2011年高考数学试题分类解析(十)--圆锥曲线与方程

ＮＯ．７—８　２０１１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｍａｔｈｅｍａ＇ｔｉｃｓ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　２０１　１年第７—８期　摘要：“圆锥曲线方程”是解析几何的重点内容，在历年的　题知识点分布合理，难度适中，无偏题、怪题，运算量较往年　高考试题中都占有极大的比重．２０１１年的高考试题，圆锥曲线　有所减少，侧重于学生继续学习所应具备的数学素养和学习潜能．　的内容在试题的设计来源、设问形式、解题方法和新课程理念　２．注重通法，重点知识常考常新　“注重通性通法，淡化特殊技巧”是数学　托纲》中坚持的　了这个指导思想，考查学生对基本思想方法（如数形结合思想、　符合度方面都有着鲜明的特色．研究的目的是通过对典型例题的　的重点与疑难点，纠正解题中的易错点，增加高考的得分点．　关键词：圆锥曲线方程；试题特点；命题趋势；数形结合　剖析，揭示高考试题的命题规律与趋势，从而进一步把握复习　命题思路，历年高考试卷都体现了这个指导思想．２０１　１年延续　函数与方程思想、分类讨论思想等）的考查，要求学生不仅仅　有知识的积累，更要有解题方法的归纳，掌握常见的解题方法，　解析几何是中学数学的重点内容，它的本质是用代数的知　并能研究通性通法，体会其中所蕴含的数学思想方法．其中涉及　识和方法系统地研究几何问题，通过数形结合的思想建立起代　比较多的内容和方法有以下三个方面．　数与几何的联系，推动代数与几何的共同发展．中学阶段的解析　（１）圆锥曲线的定义、标准方程及简单几何性质的应用，是　几何主要是圆锥曲线的知识，这类问题涉及的知识面广、综合　圆锥曲线的基础内容，在２０１１年高考各地的试卷中都有这方面　性强、创新能力高，充分体现了中学数学的各种思想方法，成　内容的考查．重在考查基础知识、基本方法，多以选择题、填空　为历年来高考命题的热点和重点．　２０１　１年高考圆锥曲线知识在命题上继承了前几年高考命题　题为主，为中档题目．　（２）求曲线方程的问题，所涉及的求解方法有定义法、轨迹　的特点，稳步推进，继承了注重考查基础知识、基本技能和基　法、待定系数法等，是高考中的常规题型，解题的关键是数形　本方法的特点，多角度、多层次地考查了学生的数学素养和学　结合，建立起各变量间的等量关系．　习潜能，题型和背景都是学生常见的．同时，２０１１年高考命题　（３）用坐标法解决简单的直线与圆锥曲线的位置关系等问　立意上加强了对知识本质和数学思想的考查，试题命题上更注　题．以直线与圆锥曲线的位置关系问题为载体，与函数、三角函　重学生创新能力的培养．在这块内容的命题上，虽然是“年年题　数、向量、立体几何等章节的内容相结合，集中体现解析几何　相似”，但也有“岁岁题不同”，主要体现在“在平稳中谋变化，　的基本思想和方法，体现学科间知识的横向联系．　在继承中求创新”的命题思路和特点．　一３．彰显本质，注重思想方法考查　、试题特点　对运算量的要求较前几年相比有所降低，彰显数形结合思　１．难度稳定，知识点分布合理　想、坐标法思想和向量方法的考查，体现了学科知识的本质．其　２０１１年各省市的圆锥曲线内容以１道选择题、１道填空题　中，数形结合思想和坐标法思想是统领全局的，曲线与方程的　和１道解答题居多，分值在２０～２７分之间，考查的知识点约为　关系是讨论各种解析几何问题的基础，因此高考的命题立意上　２０个，体现了圆锥曲线知识在整个中学学习中的重要地位．试　也突出了坐标法思想的核心地位，强调了数形结合思想．　收稿日期：２０１１－０７—０５　作者简介：陈发志（１９８２一），男，浙江温州人，中学一级教师，主要从事中学数学学科的教学与研究　７９　４．纵横联系。