2022届高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2讲导数的简单应用作业试题2含解析新人教版
1.[2021贵阳市四校第二次联考]
图3-2-1
已知y=x·f'(x)的图象如图3-2-1所示,则f(x)的图象可能是 ( )
A B
C
D
2.[原创题]函数f(x)=(1x-1)ex+12
2
x的极值点的个数为 ( )
3.[2021安徽省示范高中联考]若函数f(x)=(x-1)ex-ax(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是( A.(-1
e,0) B.(-∞,0) C.(-1
e,+∞)
D.(0,+∞)
4.[2021蓉城名校联考]已知函数f(x)=e|x|-1),b=f(2),c=f(log20.2),则 ( )
A.c 5.[2021湖南六校联考]设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若f(x)+f'(x)<0,f(0)=1,则不等式f(x)>e-x的解集是 ( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.(0,1) 6.[2021四省八校联考]函数f(x)=x3-bx2+c,若f(1-x)+f(1+x)=2,则下列正确的是 ( ) A.f(ln 2)+f(ln 4)<2 B.f(-2)+f(5)<2 C.f(ln 2)+f(ln 3)<2 D.f(-1)+f(2)>2 7.[2020皖中名校联考]已知函数f(x)=(x2-mx-m)ex+2m(m>-2,e是自然对数的底数)有极小值0,则其极大值是( ) -2或(4+ln 2)e-2+2ln 2 -2或(4+ln 2)e2+2ln 2 -2或(4+ln 2)e-2-2ln 2 -2或(4+ln 2)e2-2ln 2 𝑎ln𝑥-𝑥2-2(𝑥>0), 8.[2021河南省名校第一次联考]若函数f(x)={的最大值为f(-1),则实数a的取值范围为 . 1 𝑥+𝑥+𝑎(𝑥<0)9.[2021广州市高三阶段模拟]已知函数f(x)= 1+ln𝑥𝑘𝑥-1 -𝑥. (1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,求整数k的最大值. 1 10.[2021大同市调研测试]设函数f(x)=ln x-2ax2-bx. (1)当a=b=2时,求函数f(x)的最大值; (2)当a=0,b=-1时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,求正数m的值. 1 11.[2021江苏省部分学校调考]定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f '(x),若对任意 x∈R,都有2f(x)+ xf '(x)<2,则使x2f(x)-f(1) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 图3-2-2 12.[2021济南名校联考]如图3-2-2,在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路 AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F,为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设∠EPA=α(0<α<2),为了节省建设成本,要使得 PE+PF的值最小,此时AE=( ) A.4 km B.6 km C.8 km D.10 km π 13.[多选题]已知f(x)=ex-2x2有且仅有两个极值点,分别为x1,x2(x1 11 ( ) 1+x2< 1+x2>4 4 C.f(x1)+f(x2)<0 D.f(x1)+f(x2)>0 𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) 𝑥-1 𝑓(𝑥)e𝑥 14.[多选题]已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1,其导函数 f'(x)满足>0,对于函数g(x)=,下列结论正确的 是 A.函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数 B.x=1是函数g(x)的极小值点 C.函数g(x)至多有两个零点 D.x≤0时,不等式f(x)≤ex恒成立 15.[2021洛阳市统考]已知函数f(x)=ln1 𝑥 -ax2+x(a>0). (1)讨论f(x)的单调性﹔ (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>3-2ln 2. 16.[2019全国卷Ⅰ,12分]已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f '(x)为f(x)的导数,证明: (1)f '(x)在区间(-1,π 2)上存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. 17.[新角度题]直线x=a(a>0)分别与直线y=2x+1,曲线y=x+ln x相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 C.√2 D.√3 ( ) ( ) 2 18.[2020惠州市二调][交汇题]设函数f(x)=√3sin,若存在f(x)的极值点x0满足𝑥0+[f(x0)]2 π𝑥 ( ) A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 19.[角度创新]已知函数f(x)=ax-ex+2,其中a≠0. (1)讨论f(x)的单调性. (2)是否存在a∈R,对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)+f(x2)=4成立?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 答 案 第二讲 导数的简单应用 1.D 由题图可知,当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当0 f'(x)<0,函数f(x)单调递减.又f'(b)=0,所以当x=b时,f(x)取得极大值,综上,满足题意的f(x)的图象可能是D. 