2015 2014 1 2013 1 x2012 1 bex1【2014新课标I版(理)21】(12分)设函数f(x)aelnx,曲线yf(x)在点
x(1,f(1))处的切线方程为ye(x1)2.
(I)求a,b;
(II)证明:f(x)1.
【答案】(Ⅰ)a=1,b=2 (Ⅱ)见下面
abb(I)函数f(x)的定义域为(0,+),f'(x)aex1nxex2ex1ex1.xxx……5分 由题意可得f(1)2,f'(1)e.故a1,b2.22(II)由(I)知f(x)ex1nex1,从而f(x)1等价于x1nxxex.xe
设函数g(x)x1nx,则g'(x)1nx.11所以当x(0,)时,g'(x)0;当x(,)时,g'(x)0.
ee11故g(x)在(0,)单调递减,在(,)单调递增,从而g(x)在(0,)的最小值为ee11g()=-.ee……8分
2设函数h(x)xex,则h'(x)ex(1x).e所以当x(0,1)时h'(x)0;当x(1,)时,h'(x)0.故h(x)在(0,1)单调递增,1在(1,+)单调递减,从而h(x)在(0,)的最大值为h(1).e综上,当x0时,g(x)h(x),即f(x)1.……12分
【2013新课标I版(理)21】(本小题满分12分)设函数f(x)=x+ax+b,g(x)=e(cx+
2
x1 / 13
word d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值X围. 【答案】
(1)由已知得f(0)2,g(0)2,f(0)4,g(0)4.
11而 f1(x)2xa,g1(x)e1(exdc),故
b2,d2,a4,dc4 从而a4,b2,c2,d2
(2)令F(x)kg(x)f(x),则F(x)(ke1)(2x4),由题设可得F(0)0,故k1,
'令F(x)0得x1lnk,x22,
'x2(1)若1ke,则2k0,从而当x(2,x1)时,F(x)0,当x(x1,)时
'F'(x)0,即
F(x)学科,网,在
(2,)上最小值为
F(x1)2x12x124x12x1(x12)0,此时f(x)≤kg(x)恒成立;
2(2)若ke,F(x)(e'x21)(2x4)0,学科,网,故F(x)在(2,)上单调递
增,因为F(x)0所以f(x)≤kg(x)恒成立 (3)若ke,则F(2)2ke2220,故f(x)≤kg(x)不恒成立;
2综上所述k的取值X围为1,e.
【2012新课标I版(理)21】已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)e(1)求f(x)的解析式及单调区间; (2)若f(x)≥【答案】
(1)f(x)f(1)ex1x-1
-f(0)x+
12
x. 212
x+ax+b,求(a+1)b的最大值. 21f(0)xx2f(x)f(1)ex1f(0)x
2 令x1得:f(0)1
2 / 13
word 1f(x)f(1)ex1xx2f(0)f(1)e11f(1)e
212xx 得:f(x)exxg(x)f(x)e1x
2
g(x)ex10yg(x)在xR上单调递增
f(x)0f(0)x0,f(x)0f(0)x0
得:f(x)的解析式为f(x)exx12x 2 且单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,0) (2)f(x)12xaxbh(x)ex(a1)xb0得h(x)ex(a1) 2①当a10时,h(x)0yh(x)在xR上单调递增
x时,h(x)与h(x)0矛盾
②当a10时,h(x)0xln(a1),h(x)0xln(a1) 得:当xln(a1)时,h(x)min(a1)(a1)ln(a1)b0
(a1)b(a1)2(a1)2ln(a1)(a10)
令F(x)xxlnx(x0);则F(x)x(12lnx)
22F(x)00xe,F(x)0xe 当x 当ae时,F(x)maxe 2e 2e1,be时,(a1)b的最大值为
1 .(某某省正定中学2014届高三上学期第一次月考数学试题)设函数
fxxsinxcosx的图象在点t,ft处切线的斜率为k,则函数kgt的部
分图象为
3 / 13
word
【答案】B 2 .(某某省某某市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题)函数
f(x)2lnxx2bxa(b0,aR)在点b,f(b)处的切线斜率的最小值是
A.22 B.2
C.3 D.1
【答案】A 3 .(某某省馆陶中学2013-2014学年第一学期高三数学(理)9月检测卷)已知二次函数
yf(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为
A.