设计知识交会题　点的坐标，然后计算其投影坐标进行求解，过程不免繁琐．考查　圆锥曲线结合了函数、向量、不等式、三角函数和几何知　知识发生发展过程理解的试题，如福建卷理科第７题的讨论圆　识，是考查学生的综合运用能力的重要载体．向量具有代数与几　锥曲线离心率、广东卷理科第１９题的求圆心轨迹方程问题，集　何的双重身份，因此解析几何与平面向量的交会整合是２０１　１年　中体现理解了知识的本质有助于避免繁琐的运算过程，切实做　高考命题的一个热点，如安徽卷理科的第２１题、大纲全国卷理　到减负高效．　科的第２１题和浙江卷理科的第ｌ７题等；涉及圆锥曲线的弦长、　三角形面积的最值（定值）问题，常常可以转化为求函数的最　２．试题源于教材活于教材　回归课本，夯实基础，并非老生常谈．　际　》指出“教材　值（定值）问题，因此三角函数、导数、不等式等知识为这类　是实现课程目标、实施教学的重要资源”，高中阶段的教学，要　问题的解决提供了新视角．这类问题在２０１１年高考中也得到体　用好教材、用活教材．２０１１年高考试题中出现了一些来源于教　现，如北京卷理科的第１９题、广东卷理科的第１９题、湖南卷　材但经过适当改变、拓展、提升的试题．　文科的第２ｌ题等．　二、亮点扫描　１．注重知识发生的本源　例２　（湖北卷－理２０）平面内与两定点Ａ．－ａ，０），Ａ　（ｎ，０）　（ａ＞Ｏ）连线的斜率之积等于非零常数ｍ的点的轨迹，加上Ａ．、　Ａ　两点所成的曲线ｃ可以是圆、椭圆或双曲线．　认识和理解知识发生的本源，有助于知识体系的合理建构，　（１）求曲线ｃ的方程，并讨论ｃ的形状与ｍ值的关系；　（２）略．　《普通高中数学课程标准（实验）》　（以下简称《标准》）提到教　师在整合教材的过程中要“体现知识的发生发展过程，促进学　现了一些注重知识发生本源探究的问题．　例１　（湖北卷・理１４）如图１。　分析：该问题的第（１）问所给的动点满足到两个定点的斜率　生的自主探索”．２０１　１年的高考试题命题中也紧扣这一理念，出　乘积为定值，给出该点的轨迹可以为圆、椭圆或者双曲线的结　论．这样的问题在选修２－１或选修１—１的教材上都能找到原型：　“设点Ａ、曰的坐标分别是（一５，０），（５，０），直线ＡＭ、ＢＭ相交　直角坐标系ｘＯｙ所在的平面为　，直　角坐标系　Ｏｙ　（其中ｙ　轴与ｙ轴重　合）所在的平面为口，ＬｘＯｘ　＝４５。．　于点Ｍ，且它们的斜率之积是一　，求点Ｍ的轨迹．”　该考题源于此例题，不仅仅考虑乘积为负数的情况，并推　广到斜率之积为正数的情况，通过斜率之积的不同取值范围确　定不同的曲线类型．　图１　（１）已知平面口内有一点　Ｐ，（２、／　，２），则点Ｐ　在平面　内的　射影Ｐ的坐标为　；　解：（１）设动点为　，其坐标为　，ｙ）．　当　≠±０　寸，　（２）已知平面／３内的曲线ｃ　的方程是（　一、／　）　＋２　一２＝０，　则曲线ｃ　在平面　内的射影Ｃ的方程是　．　分析：如何得到圆锥曲线？新课程从知识发生的本源来认　由条件可得ｋ　．・ｋ　＝—上一・—Ｌ—＝＿＿Ｅ下＝ｍ，　一一ａ－　ａ　十ａ　目ｐ僦　一　：ｍａ２（　≠±０）．　识这个问题，教材在章头引言上提出圆锥曲线可以用一个平面　截圆锥而得到，通过改变平面与圆锥轴线的夹角得到圆、椭圆、　双曲线、抛物线，同时也提到椭圆可由圆经过投影而得到．　又因为Ａ　（一ａ，０），Ａ　（０，０）的坐标满足ｍｘ　一　＝ｍａ２，　所以曲线Ｃ的方程为ｍｘ，　一ｙ２＝ｍａ２．　当ｍ＜一１时，ｃ是焦点在ｙ轴上的椭圆；　当ｍ＝一１时，ｃ是圆心在原点的圆；　当一１＜ｍ＜０时，ｃ是焦点在　轴上的椭圆；　本题的命题立意正是基于此，通过二面角模型建立了平面　上的曲线与其在另一个平面上的射影的关系，考查求点轨迹中　“相关点法”的运用，并且注重知识发生的逆向思维，将椭圆投　影到一个平面中得到了圆．　当ｍ＞０时，ｃ是焦点在　轴上的双曲线．　