《二次根式》知识点总结,题型分类,复习专用

《二次根式》题型分类

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义： 形如

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1）11,2)5,3)x22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1， 53其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、a B、10 C、a1 D、a21 222、在a、ab、x1、1x、3中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子举一反三：

1、使代数式

1有意义，则x的取值范围是 ． x3x3有意义的x的取值范围是（ ） x4

B、x≥3

C、 x>4

D 、x≥3且x≠4

A、x>3

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2、使代数式x22x1有意义的x的取值范围是

3、如果代数式m1mn有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y=x5+5x+2009，则x+y=

举一反三：

1、若x11x(xy)，则x－y的值为（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3

22、若x、y都是实数，且

y=2x332x4，求xy的值

已知a是5整数部分，b是 求a

若7-3的整数部分是a，小数部分是b，则

3、当a取什么值时，代数式2a11取值最小，并求出这个最小值。

5的小数部分，3ab 。

若217的整数部分为x，小数部分为y，求

1的值。 b2x2

1y的值.

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知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：a(a0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. (a)2aa(0)．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a)2(a0) 3.

a(a0) 注意：（1）字母不一定是正数． a2|a|a(a0)（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

a(a0) 4. 公式a与(a)2aa(0)的区别与联系 |a|a(a0)2 （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

a2b3c40，abc【例4】若则 ．

2举一反三：

21、若m3(n1)0，则mn的值为 。

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2、已知x,y为实数，且x13y20，则xy的值为（ ）

2 A．3 B．– 3 C．1 D．– 1

3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋4、若

y25y6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

2005ab1ab与a2b4互为相反数，则

_____________。

2 （公式(a)a(a0)的运用）

2【例5】 化简：a1(a3)的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

举一反三：

1、 在实数范围内分解因式:

x23= ；m44m24=

x49__________,x222x2__________

a(a0) （公式a2a的应用）

a(a0)【例6】已知x2,则化简x24x4的结果是

A、x2

B、x2

C、x2

D、2x

举一反三：

1、根式(3)2的值是( )

A．-3 B．3或-3 C．3 D．9

2a2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）

A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若2a3，则2a2a32等于（ ）

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A. 52a B. 12a C. 2a5 D. 2a1 4、若a－3＜0，则化简

a26a94a的结果是（ ）

(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a 5、化简4x4x122x3得（ ）

2（A） 2 （B）4x4 （C）－2 （D）4x4

a22a1a2a＝ ． 6、当a＜l且a≠0时，化简

114(a)24(a)2aa 7、已知a0，化简求值：

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+(ab)2 的结果

等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

baoa 2举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a1(a2)______．

1 0 1 2 【例8】化简1xx28x16的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）

（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1

举一反三：若代数式(2a)2(a4)2的值是常数2，则a的取值范围是（ ）

Ａ．a≥4

Ｂ．a≤2

Ｃ．2≤a≤4

Ｄ．a2或a4

【例9】如果aa22a11，那么a的取值范围是（ ）

A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

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举一反三：

1、如果aa26a93成立，那么实数a的取值范围是（ ）

A.a0B.a3;C.a3;D.a3

2、若(x3)2x30，则x的取值范围是（ ） （A）x3 （B）x3 （C）x3 （D）x3

【例10】化简二次根式aa2的结果是（ ） a2a2

（A）a2 (B)a2 (C)a2 (D)1、把二次根式a A.

1化简，正确的结果是（ ） aB. a

C. a

D.

a a

2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，

b1x＝ ；(a1)＝ 。 x1a知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】

【例11】在根式1)

a2b2;2)x;3)x2xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5 A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。

举一反三：

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11、45a,30,2,40b2,,17(a2b2)中的最简二次根式是 。

22、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A．7 B．3 C．1 D．2 ．．

23、下列根式不是最简二次根式的是( )

A.a21 B.2x1 C.2b D.0.1y 44、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

3ab222xy8xy 3ab2 (1) (2) (3) (4)ab(ab) (5)5 (6)

5、把下列各式化为最简二次根式：

(1)12 (2)45ab (3)

2x2yx

【例12】下列根式中能与3是合并的是( )

A.8 B.

27 C.25 D.

1 2举一反三：

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、3和18 B、3和1 C、a2b和ab2 D、a1和a1 323；③

2、在二次根式：①12；② 是 。

3、如果最简二次根式3a8与

2；④327中，能与3合并的二次根式

172a能够合并为一个二次根式, 则a=__________.

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

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2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用aaa来确定，如：a与a，ab与ab，ab与ab等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，

ab与ab，

axby与axby分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例13】 把下列各式分母有理化

（1）

1114313 （2） （3） （4） 2125504837【例14】把下列各式分母有理化

28a2（1） （2） （3）x3 （4）23bxab8xy2xb5 a5

【例15】把下列各式分母有理化：

（1）

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25333 （2） （3） 21533223

举一反三：

1、已知x

2、把下列各式分母有理化：

xy232322，y，求下列各式的值：（1）（2）x3xyy

xy2323abba2b2a2a2（1） （3） ab （2）22aba2a2bab

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①③

与

与

； ②

； ④

与

与

； ．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab=a·b（a≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a·b＝ab．（a≥0，b≥0）

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

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aa=（a≥0，b>0） bb4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

aa=（a≥0，b>0） bb注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】

【例16】化简

(1)916 (2)1681 (3)

5215 (4)9x2y2(x0,y0) (5)

1×623 2【例17】计算（1）

（2） （3） （4）

（5）

（6） （7） （8）

【例18】化简：

b239x5x(a0,b0)(x0,y0) (1) (2) (3) (4) (x0,y0) 222y169y9a

【例19】计算：(1)123111 (2) (3) （4） 2841638第10页—总14页

x【例20】能使等式x2xx2成立的的x的取值范围是（ ）

A、x2 B、x0 C、0x2 D、无解

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

【典型例题】

311127520.53【例20】计算（1）32； （2）10 20457245；22753

（3）32

111113213753463272848147 ； （4）8532347224x2y2abab【例21】 （1）3xy （2） xy4x4yabab第11页—总14页

a13aa113227aa3a108a （4）a（3）4b2bb 3a34a

（5）81a5aa

334a5 （6）xyaxyyxyx2 xy知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】

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1、

2233bab5(ab)3 2、 (212 +4b2a2

1

－3

8

48 )

13、

3

（-4xy·21y2）÷6xx2y 4、(72223)376

知识点八：根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法 当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。

22222、平方法 当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

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4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①ab0ab；②ab0ab

a1aba1ab8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b； ②b

【典型例题】

【例22】 比较35与53的大小。（用两种方法解答）

【例23】比较

【例24】比较1514与1413的大小。

【例25】比较76与65的大小。

【例26】比较73与873的大小

21与的大小。 3121第14页—总14页