2π43π5 B.3 C.2 D.2
【答案】B
4 .(某某省正定中学2014届高三上学期第一次月考数学试题)函数
fxx33x29x3,若函数gxfxm在x2,5上有3个零点,则m的取值X围为 A.[1,8] B.(-24,1] C.[1,8) D.(-24,8) 【答案】C 5 .(某某省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知直线y=x+1与曲
线y=ln(x+a)相切,则a的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】选 B 6 .(某某省正定中学2014届高三上学期第一次月考数学试题)函数fxax33x1对
于x1,1,总有fx0成立,则a
4 / 13
) ) ) ) )(
(
( ( (
word
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 7.(某某省某某市八校联合体2014届高三上学期第一次月考数学(理科)试题)已知函数
(n>2且
最大值,则下述论断一定错误的是 )设
是函数
的零点的
( )
A.B.
C.
D._
【答案】D
8.(某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题)曲线yln(2x1)上
的点到直线2xy30的最短距离是 A.5 B.25 C.35
D.0
【答案】A
9.(某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题)求形如yf(x)g(x)的
函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得:lnyg(x)lnf(x),再两
边同时求导得
1yy'g'(x)lnf(x)g(x)1f(x)f'(x),于是得1到:y'f(x)[g'(x)lnf(x)g(x)1xf(x)f'(x)],运用此方法求得函数yx的一个单
调递增区间是 A.(e,4) B.(3,6) C.(0,e) D.(2,3) 【答案】C 10.(某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题)曲线
ysinx(0x)与直线y=12围成的封闭图形的面积为
A.3
B.2-3
C.2- D.3-33
【答案】D 11.(某某省某某中学2014届高三上学期一调考试数学(理)试题)设函数
f(x)x23x4,则yf(x1)的单调减区间
A.
(-4,1) B.(3,2) C.(3,)
D.(122,) 【答案】B
12.(某某省某某中学2014届高三上学期一调考试数学(理)试题)若函数
f(x)13|x3|a22x(3a)|x|b有六个不同的单调区间,则实数a的取值X围 5 / 13
)
) )
)
((((word 是___________ 【答案】(2,3)
13.(某某省某某中学2014届高三上学期一调考试数学(理)试题)若函数f(x)x3x对任意的m[2,2],f(mx2)f(x)0恒成立,则x_________. 【答案】(2,)
14.(某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数
323fxln1xsinx,则关于a的不等式fa2fa240的解集是1x________.
【答案】(3,2)
(某某省某某市2014届高中毕业班第一次调研)定义在R上的函数f(x),当x≠-2时,恒有(x+2)f(x)<0(其中f(x)是函数
f(x)的导数),又a=f(log13),b=f[()0.1],c=f(ln3),则
313 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 答案:D
(某某省某某市2014届高中毕业班第一次调研)已知函数f(x)=x3-tx2+3x,若对于任意的a,b∈[1,3]且a<b,函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则实数t的取值X围是 A.(-∞,3] B.(-∞,5] C.[3,+∞) D.[5,+∞) 答案:D
(某某省某某市2014届高三第一次调研)已知函数f(x)=
2+sinx,其导函数记为x2+1,
f(x)则f(2013)+f(2013)+f(-2013)-f(2013)=______________. 答案:2
(某某省某某市2014届高三第一次调研) 已知函数g(x)=
x,f(x)=g(x)-ax. lnx(Ⅰ)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,某某数a的最小值;
(Ⅲ)若存在x1,x2∈[e,e],(e=2.71828……是自然对数的底数)使f(x1)≤
2f(x2)+a,
6 / 13
word 某某数a的取值X围.