【点评】在圆锥曲线的学习过程中，在掌握椭圆和双曲线的　第一定义、第二定义的基础上，还应揭示第三定义（斜率乘积　解：（１）过点Ｐ，作Ｙ轴的垂线，垂足为Ｍ，连接　，　可知ＭＰ＝　ＣＯＳ４５。＝２，ＭＯ＝２，　所以点Ｐ的坐标为（２，２）．　为定值），这样对圆锥曲线概念的比较、应用、解释就能环环相　扣，形成严密的知识脉络和体系．试题来源于教材的还有福建卷　文科第１８题的直线与抛物线相切问题，湖南卷文科第２１题、　点较简单，教材起到了引入知识背景的作用，解题的过程需进　行拓展提升．　３．凸显文理教学要求差异　（２）可知椭圆按题意进行投影得到的曲线为圆，　则由椭圆中心（、厂　，０）投影到平面Ｏ／内得到的点（圆心）　陕西卷理科第２题的求抛物线方程问题等，这些问题思维切入　坐标为（１，０），且圆的半径为椭圆短半轴长１，　可求出圆的方程为（　一１）　＋　＝１，　即曲线ｃ的方程为（　一１）　＋Ｙ　１．　【点评】本题若按常规的“相关点法”，通过设Ｃ　内任意一　针对文理科学生学习基础、水平上的差异，２０１１年数学命　８０　题凸显了文理科试卷的差异．在各地的试卷中，完全相同的试题　解得　３＝孕，　只有８组，姊妹题（背景或设问方式相似度较高）只有３组　（四川卷文科第２ｌ题和理科第２１题、浙江卷理科第２ｌ题和文　科第２２题、重庆卷理科第２０题和文科第２１题），这样的试题　Ｐ的坐标为（　、／孕，丁２３），　设置，无疑体现了　；诈　中“高中数学课程应具有多样性与　＃．ＺＰＪ，Ａ￣ｚ的方程为ｙ＝±　＋４．　选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展”的理念．　。　例４（浙江卷・文２２）如图３，设Ｐ是抛物线Ｃ　：　：Ｙ上　例３　（浙江卷・理２１）如图２，　的动点．过点Ｐ作圆Ｃ２：　＋（Ｙ＋３）　：１的两条切线，交直线Ｚ：　已知抛物线Ｃｌ：　＝Ｙ，圆Ｃ２：　＋　）Ｉ　Ｙ＝一３于Ａ、Ｂ两点．　’　（Ｙ一４）ｚ＝１的圆心在点Ｍ．　（１）求　的圆心Ｍ到抛物线Ｃ。　（１）求点　到抛物线Ｃ　的准线的　准线的距离．　距离；　（２）是否存在点Ｐ，使线段ＡＢ被　，　（２）已知点Ｐ是抛物线Ｃ　上一点　抛物线Ｃ　在点Ｐ处的切线平分？若存　（异于原点），过点Ｐ作圆　的两条切　Ｄ　在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请　线，交抛物线ｃ。于Ａ、日两点，若过　Ａ　图２　说明理由．　Ｍ、Ｐ两点的直线ｚ垂直于ＡＢ，求直　／　一／４曰　分析：本题与理科的类似，仍然　线Ｚ的方程．　图３　是给出并设好三个动点，所涉及的关　分析：第（２）问给出了三个动点，多动点一般是采用“设而　系为直线与圆相切、直线与抛物线相切、直线平分线段，思路　不求”，设点Ｐ（ｘ。，　５），Ａ（　。，　｝），Ｂ（ｘ　，　；）．直线与圆相切，考　仍为通过方程组求出点的坐标．　虑圆心到直线的距离等于半径，故要设切线的方程．最后通过两　解：（１）因为抛物线Ｃ　的准线方程为Ｙ＝一　１，　直线垂直列出方程，从而表示出点Ｐ的坐标，进而求出直线方　程．以上都是通性通法，在运算量上也秉持解析几何问题的一贯　特点——过程复杂但可整体代换．　所以圆心Ｍ到抛物线ＣＩ准线的距离为１一　１一（－３）Ｉ＝孚．　（２）设点Ｐ的坐标为（‰，　ｊ）．　解：（１）由题意可知，抛物线的准线方程为Ｙ＝一｝，　再设ｃ。在Ｐ处的切线交直线ｚ于点Ｄ，　、　、Ｄ的横坐标　所以圆心Ｍ（Ｏ，４）到准线的距离是　．　为，“，　曰，　Ｄ，　斗　过点Ｐ（　５）的抛物线ｃ　的切线方程为　（２）设Ｐ（ｘ。，　），Ａ（　。，　｝），Ｂ（ｘ：，　；），　Ｙ—　５＝２‰ｘ—　０）①．　则由题意得　０≠Ｏ，ｘｏ＃±１，　ｌ≠　２．　设过点Ｐ的圆ｃ２的切线方程为Ｙ—　３＝　（　一‰），　检验当　。＝１￣ｘｏ＝－ｌ时，　。