圆锥曲线的性质对比与中点弦公式

圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线 标准方程 椭圆 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 范围 x∈[-a,a] y∈[-b,b] 双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R 对称性 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 准线 渐近线 x=±(a^2)/c —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0) 关于x轴对称 x∈[0,+∞) y∈R 抛物线 y^2=2px p>0 顶点 (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c y=±(b/a)x (p/2,0) x=-p/2 ————— 离心率 焦半径 e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣ ∣PF2∣=∣ex-a∣ p=(b^2)/c (2b^2)/a e=1 ∣PF∣=x+p/2 焦准距 通径 p=(b^2)/c (2b^2)/a p 2p 参数方程 x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 x=2pt^2 y=2pt,t为参数 y0·y=p(x+x0) 过圆锥曲线上一点 (x0,y0)的切线方程 斜率为k的切线方程

(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 中点弦公式

抛物线C：x^2=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。

中点弦存在的条件：2pβ＞α^2（点P在抛物线开口内）。 椭圆中点弦公式

椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。

中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。 双曲线中点弦公式

双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。

中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。