测量平差练习题及参考答案

1、如图，图中已知A、B两点坐标，C、D、E为待定点，观测了所有内角，试用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。

解：观测值个数 n=12，待定点个数t=3，多余观测个数r=n-2t=6

① 图形条件4个：

v1v2v3wa0v4v5v6wb0v7v8v9wc0v10v11v12wd0 v3v6v9we0wa(L1L2L3180)wb(L4L5L6180)wc(L7L8L9180)wd(L10L11L12180)we(L3L6L9360)

② 圆周条件1个：

③ 极条件1个：

cotL2v2cotL5v5cotL8v8cotL1v1cotL4v4cotL7v7wf0

sinL1sinL4sinL7wf(1)sinL2sinL5sinL8

3、如图所示水准网，A、B 、C三点为已知高程点， D、E为未知点，各观

测高差及路线长度如下表所列。

用间接平差法计算未知点D、E的高程平差值及其中误差；

Bh2h4h1C 高差观测值/m h1= h2= h3= h4= h5= h5=

3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4；

对应线路长度/km 1 1 HA= 1 HB= 1 CB= 1 1 已知点高程/m h3Eh5

Ah6Dˆ、Xˆ 选D、E平差值高程为未知参数X12则平差值方程为：

ˆXˆXˆh112ˆXˆHh22BˆXˆHh32A ˆˆh4X1HBˆXˆHh51AˆHXˆh6A1

则改正数方程式为：

ˆ1xˆ2l1v1xˆ2l2v2xˆ2l3v3x

ˆ1l4v4xˆ1l5v5xˆ1l6v6x0取参数近似值 X101HBh1h222.907、X2HBh224.255

令C=1，则观测值的权阵：

0111 P11010h1(X10X2)0l1110h2(X2HB)0l201h(X0H)l01102A  l3h(BX0d)3B0h4(X1HB)5l410l100h(XH)1A555l10h(HX0)76C16

ˆW0，并解法方程： 组法方程Nx417TNBPB13 WBPl10

TˆN1Wx13171 1114103求D、E平差值：

ˆXˆX0xˆ122.906mHC11

ˆXˆX0xˆH24.258mD2222）求改正数：

437ˆl vBx466则单位权中误差为：

vTpv162ˆ06.36mm

r4则平差后D、E高程的协因数阵为：

1QXˆXˆN131 1114根据协因数与方差的关系，则平差后D、E高程的中误差为：

ˆDˆ0Q11ˆEˆ0Q22

966mm3.32mm22 922mm3.84mm114、如图，在三角形ABC中，同精度观测了三个内角：L1600004，

L2700005，L3500007，按间接平差法列出误差方程式。

ˆ，ˆ、X解：必要观测数t=2，选取L1、L2的平差值为未知数X12并令X1L1、X2L2，

00则

ˆX0xLxX11111

0ˆXXxLx22222ˆL1v1X1ˆ L2v2X2ˆXˆL3v3180X12ˆLxv1X111ˆLxvX222ˆXˆLxx16v3180X123122

5、如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。

解：观测值个数n=8，待定点个数t=2，多余观测个数rn2t4 3个图形条件，1个极条件。

v1v2v3v4wa0v3v4v5v6wb0v5v6v7v8wc0wa(L1L2L3L4180)wb(L3L4L5L6180)wc(L5L6L7L8180)

cotL1v1cotL2v2cotL3v3cotL4v4cotL5v5cotL6v6cotL7v7cotL8v8wd0wsinL2sinL4sinL6sinL8d(1sinL)1sinL3sinL5sinL7

6、如下图所示，为未知P点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中

粗线），A、B为已知点。

1）试在误差曲线上作出平差后PA边的中误差，并说明； 2）试在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差，并说明；

3）若点P点位误差的极大值E＝5mm，极小值F＝2mm，且F52,试计算方位角为102º的PB边的中误差。

A

解：1）在误差曲线上作出平差后PA边的中误差；

连接PA并与误差曲线交点a，则Pa长度为平差后PA边的中误差

ˆPAPa 2）在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差；

作垂直与PA方向的垂线Pc，作垂直与Pc方向的垂线cb，且与误差椭圆相

切，垂足为c点，则Pc长度为平差后PA边的横向误差ˆuPA 则平差后PA方位角的中误差：

ˆPAˆuPASPAPc  SPA3）因为F52 则：E142

则：E10214240 所以：

22ˆˆE2cos2F2sin225*cos2(40)4*sin2(40) 16.323ˆˆ4.04mm 方位角为102º的PB边的中误差：证明题

如下图所示，A，B点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

Ah1Sh2B

证明：设水准路线全长为S，h1水准路线长度为T，则h2水准路线长度为S-T； 设每公里中误差为单位权中误差，则

h1的权为1/T，h2的权为1/(S-T)；则其权阵为：

01/TP01/(ST)

平差值条件方程式为：

ˆhˆHB0 HA+h12则 A=( 1 1 )

NAP1ATS

由平差值协因数阵：QLˆLˆT1QLQQANAQLLˆLˆLLLLQLLQLLATN1AQLL

则高差平差值的协因数阵为：

T(ST)11S11则平差后P点的高程为：

ˆhˆ HPHAh1HA101ˆh2则平差后P点的权倒数（协因数）为

T(ST) QPfQLLfTfQLLATN1AQLLfTS求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T求导令其等零，则

S2T0 T=S/2 S则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。

·已知某观测值X、Y的协因数阵如下，求X、Y的相关系数ρ。（10分）

0.360.15QXX0.150.25

xyxy02*Qxy(0*Qxx)*(0*Qyy)QxyQxxQyy0.15

0.36*0.250.5

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