＝一ｌ，　＋　：一吉或百２，　即Ｙ＝ｋｘ—ｋｘ０＋　５（　，　％Ａ＋ｘｎ≠２ｘＤ，　可知　：１，　故　３—１≠０．　Ｖ１＋ｋ　设切线　、　｝的斜率为ｋ　，ｋ　，　即（　５—１）　＋２ｘ０（４一　）ｋ＋（　３—４）　一１＝０．　．　贝０ＰＡ：ｙ一　ｊ＝ｋｌ　ｘ—　０）②，　设ＰＡ、ＰＢ的斜率为ｋ　，ｋ２　。＃ｋＯ，　ＰＢ：Ｙ一　＝ｋ２（　—　０）③．　则ｋ　、ｋ　是上述方程的两根，　联立直线Ｚ的方程，知　所　＝　（　３—４）２—１　一１　２；ｏ：牲２Ｘ（２７０≠０）；ＸＡ：　。一华；　：　。一掣　ｏ　１　将①代人Ｙ＝　得　一ｋｘ＋ｋｘ０一　５＝０，　（ｋｌ、ｋ２≠０），　由于　。是此方程的根，　故　ｌ＝ｋＩ一　０，　２＝ｋ２一　ｏ，　得　＋‰＝２ｘ。一（　＋３）（　＋　）．　所以　＝要三　：ｔ—　＇　　＋　ｚ＝　－＋　ｚ—　。＝　Ｘ５　１一　　一　。，　又因为ｋ。、　：符合上　：１，上　垒　：ｌ，　、／．ｊ｝｛＋１　、／　；＋１　｜ｉ｝　：盟、所以ｋＩ、ｋ２是方程（　ｊ一１）ｋ　一２（ｘ　＋３）ｘｏｋ＋（　；＋３）　一１＝０　．　Ｘ，ｏ　的两个不相等的根。　，　由ＭＰＩＡＢ，得　｜ｊ｝　・｜ｊ｝　＝ｆ　一　。］（ｘ￣　－　４，）＝一１，　所以ｋｔ＋．ｊ｝　＝　，　，．Ｊ｝：：（３＋　）２—１　一　１　ｊ一１　因为翰＋２７Ｂ＝２ｘｏ，　８１　所以２ｘ。＿（３＋　）（　＋丢）＝譬，　即１＋　１　２　，横坐标不变而得到；椭圆Ｃ２可由圆Ｃ上的点的纵坐标　：　ＸＯ　．　变为原来的　Ｘ／３　，横坐标不变而得到．由此不难直接求出　即黯＝　１，　，　ｌＢＣ　Ｉ与ＩＡＤ　Ｉ的比值．　解：（１）由Ｃ。、Ｃ２的离心率都为　，得　：　设椭圆Ｃ。的长半轴长为。，　则椭圆Ｃ。可由圆Ｃ（方程为　＋ｙ２＝ａ２）上点的纵坐标变为　原来的　，横坐标不变而得到；椭圆Ｃ２可由圆ｃ上点的纵　解得　＝８，‰＝±　．　所以存在点　±　存在着差异．　，２、／　）满足题意．　【点评】从该组姊妹题可以看出文理科试卷在以下几个方面　（１）题面形式的差异．文科为开放性的设问方式，理科为直　接求解的设问方式，形式上有所差别，但本质都为求解点Ｐ的　坐标变为原来的—　：，横坐标不变而得到．　Ｘ／３　坐标．　所以设直线Ｚ与圆Ｃ交点的纵坐标为ｙｏ，　（２）考查内容上的差异．两者都要求通过设点、运用直线与　圆相切的知识，但文科侧重线段中点坐标公式的应用，理科侧　重直线垂直斜率之积为一１的运用．　则Ｉ曰ｃ　Ｉ＝２×　／＿＿３　，Ｉ　Ｄ　Ｉ＝２×—　：ｙ０，　‘　、／３　＿＿．３　—　一（３）试题分布位置的差异．由于文科是压轴题，理科是倒数　第二题，所以两者在解题方法和运算量方面都有着差别，文理　Ｙｏ　科难度方面的差异在这块内容上并未得到明显的体现．相反，综　观本题，文科的运算量和转化能力、分类讨论能力的某些方面　要求更甚于理科．　【点评】关键点是认识圆是如何经过坐标变化而得到椭圆，　其原型是人教Ａ版（（普通高中课程标准实验教科书・数学（选修　２－１）》上第４１页的例２．本题要求学生能创新地应用例题蕴含　的原理进行解题，考查学生对数学知识创造性应用的能力．相同　命题立意的题目如上海卷理科第２３题，给出了全新的知识背　景，要求学生能运用所学知识来求解，形式新颖，但命题立意　（４）数学思想方面的差异．文科的试题相比较而言，要求学　生考虑问题更为细致和全面，能对ＸＯ的取值进行分类讨论；理　科对‰的取值范围能根据题意直接得出，分类讨论的思想方法，　文科在这方面的考查更为细致．　４．突出创新应用能力的培养　仍紧扣　准》．　中提到“高中数学课程应促进学生逐步形成和发展　数学应用意识”，圆锥曲线的基本内容都有着其知识背景，体现　数学的应用价值，２０１１年高考数学试题在命题过程中突出体现　了这一点，很多问题的常规解法可能很繁琐，如果能联系其知　三、典例分析　１．性质问题　圆锥曲线的性质能直观地反映出曲线方程的内在规律，一　直是高考命题的热点．