x0得, x0且x1,则函数gx的定义域为0,1lnx0lnx1且gx,令gx0,即lnx10,解得xe 2lnx 解:(1)由当0xe且x1时, gx0;当xe时gx0,
1,,
函数gx的减区间是0,1,1,e,增区间是e,………4分
(2) 由题意得,函数fxxax在1,上是减函数, lnxfx令hxlnx1lnx22在1,上恒成立, a0在1,上恒成立,即alnx12lnxlnx1lnx,x1,,因此ahxmax即可
21111,当且仅当11,即xe2时等号成立,由hx(1)21lnx2lnxlnxlnx244hxmax111,因此a,故a的最小值为………8分
4442(3)命题“若存在x1,x2e,e,使fx1fx2a,”等价于
2“当xe,e时,有fxminfxmaxa”,
11a,则fxmaxa, 4412fx故问题等价于:“当x时,有”, e,emin4lnx11lnx10,, ,由(2)知fxa22(lnx)4lnx2由(2)得,当xe,e时,fxmax122时,fx0在上恒成立,因此在 上为减函数,则e,ee,efx4e21112fxminfeae2,故a2,
2424e22(2)当a0时, fx0在上恒成立,因此在e,ee,efx 上为增函数,
(1) 当a则fxminfeeaee1,不合题意 421121111(3) 当0a时,由于fx()aa 4lnxlnxlnx242fe,fe2 ,即a,1a . 在 上为增函数,故 的值域为e,efx24,使fx0,且满足:
当xe,x时,fx0,fx减函数;当xx,e时,fx0,fx增函数;
由fx的单调性和值域知,存在唯一x0e,e02007 / 13
word x01ax0,x0e,e2, lnx0411111111所以,a与矛盾,不合题意. 0a22lnx04x0lne4e244411综上,得a2.……12分
24e所以,fxminfx0(某某省某某市2014届高中毕业班第一次调研) 已知函数f(x)=-x2+2lnx与g(x)=x+(Ⅰ)某某数a的值; (Ⅱ)若对于x1,x2∈[
围.
22(x+1)(x-1)
解:(Ⅰ)f′(x)=-2x+=-(x>0),
a有相同的极值点. x1f(x1)g(x2),3],不等式≤1恒成立,某某数k的取值X ek1xxf′(x)>0,
由得0<x<1; x>0,f′(x)<0,由得x>1. x>0,
∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴x=1是函数f(x)的极值点. ∵g(x)=x+,∴g′(x)=1-2,又∵函数f(x)与g(x)=x+有相同极值点, ∴x=1是函数g(x)的极值点,∴g′(1)=1-a=0,解得a=1. 经检验,当a=1时,函数g(x)取到极小值,符合题意.(5分) 11
(Ⅱ)∵f()=-2-2,f(1)=-1,f(3)=-9+2ln 3,
ee11
∵-9+2ln 3<-2-2<-1,即f(3)<f()<f(1),
ee
1
∴∀x1∈[,3],f(x1)min=f (3)=-9+2ln 3,f(x1)max=f(1)=-1.
e11
由Ⅰ知g(x)=x+,∴g′(x)=1-2.
axaxaxxx1
故g(x)在[,1)时,g′(x)<0;当x∈(1,3]时,g′(x)>0.
e
111
故g(x)在[,1)上为减函数,在(1,3]上为增函数.∵g()=e+,g(1)=2,g(3)=
eee1101101
3+=,而2<e+<,∴g(1)<g()<g(3). 33e3e
110∴∀x2∈[,3],g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)=.
e3
15.(某某省正定中学2014届高三上学期第一次月考数学试题)已知函数
8 / 13
word f(x)2lnxax2,g(x)x(1)讨论函数f(x)的极值;
e1,aR,(e为自然对数的底数). a2(2) 定义:若x0R,使得f(x0)x0成立,则称x0为函数yf(x)的一个不动点. 设h(x)f(x)g(x).当a0时,讨论函数h(x)是否存在不动点,若存在求出a的X围,
若不存在说明理由.
222ax2(x0) 【答案】(1) f(x)2axxx/①当a0时,f(x)20,f(x)在0,上为增函数,无极值; x②当a0时,f(x)>0恒成立,f(x)在0,上为增函数,无极值;
③当a0时, f(x)=0,得xX
1,列表如下: a1 a0 极大值
10, a
增
1 ,a 减
f(x) f(x)
当x11时,f(x)有极大值=f()lna1 aa1)lna1 a2综上,当a0时无极值,当a0时,f(x)有极大值=f((2)假设存在不动点,则方程h(x)x有解,即2lnxaxe10有解.设a2(x)2lnxax2由(1)可知(x)极大值于0,
设p(a)lnaA
e1,(a0) a2e1e1lna1lna,下面判断(x)极大值是否大
a2a2e11eea,(a>0),p(a)22,列表如下: a2aaa0,e)
增
9 / 13
e 0 极大值
(e,)
— 减
p(a)
P(a)
word 当ae时,p(a)极大值p(e)=5e10,所以p(a)lna0恒成立, 2a2即(x)极大值小于零,所以g(x)无不动点.
