2019年高考理科数学试卷(全国I卷)及答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合M{x|4x2}，N{x|x2x60}，则MN（A.{x|4x3}B.{x|4x2}C.{x|2x2}D.{x|2x3}

2.设复数z满足zi1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则（A.(x1)2y21B.(x1)2y21C.x2(y1)21D.x2(y1)21

3.已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（A.abcB.acbC.cabD.bca

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（）））51251

，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的0.618称为黄金分割比例）251

头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比2例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5.函数f(x)

sinxx

cosxx2在[,]的图像大致为（A.B.C.D.）6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量a,b满足a2b，且(ab)b，则a与

b的夹角为（A.6B.C.233D.561

8.右图是求2+

1的程序框图，图中空白框中应填入（）2+12A.A

12AB.A2

1

A

）12A1

D.A

12A

C.A1

9.记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40，a55，则（A.an2n5

B.an3n10

C.Sn2n28n

）D.Sn

12

n2n210.已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为（x2A.y212x2y2B.1

32x2y2C.143x2y2D.154）11.关于函数f(x)sinxsinx有下述四个结论：①f(x)是偶函数③f(x)在,有4个零点其中所有正确结论的编号是（A.①②④B.②④C.①④D.①③）②f(x)在区间(

,)单调递增2④f(x)的最大值为2

12.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为（A.86B.46C.26）D.6二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为14.记Sn为等比数列an的前n项和，若a1

..12

，a4a6，则S5315.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.x2y2

16.已知双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与C的abuuuruuuruuuruuurA,B两条渐近线分别交于两点.若F1AAB,F1BF2B0，则C的离心率为三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设sinBsinCsin2AsinBsinC.（1）求A；（2）若2ab2c，求sinC.18.如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14,AB2,BAD60，2

.E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.（1）证明：MN//平面C1DE；（2）求二面角AMA1N的正弦值.19.已知抛物线C:y23x的焦点为F，斜率为的交点为P.（1）若|AF||BF|4，求l的方程；（2）若AP3PB，求|AB|.3

的直线l与C的交点为A，B，与x轴220.已知函数f(x)sinxln(1x),f(x)为f(x)的导函数.证明：(1)f(x)在区间(1,

)存在唯一极大值点；2(2)f(x)有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1

(i1,2,,7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8．（i）证明：{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种实验方案的合理性．四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）1t2

x21t(t为参数).以坐标原点O为极22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

y4t1t2

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值.23.已知a,b,c为正数，且满足abc1，证明：（1）111

a2b2c2abc（2）(ab)3(bc)3(ca)324

2019年高考理科数学（全国I卷）参考答案选择题

1-5CCBBD6-12ABAABCD

121

13.y3x14.S515.0.18

317.解答：

2

16.2

（1）由sinBsinCsin2AsinBsinC得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC结合正弦定理得b2c2a2bc

b2c2a21

∴cosA=

2bc2又A(0,)，∴A=

.3（2）由2ab2c得2sinAsinB2sinC,∴2sinAsinAC2sinC∴

6sin(C)2sinC,23312sinCcosC222∴

2∴sin(C)

62又0C

2∴C3662又sin(C)0∴0C

6622

∴cosC，

62∴sinCsin(C18、解：

（1）连结M,E和B1,C，∵M,E分别是BB1和BC的中点，∴ME//B1C且

62)sinCcoscosCsin.

6666664ME

1

B1C，2又N是A1D，∴ME//DN，且MEDN，∴四边形MNDE是平行四边形，∴MN//DE，又DE平面C1DE，MN平面C1DE，∴MN//平面C1DE.

（2）以D为原点建立如图坐标系，由题D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，

M(1,3,2)uuuruuuuruuur

A1A(0,0,4)，A1M(1,3,2)，A1D(2,0,4)，设平面AA1M的法向量为uruur

DAMn1(x1,y1,z1)，平面1的法向量为n2(x2,y2,z2)，

uruuurur4z10n1A1A0由uruuuu得，令x13得n1(3,1,0)，r

x3y2z0111n1A1M0

uuruuuruur2x24z20n2A1D0由uu得，令x22得n2(2,0,1)，ruuuur

x23y22z20n2A1M0uruur

uruurn1n215cosn,nuruurAMA1N的正弦值为10.12∴，∴二面角5n1n2519.解答：设直线l的方程为y

3

xb，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，23

yxb

2（1）联立直线l与抛物线的方程：消去y化简整理得y23x

92914(33b)x(3b3)xb20，(3b3)24b20，b，x1x2，4429354(33b)5

，得依题意|AF||BF|4可知x1x24，即x1x2，故

2292737

b，满足0，故直线l的方程为yx，即8y12x70.