此类问题难度不大，注重考查基础知识和　基本技能，解题较容易找到突破口．在这当中以考查圆锥曲线的　识背景，考虑其实际应用，往往能带来意想不到的收获．　例５　（辽宁卷・理２０）如图４，　～　离心率较常见．２０１　１年各地共有１４道试题涉及离心率，客观题　ｆ　已知椭圆ｃ　的中心在原点０，长轴　左、右端点Ｍ，Ⅳ＿在　轴上，椭圆　的短轴为ＭＮ，且ｃ。、ｃ２的离心率都　为ｅ，直线ｆ上ＭＮ，ｚ与Ｃ。交于两点，　和主观题都有出现．　例６　（重庆卷・文９）设双曲线的左准线与两条渐近线交于　＼　Ｄ　ｃ　～　Ａ、曰两点，左焦点在以ＡＢ为直径的圆内，则该双曲线的离心　率的取值范围为（　）．　与　交于两点，这四点按纵坐标从大　（Ａ）（０，、／　）　到小依次为Ａ，Ｂ，ｃ，Ｄ．　。　。　（ｃ）（　，－）　（Ｂ）（１，、／　）　（Ｄ）（、／　，＋。。）　０　（１）设ｅ＝　１，求Ｉ丑ｃ　Ｉ与ｌＡＤ　Ｉ　上　图４　分析：求圆锥曲线的离心率的范围就是求　的取值情况，　的比值；　（２）略．　可通过一个关于０、６、ｃ的方程（不等式）而得到比值情况，　分析：本题是同离心率的两椭圆交织的模型，思维的关键　所以本题的求解关键就在于如何列出方程（不等式），根据左焦　　点是椭圆是如何由圆上的点经过点坐标变换而得到的．由离心率　点在以ＡＢ为直径的圆内，得到左焦点到圆心的距离小于半径．为　１，可知椭圆ｃ　可由圆ｃ上的点的纵坐标变为原来的　解：设双曲线的方程为　一鲁＝１　＞０，ｂ＞０），　８２　可得点Ａ、Ｂ的坐标为ｆ一　，±生１．　所以ｌＡＢ　ｌ＝、／丽　—　Ｉ　［６　４Ｍｍ：　４（４ｋ　Ｚｍ２－　４）　＝　因为直径ＩＡＢ　Ｉ：　，　左焦点到　中点的距离为Ｊｌ　一　＋　Ｉ　ｌ：　，Ｃ　　一４、／　Ｉｍ　Ｉ　ｍ０＋３　‘　所以　＜一ａｂ由于当ｍ＝±１时，１ＡＢ　Ｉ＝、／丁，　，　所以ｌＡＢ　Ｉ：　，ｍ　（一∞，一１］ｕ［１，＋　）．　得ｂ＜０，即　：１＋　＜２，　因为　４Ｖ３－　离心率的取值范围为（１，、／　）．　故答案选Ｂ．　Ｉｍ　ｌ　疑难点：本题在求解过程中，存在的困难点有以下三个方　当ｍ＝±　一时，ｌＡＢ　Ｉ＝２，即ｌＡＢ　ｌ最大值为２．　面．（１）不能将“左焦点在以ＡＢ为直径的圆内”转化为“焦点　疑难点：本题在求解的过程中，学生一方面对直线与圆相　到圆心距离和半径的大小关系”，缺少将几何问题代数化的能力．　切的关系把握不准，容易出错；另一方面缺少运用韦达定理简　（２）不能将所给的关于ａ、ｂ大小关系的不等式转化为ａ、ｃ的大　化计算的意识，运算能力的缺失也是学生中普遍存在的问题．　小关系．（３）忽略了双曲线的离心率必须大于１．　３．定值问题　２．最值问题　在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相　圆锥曲线的最值问题，涉及较多的题型是弦长最值（北京　关变元的制约而是恒定不变的，称该几何量具有定值特征，这　卷理科第１９题）、点到直线距离的最值（新课程全国卷理科第　类问题称为定值问题．这类问题是中学数学的重要问题，是高考　２０题）、两点间距离最值（上海卷文科第２２题）等．求弦长最　命题的一个重点，它涉及面广、综合性强，极易成为失分题．　值问题的关键是利用公式将弦长用某个变量进行表示，通过基　例８（四川卷・文２１）如图５，　本不等式、导数等工具来求最值，这也是解析几何求最值问题　过点ｃ（０，１）的椭圆等＋　＝１（０＞　Ｃｒ　Ｄ。　中的基本方法．　Ｃ　ｂ＞０）的离心率为　，椭圆与　例７（北京卷・理ｌ　９）已知椭圆Ｇ：筝＋　＝１，过点　，０）作　轴交于两点Ａ（ａ，０），曰（一ｏ，０），　一　圆　ｚ＋　＝１的切线ｚ交椭圆Ｇ于Ａ、曰两点．　过点Ｃ的直线ｆ与椭圆交于另一点　（１）略；　ｆ＼　Ｄ，并与　轴交于点Ｐ，直线Ａｃ　（２）将１ＡＢ　Ｉ表示为ｍ的函数，并求ｌＡＢ　ｌ的最大值．　与直线ＢＤ交于点Ｑ．　