16.(某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数
f(x)ln(x1)k(x1)1. (1)当k1时,求函数f(x)的最大值;
(2)若函数f(x)没有零点,某某数k的取值X围;
【答案】解:(1)当k1时,f(x)2x x1f(x)定义域为(1,+),令f(x)0,得x2,
∵当x(1,2)时,f(x)0,当x(2,)时,f(x)0, ∴f(x)在(1,2)内是增函数,在(2,)上是减函数 ∴当x2时,f(x)取最大值f(2)0
(2)①当k0时,函数yln(x1)图象与函数yk(x1)1图象有公共点, ∴函数f(x)有零点,不合要求;
②当k0时,f(x)令f(x)0,得x11kkxkx1x1k(x1k)k x1k1k11,∵x(1,)时,f(x)0,x(1,)时,f(x)0,
kkk11∴f(x)在(1,1)内是增函数,在[1,)上是减函数,
kk1∴f(x)的最大值是f(1)lnk,
k∵函数f(x)没有零点,∴lnk0,k1,
因此,若函数f(x)没有零点,则实数k的取值X围k(1,)
17.(某某省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题)设f(x)axlnx, xg(x)x3x23.
(1)当a2时,求曲线yf(x)在x1处的切线的斜率;
(2)如果存在x1,x2[0,2],使得g(x1)g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数
M;
(3)如果对任意的s,t[,2],都有f(s)g(t)成立,某某数a的取值X围.
1210 / 13
word
【时,f(x)答案】(1)当a222xlnx,f'(x)2lnx1,f(1)2,f'(1)1, xx
所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为yx3; (2)存在
x1,x2[0,2],使得g(x1)g(x2)M成立 等价
于:[g(x1)g(x2)]maxM,
考察g(x)xx3,g'(x)3x2x3x(x),
32223x 2(0,) 3 递减 2 30 极(最)小值2 2(,2]3 递增 g'(x) g(x) 1 85 27
由上表可知:g(x)ming()2385,g(x)maxg(2)1, 27112, 277分
[g(x1)g(x2)]maxg(x)maxg(x)min所以满足条件的最大整数M4; (3)当x[,2]时,f(x)12axlnx1恒成立等价于axx2lnx恒成立, x11 / 13
word
18.(某某省某某中学2014届高三上学期一调考试数学(理)试题)已知函数
f(x)(ax2x1)ex,其中e是自然对数的底数,aR.
(1)若a1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若a0,求f(x)的单调区间;
(3)若a1,函数f(x)的图象与函数g(x)点,
某某数m的取值X围.
【答案】解:(1)因为f(x)(xx1)e,
x2x2x所以f(x)(2x1)e(xx1)e(x3x)e,
2x1312xxm的图象有3个不同的交32所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为kf(1)4e 又因为f(1)e,
所以所求切线方程为ye4e(x1),即4exy3e0
x2x2xf(x)(2ax1)e(axx1)e[ax(2a1)x]e(2),
12a1时,f(x)0; a0,当x0或x2a2a1当0x时,f(x)0.
a①若12 / 13
word 所以f(x)的单调递减区间为(,0],[单调递增区间为[0,2a1,); a2a1] a11②若a,f(x)x2ex0,所以f(x)的单调递减区间为(,).
222a11③若a,当x或x0时,f(x)0;
2a2a1当x0时,f(x)0.
a2a1所以f(x)的单调递减区间为(,],[0,);
a2a1单调递增区间为[,0]
a(3)由(2)知,f(x)(xx1)e在(,1]上单调递减,在[1,0]单调递增,在
2x[0,)上单调递减,
所以f(x)在x1处取得极小值f(1)由g(x)3,在x0处取得极大值f(0)1. e1312xxm,得g(x)x2x. 32当x1或x0时,g(x)0;当1x0时,g(x)0.
所以g(x)在(,1]上单调递增,在[1,0]单调递减,在[0,)上单调递增. 故g(x)在x1处取得极大值g(1)1m,在x0处取得极小值g(0)m. 6因为函数f(x)与函数g(x)的图象有3个不同的交点,
31f(1)g(1)31m所以,即e6. 所以m1
e6f(0)g(0)1m
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