2x4或y2x4

y4B(0,4) A2 A1O x

注意：已知图象与坐标轴围成的三角形的面积，求函数解析式时，一般要在底边或高所表示的线段上加绝对值，求出的解有可能是2个解。

例6. 图象分析：

（1）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系表示为（）

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word h20h20h20h20 0A4t 0B4t 0C4t 0D4t

解法一：函数的定义域为0≤t≤4，应排除D。

蜡烛的高度随燃烧时间的增加而降低，曲线应向右下伸展，只有B符合要求。 解法二：根据题意可得函数解析式为：h＝20－5t（0≤t≤5） 只有B满足此解析式。

（2）骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。在课堂上，请学生画出自行车行进路程s（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图。同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（） ssss 0At 0Bt 0Ct 0Dt

解：答案选择C

因为最初匀速行驶，图象是正比例函数图象的一部分，中间耽误了几分钟，在图象上表现为中间一段平行于t轴的线段，说明时间在流逝，而路程没有增加，后来加速，仍保持匀速行进，说明单位时间内路程比修车前已有所增加，所以选择C。

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word

（3）一游泳池长90米，甲、乙二人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒，图中的实线和虚线分别为甲、乙与游泳池一边的距离随游泳时间变化的图象，若不计转向时间，则从开始起到3分钟止他们相遇的次数为（） 距离(米)90时间 0306090120150180(秒) A. 2次 B. 3次 C. 4次 解：答案选择D，相遇了5次。

因为图象中实线与虚线有5个交点，而每一个交点的坐标都说明在同一时刻甲、乙两人离开游泳池某一端的距离相同，也就是说两人相遇了一次，所以从图象中看，是相遇了5次。

（4）幸福村村办工厂今年前五个月每个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的函数图像如图所示，该厂对这种产品来说是（）

A. 1月至3月每月生产总量逐月增加；4，5两月每月生产总量逐月减少 B. 1月至3月每月生产总量逐月增加；4，5两月每月生产总量与3月持平 C. 1月至3月每月生产总量逐月增加；4，5两月均停止生产 D. 1月至3月每月生产总量不变；4，5两月均停止生产

D. 5次

c/件PQ012345t/月7 / 12

word

解：选B c/件c3c2c1012345t/月PQ

分析：如上图，由图象分析知：c3＞c2＞c1

∴1月至3月生产总量逐月增加，而4、5两月与3月持平

若把原题中的“每个月”三字去掉，c就表示前5个月的生产总量。

这时答案应该选择c，即1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产。 因为线段OP所在直线为ckt，0t3

则c1k，c22k，c33k

∴1月至3月每月生产总量不变

又∵c4＝c3，c5＝c3，c又表示前5个月的生产总量 ∴4、5两月均停止生产

正确进行图象分析的关键是要清楚自变量的取值X围和函数所代表的实际意义。

例7. 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法。（1）买一只茶壶赠送一只茶杯；（2）按总价的90%付款。某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）。若以购买茶杯数为x（只），付款数为y（元），试分别建立两种优惠办法中y与x间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法中哪一种更省钱？

解：y14205x4，即y1605x(x4且xN)

y290%4205x，即y24.5x72(x4且xN) 若y1y2，则605x4.5x72，x24 若y1y2，则605x4.5x72，x24 若y1y2，则605x4.5x72，x24 当4x24时，第一种方案省钱 当x24时，两种方案花钱相同 当x24时，第二种方案省钱

此题还可以画出函数图象，利用图象比较省钱的方案。

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word 例8. 在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典的抗生素。据临床观察，如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间性t（小时）之间的关系近似的满足如图所示的折线。

（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值X围；

（2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制病情最有效。如果病人按规定的剂量注射药液后，那么这一次注射的药液经多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间多长？

（3）假如某病人第一次注射药液时间是早晨6:00，问如何安排从6:00—20:00注射时间，才能使治疗效果最好？ y(微克)6t(小时)0110t

60t(0t1)解：（1）y2 20t(1t10)33（2）当0≤t≤1时，令y＝4，则6t＝4

t220当1t10时，令y4，则t4

33210t4，4（小时）

33210注射药液小时后开始有效，有效时间长为小时

33（3）第一次注射药液的时间是6:00

设第二次注射药液的时间是在第一次注射药液t1小时后

2 3220则t14，t14（小时）

33∴第二次注射药液的时间是10:00

设第三次注射时间是在第一次注射药液t2小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的

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word 含量与第二次注射药液的含药量之和

220220t2(t24)4

3333解得：t29（小时）

∴第三次注射药液的时间是15:00

设第四次的注射药液时间是在注射药液t3小时后，此时体内不再含第一次注射药液的药量，体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和。

220220t4t94 3333331t313（小时）

2∴第四注射药液的时间是19:30

∴科学的注射时间应安排为6:00，10:00，15:00，19:30，才能使治疗效果最好。

【总结】

例6、例7、例8都是一次函数的应用，用函数解决实际问题的关键是善于将千变万化的实际问题抽象出函数的基本模型，善于把实际问题中的已知条件转化为函数中的变量之间的关系，从而用函数的图象和性质解决问题。

【模拟试题】

一. 选择题。

1. 下列说法不正确的是（）

A. 解析法、列表法、图象法都可以表示函数关系 B. 点m，m1在函数yx1的图象上 C. 若点Pa，4在函数yx的图象上，则a2

2 D. 函数yx的图象是一条直线 2. 如图，线段AB的函数解析式为（） y2A1B0123x

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word 32x2 B. yx2 2322 C. yx2(0x3) D. yx2(0x3)

332aa5 3. 已知ya2a2x是一次函数，则它的图象经过（）

A. y A. 一、二、三象限 C. 一、二、四象限

B. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限

4. 若ab0，bc0，则函数y A. 一、三、四象限 C. 二、三、四象限

二. 填空题。

acx的图像经过（） bbB. 一、二、三象限 D. 一、二、四象限

1. 若k、b是一元二次方程xpx1910的两个实数根，在一次函数ykxb中，y随x的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第_______象限。 2. 一次函数ymx4m1的图像在一、二、三象限，那么m的取值X围是________。 3. 一次函数ykxb的图像经过点（m，1）和（-1，m），其中m>1，则k、b应满足___________。

4. 直线ykxb与直线y34x平行且与直线y2x1相交，交点在y轴上，则此直线解析式为__________。

三. 解答题。

1. 已知两点A（0，2），B（4，1），点P是x轴上的一点，求AP＋PB的最小值，并求P点坐标。

2. 正比例函数ykx，当x增加3时，y减少5，求此函数的解析式。

3. k取什么整数时，直线y3xk2与直线yx2k的交点在第二象限？ 4. 已知点A（-3，4），B（2，3），C（0，-4），求ABC的面积。

5. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产AB两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。 （1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来；

（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

试题答案 一. 选择题。 1. C 2. D 二. 填空题。 1. 一、三象限

3. B

4. C

2 3. k0，b0 三. 解答题。

1 44. y4x2

2. 0m11 / 12

word ，0 1. PAPB的最小值为5，P 2. y 3. 0，1 4. SABC835x 337 2 5.解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品50x件 （1）根据题意，得：

9x450x360 3x1050x290x32，30x32

x30xN，x30，或x31，或x32

x30x31x32有，，三种方案

y20y19y18（2）设生产甲种产品x件，则y700x120050x 即y500x600x30，31，32

k5000，y随x的减小而增大 ∴当x30时，y最大50030600

即y最大45000（元）

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