图５　分析：本题为求直线被椭圆所截得的弦长问题，通过直线　（１）略；　与圆相切得到直线的斜率与ｍ之间的关系，从而将弦长关于ｍ　‘　（２）当点Ｐ异于点Ｂ时，求证：　于・　为定值．　的函数关系式表示出来，进而转化为求函数的最值．　分析：证明ｏ－ｏ－ｌｆ・　为定值，就是求解出ｏ－ｌｆ・　的数值　解：（１）略．　（２）由题意知，ｌｍ　Ｉ≥１．　是与直线ＣＤ的斜率无关的常数，所以解决的关键要表示￣ｏ－－ｌｆ－　当ｍ＝１时，切线ｚ的方程　＝１，点Ａ、Ｂ的坐标分别为　和　．　解：（１）略．　（ｔ，孚），（　，～孚），　（２）当直线ｌ与　轴垂直时与题意不符．　此时ＩＡＢ　ｌ：、／　，　设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１（ｋ＃Ｏ且Ｊ｝≠　１），　当ｍ＝一１时，同理可得ｌＡＢ　Ｉ＝、／丁．　代入椭圆方程得（４ｋ２＋１　２＋８ｋ　：０．　当Ｊｍ　Ｉ＞１时，设切线ｚ的方程为Ｙ＝　（　—ｍ），Ａ、Ｂ的坐　解得　ｏ，　，　标为（　Ｙ　），（孙ｙ２）．　联立椭圆方程与切线方程得　代人直线ｚ的方程得ｙ　＝１，ｙ２＝　号竿，　（１＋４　）　—８ｋ２ｍｘ＋４．ｊ｝２ｍ　一４＝０．　所　＝　铲　，　所以Ｄ点的坐标为（　，　卑竿）．　又由ｚ与圆　＋　：１相切，得—　：ｌ，　又因为直线Ａｃ的方程为争＋Ｙ＝１，直线ＢＤ的方程为　＝　Ｖｋ　＋ｌ　即ｍ２ｋ　＝ｋ２＋１。　（　＋２），　８３　Ｓ　Ｈ　Ｉ　Ｔ　Ｉ　ＹＡ　Ｎ　Ｊ　ｌ　Ｕ～＼　　联立得ｆ　一舭，　故所求点Ｐ的轨迹方程为Ｙ＝２ｘ一１．　ｔｙ＝２ｋ＋１．　疑难点：学生在求解过程中遇到多个动点（点Ａ、Ｂ、Ｐ、　因此Ｑ点的坐标为（一４　，２　＋１）．　Ｍ、Ｑ），多个变量关系，无法理清其主要关系，导致设了很多个　１　又因为Ｐ点的坐标为ｆ．－｝，０），　变量，带来了繁杂的运算过程．学生或者直接设点Ｐ的坐标，找　出了点尸坐标的含变量Ａ的参数方程，在消参方面遇到了困难．　所以　・　：（一｝，０）・（一４ｋ，２ｋ＋１）＝４．　５．向量与解析几何结合的问题　￣ｏ－－ｌｆ・　为定值．　向量具有代数与几何形式的双重身份，它是架起数与形关　疑难点：本题的解题过程中最大的困惑是如何设点，若选　系的桥梁，成为中学数学知识的一个交会点，因此两者的融合　择将点Ｐ的横坐标作为自变量来求解，导致解答过程繁难，点　交会是高考命题改革的方向和创新的趋势．各省市出现向量背景　Ｄ和直线ＢＤ的方程较复杂，运算量过大，解题半途而废．　的圆锥曲线问题共有１４道，约占２０％，尤其是在客观题的命题　４．轨迹问题　上更是注重引入向量知识起到简化运算过程的作用．　求轨迹方程问题是圆锥曲线的基本问题，常见的解决方法　例１０　（浙＂Ｌｒ－卷。理１７）设　、　分别为椭圆筝＋　＝１的　有定义法、待定系数法、参数法、相关点转移法等．考查的题型　左、右焦点，点４、曰在椭圆上，若　＝５　，则点Ａ的坐　一般分为已知形状求轨迹方程（如北京卷文科第１９题、陕西卷　文科第１７题）和未知形状求轨迹方程（如广东卷理科第１９题　标是．　————和湖南卷文科第１９题），其中未知形状的问题关键是如何理清　分析：本题的关键是井艮据　＝２５　转化为１－｝＝２５（１一手），　题中所给的纷繁复杂的变量关系，建立各变量间的关系，通过　通过整体消去求出　。、　的值．　整体代人达到消参的目的．　解：可知　（一、／　，０），　（、／　，０）．　例９（安徽卷・理２１）如图６，　设点Ａ（　Ｙ。），Ｂ（　，　设Ａ＞０，点Ａ的坐标为（１，１），点　～　一Ｑ　曰在抛物线Ｙ＝　ｚ上运动，点Ｑ满足　则　＝（　。＋　，ｙ。），　＝（　一　，ｙ２）．　由　：５　知　＝５（矿　），　＝Ａ　，经过点Ｑ与　轴垂直　哆　Ｉ　一的直线交抛物线于点Ｍ，点Ｐ满足　ｌ　Ｄ　Ｐ　　４１　［Ｙｌ＝５ｙ２，　＋　＝１上，知　＝ａＭ－ｌｆ－，求点Ｐ的轨迹方程．　