8283

yxb

2（2）联立方程组消去x化简整理得y22y2b0，48b0，y23xb

1

，y1y22，y1y22b，AP3PB，可知y13y2，则2y22，23

得y21，y13，故可知b满足0，

214413.|yy|1|31|122k931(1x)，

1x2|AB|1

20.解答：(1)对f(x)进行求导可得，f(x)cosx取g(x)cosx

11

，则g(x)sinx,

(1x)21x

1g(x)sinxg(0)1，x(1,)在内2为单调递减函数，且(1x)21

g()10

所以在x(0,1)内存在一个x0，使得g(x)0，所以在22(1)

2x(1,x0)内g(x)0，f(x)为增函数；在x(x0,)内g(x)0，f(x)为减

2函数，所以在f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；

2（2）由（1）可知当x(1,0)时，f(x)单调增，且f(0)0，可得f'x0则f(x)在此区间单调减；

当x(0,x0)时，f(x)单调增，且f(0)0，f(x)0则f(x)在此区间单调增；

又f(0)0则在x(1,x0)上f(x)有唯一零点x0.

当x(x0,)时，f(x)单调减，且f(x0)0,f()0，则存在唯一的x1(x0,)，

222使得f(x1)0，在x(x0,x1)时，f(x)0，f(x)单调增；当x(x1,)时，f(x)

2单调减，且f()1ln(1)1lne0，所以在x(x0,)上f(x)无零点；

222当x(,)时，ysinx单调减，yln(1x)单调减，则f(x)在x(,)上

22单调减,f()0ln(1)0,所以在x(,)上f(x)存在一个零点.

2当x(,)时，f(x)sinxln(1x)1ln(1)0恒成立，则f(x)在

x(,)上无零点.

综上可得，f(x)有且仅有2个零点.

21.解答：

（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1、0．

得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则P(X1)(1)；得1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则

P(X1)(1)；

得0分时是都治愈或都未治愈，则P(X0)(1)(1)．则X的分布列为：

（2）（i）因为0.5，0.8，

则aP(X1)0.4，bP(X0)0.5，cP(X1)0.1．可得pi0.4pi10.5pi0.1pi1，则0.5pi0.4pi10.1pi1，

pi1pi4，则0.4(pipi1)0.1(pi1pi)，则

pipi1

所以{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列．

（ii）{pi1pi}(i0,1,2,,7)的首项为p1p0p1，那么可得：

p8p7p147，p7p6p146，

………………

p2p1p14，

76

以上7个式子相加，得到p8p1p1(444)，

3148481

p则p8p1(1444)p1，p1，则1

4811436

7

23

再把后面三个式子相加，得p4p1p1(444)，

441441311

则p4p1(1444)．p184

3341412572

3

p4表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，

因为0.5，0.8，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而p4确非常小，说明这种实验方案是合理的．

y21t22tx122.(1)曲线C:由题意得x即，则，然后12222(x1)1t1t1ty2

代入即可得到x21(x¹-1)

41的257而直线l：将xcos,ysin代入即可得到2x3y110

（2）将曲线C化成参数方程形式为

2cos23sin114sin(6)11则d77所以当

3时，最小值为762111

23.（1）abc1，bcacab.

abcb2c2a2c2a2b2

由基本不等式可得：bc，,ac,ab

222111b2c2a2c2a2b2

于是得到a2b2c2.

abc222（2）由基本不等式得到：ab2ab(ab)8(ab)，

3

3

2bc2bc(bc)8(bc)，ca2ac(ca)38(ac)2.

3

323

于是得到

(ab)(bc)(ca)8[(ab)(bc)(ac)]83(ab)(bc)(ca)24

3

3

3

3232323323232