图６　又由点Ａ、Ｂ在椭圆　分析：本题给出多个动点，用向量关系来建立起这些动点　的关系．其中主动点为Ｂ，点Ｐ为所求点．本题的关键是通过一　＝１一警一：２５ｙ１＿２５（１－芋）＇　系列关系建立起点Ｐ的坐标和点Ｂ的坐标之间的关系，通过点　ｌ　一５ｘ：＝一６　，　曰的坐标的方程求出点Ｐ的左边符合的方程．　所以得１　！：２４，　解：由耐＝ａＭ－ｌｆ－￣Ｑ，Ｍ，Ｐ三点在同一条垂直于　轴的　直线上，　得５　：＋　ｌ＝　：６　，　６、／２　故可设ｐ（ｘ，　，Ｑ（ｘ，ｙＯ，Ｍ（ｘ，ｘ２），　所以　Ｉ＝０，Ｙｌ＝±ｌ，　则　一ｙｏ＝Ａ（ｙ一　），　所以点Ａ的坐标为（０，±１）．　贝４　Ｙｏ＝（１＋Ａ）　一Ａｙ　ｑ）．　疑难点：本题难点在于四个变量关系的理清，如何由　Ｙ。　设　（　ｙ。），由　＝Ａ　，　即（　—　１，Ｙｏ—Ｙ１）＝Ａ（１一　，１一ｙｏ），　和　、Ｙ　满足方程筝＋　＝１得到５ｘ：＋　ｌ＝６、／芝一．这也是本题　解得｛ｌ＝‘　Ａｈ一Ａ’②　的难点，分析产生难点的原因，在于学生对多变量的问题总是　ｙ　＝１　＋Ａ）ｙｏ－Ａ．觉得无从下手，缺少了根据圆锥曲线方程的特点进行整体代换　将①式代入②式，消去Ｙ。，得　的意识．　Ｉ‘　Ａ）　一　ｙｌ＝（１＋Ａ）　一Ａ（１＋Ａ），　、　Ｙ—Ａ，一　③　四、总结提升　１．命题趋势　又因为点曰在抛物线Ｙ＝　上，　圆锥曲线内容作为解析几何的核心内容，高考对本章知识　所以，，。＝　ｉ，再将③式代入Ｙ　＝　，得　的考查将继续延续前几年的命题思路和指导思想，在题型、题　２Ａ（１＋Ａ）　—Ａ（１＋Ａ）Ｙ—Ａ（１＋Ａ）＝０，　量、分值、难度、考查思想方法等方面不会有大的变化，总体　因为Ａ＞０，两边同除以Ａ（１＋　），得２ｘ—Ｙ一１＝０．　趋势是“稳中求变、稳中求新”．　８４　在知识点的考查方面，以下的几个内容要引起关注．　（１）知识整合程度将越来越高．　的基本元素和简单的几何性质；给出曲线满足的条件，判断　（或求）其轨迹；给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨　知识点单一的问题将被多个知识点交会而成的试题所取代，　论与其有联系的有关问题（如直线的方程、弦长、曲线中参数　尤其是在填空题和选择题上更有这个趋势．２０１　１年高考近百道　的取值范围等）；讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；考查圆　圆锥曲线试题中，单纯考查一个知识点的试题不足ｌ０道，这在　锥曲线与其他知识（如函数、数列、不等式、三角函数、向量、　一定程度上体现了高考注重在知识网络的交会处设计试题的命　导数等）的综合．其中难点是直线与曲线的位置关系，以及圆锥　曲线与其他知识的综合问题．　重点内容应该重点突破，整理归纳出重点内容的一般求解　（２）直线与圆锥曲线的位置关系的问题仍将是命题热点．　题方式．　同时求曲线方程、求弦长、求面积、求最值、证明某种关　策略．直线与圆锥曲线的位置关系问题，其基本策略是，将其转　系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性　化为直线与圆锥曲线的方程组解的问题，进而转化为一元二次　讨论等问题也是常见题型．另外，由于导数这个工具的介入，切　方程的实根问题，判别式、韦达定理、弦长公式的应用，设而　线问题将更多地引入到综合性的问题中．　（３）圆锥曲线试题在试卷分布有位置前倾的趋势．　加强在基本概念、基本方法、基本技能方面的考查．对于圆　不求、整体代换、数形结合的思想方法在这里有着重要的作用．　（３）强化运算，淡化技巧．　在几何问题代数化的过程中，必然会带来繁杂的运算，中　算能力，就不能将思路转化为解决过程．强化运算，也包括了运　算求简意识的培养，突出“设而不求”、“整体代换消去”的特　在运算求简的过程中，常见的方法有：回归定义，以简驭　避免）计算；利用韦达定理化繁为简；选用方程适当形式，减　锥曲线的定义、基本性质等基础知识考查的方式更为灵活，试　学阶段对运算能力的要求集中体现在这里．因此如果不能强化运　题的命题也更为新颖．　（４）与平面向量的关系将进一步密切．　圆锥曲线的问题将越来越多借助向量的“外衣”而出现．平　点，帮助学生在学习过程中存在重思路方法、轻运算的观念．　面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者　题的特点，也是今后高考命题的一个方向．　多有结合，在它们的知识点交会处命题，这既是２０１１年高考命　繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化（或　在数学素养和能力的考查方面，将延续重点考查数形结合、　少运算量．这些方法可以结合具体的问题在平时的教学中进行渗　函数与方程等基本数学思想，同时学生基本的运算能力的考查　透，而不必去过分追求技巧．　也是命题立意所考虑的．　２．教学启示　（４）训练思维，提升方法．　高考试题侧重于考查知识的综合灵活运用，着眼于知识点　圆锥曲线的内容一直是中学数学学习的重点和难点，其知　新颖巧妙的组合，试题新而不偏，活而不过难，着眼于对数学　识点繁多，运算能力、综合性都要求很高，分析以上高考命题　思想方法、数学能力的考查，要求以数学思想指导知识、方法　的特点和趋势，可以尝试在平时的教学和学习中注意以下几个　的运用，整体把握各部分知识的内在联系．因此在学生的学习过　方面．　程中要看清知识发生的本源，看透知识的形成过程、推广过程　（１）夯实基础，回归课本．　“发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查中学的基础知识、　和运用过程，让学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感　如讨论直线和圆锥曲线的位置关系的两种基本方法：一是　（（考试大纲的说明》明确指出高考数学命题的指导思想是　受、领会、形成、运用内在的思想方法．　基本技能的掌握程度，要考查对数学思想方法和数学本质的理　把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是　解水平．”因此，高考数学命题不会脱离教学的实际情况，不会　从几何图形上观察直线和圆锥曲线交点的情况．通过方法的提　脱离数学课本，２０１　１年的高考命题更是在多个方面贯彻了这个　升，揭示内在的数学思想方法，利用数形结合的思想方法，将　指导思想．　使得学生对于数形结合思想的理解更透彻和深刻．在基础知识的　夯实基础，回归课本，要求对课本中的圆锥曲线的定义、　复习中，要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴含的丰富　基本性质（范围、对称性、准线方程、离心率等）理解透彻，　的数学思想方法．　要求回到课本中去，回到基础中去，引导学生理清知识发生的　参考文献：　本源，帮助学生搭建高中数学基础知识的网络．注重常规问题的　基本解法，抓住通性通法．高考试题很多是源于课本的例题、习　［１］景芳，张金良．２０１０年高考数学试题（新课程卷）分　类解析（十）：圆锥曲线与方程［Ｊ］．中国数学教育（高　中版），２０１０（７，８）：６６—７２．　题，因此，对于课本上的例题、习题，我们应通过充分挖掘、　延伸、变式，落实对知识点的深刻理解，起到举一反三的作用．　（２）突破重点，解决难点．　［２］梁蝉，张金良．２００９年高考数学试题分类解析（十　三）：圆锥曲线与方程［Ｊ］．中国数学教育（高中版），　２００９（９）：２２—３０．　圆锥曲线的重点内容有：根据给出的曲线方程，讨论曲线　８５