12 12 12 12 2.A 由题意知f '(x)=ex+(x-1)ex+=[ex(x-1)+1].令g(x)=ex(x-1)+1,则g'(x)=ex(x-1)+ex=xex,令g'(x)=0,得x=0,则函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,由此可知f '(x)≥0,所以函数f(x)不存在极值点,故选A. 3.A 由题意得f'(x)=xex-a,因为函数f(x)=ex(x-1)-ax有两个极值点,所以f'(x)=0有两个不等的实根,即a=xex有两个不等的实根,所以直线y=a与y=xex的图象有两个不同的交点.令g(x)=xex,则g'(x)=ex(x+1).当x<-1时,g'(x)<0,当x>-1时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以当x=-1时,g(x)取得最小值,且最小值为-.易知当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0,则可得函数g(x)的大致图象,如图D 3-2-1所示,则- e 1 1 A. 图D 3-2-1 4.D 当x≥0时,f(x)=ex+cos x,则f '(x)=ex-sin x≥e0-sin x≥0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.又f(-x)= 103 e|-x|+cos(-x)=e|x|-1)=f(),b=f(2)< 1 10 f(20)=f(1),c=f(log20.2)=f(log25)=f(-log25)=f(log25),又1=log22 𝑓(1)=1,1−𝑏+𝑐=1, 6.A 解法一 f(1-x)+f(1+x)=2,分别令x=0,x=1(题眼),得{即{解得b=c=3,所以 𝑓(0)+𝑓(2)=2,𝑐+8−4𝑏+𝑐=2,f(x)=x3-3x2+3,f '(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f '(x)=0,得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时f '(x)>0,当0 10 C,2=f(ln 2)+f(2-ln 2)=f(ln 2)+f(ln2) e2 解法二 由f(1-x)+f(1+x)=2知函数f(x)图象的对称中心为(1,1)(题眼),又三次函数g(x)=ax3+dx2+ex+f(a≠0)图象的对称中心为(-,g(-)),所以=1,解得b=3,所以f()=f(1)=1,即1-3+c=1,得 c=3,所以f(x)=x3-3x2+3.以下同解法 3𝑎 3𝑎 3 3 𝑑 𝑑 𝑏 𝑏 一. 7.A 由题意知, f '(x)=[x2+(2-m)x-2m]ex=(x+2)(x-m)ex. 由f '(x)=0得x=-2或x=m.因为m>-2,所以函数f(x)在区间(-∞,-2)和(m,+∞)内单调递增,在区间(-2,m)内单调递减. 于是函数f(x)的极小值为f(m)=0,即(m2-m2-m)em+2m=0,(2-em)m=0,解得m=0或m=ln 2.当m=0时,f(x)的极大值为f(-2)=4e-2;当m=ln 2时,f(x)的极大值为f(-2)=(4+ln 2)·e-2+2ln 2.故选A. 8.[0,2e3] x<0时,f(x)≤f(-1)=a-2,x>0时,aln x-x2-2≤a-2,即x2-aln x+a≥0恒成立.令t(x)=x2-aln x+a,则t'(x)= 𝑎 2𝑥2-𝑎𝑥 ,a<0时,t'(x)>0,x→0时,t(x)→-∞,不合题意.a=0时,t(x)=x2≥0恒成立.a>0时,t(x)在(0,√2)上单调递减,在 𝑎 𝑎 𝑎 (√2,+∞)上单调递增,所以t(x)min=2-a·ln√2+a≥0,解得0 1𝑥 当k=0时,f '(x)= 1 (𝑥-1)2. 1−𝑥 令g(x)=-𝑥-ln x,则g'(x)=𝑥2. 当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减. ∴g(x)max=g(1)=-1<0,∴g(x)<0,∴f '(x)<0, ∴f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,+∞),无单调递增区间. 1+ln𝑥𝑘𝑥-1 𝑥(1+ln𝑥)𝑥-1 (2)由f(x)>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,得 -𝑥>0(x>1),即k<[ ]min(x>1). 令h(x)= 𝑥(1+ln𝑥)𝑥-1 ,x>1,则h'(x)= 𝑥-2-ln𝑥(𝑥-1)2 , 令φ(x)=x-2-ln x,x>1,则φ'(x)= 𝑥-1𝑥 >0, ∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增, 又φ(3)=1-ln 3<0,φ(4)=2-2ln 2>0, ∴存在唯一x0∈(3,4),使得φ(x0)=0, 即x0-2-ln x0=0,x0-1=1+ln x0, 当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表所示: x (1,x0) x0 (x0,+∞) h'(x) - 0 + h(x) ∴h(x)min=h(x0)= 𝑥0(1+ln𝑥0) 𝑥0-1 单调递减 极小值 单调递增 =x0∈(3,4), ∴整数k的最大值为3. 10.(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞), 12 14 12 11 12 -(𝑥+2)(𝑥-1) 2𝑥 当a=b=时,f(x)=ln x-x2-x,则f'(x)=-x-=𝑥2 , 令f '(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去).当0 3 图D 3-2-2 (2)由题意可知,2mf(x)=x2⇔2m(lnx+x)=x2⇔2𝑚=2𝑥 1ln𝑥+𝑥𝑥2 .设g(x)= ln𝑥+𝑥𝑥2 ,则g'(x)= 1−2ln𝑥-𝑥 𝑥3 ,令h(x)=1-2ln x-x,则 h'(x)=--1.因为x>0,所以h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减.因为h(1)=0,所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=1.又g(e-1)= -1+e-1e-2<0,且当x→ 12𝑚 +∞时,g(x)→0,所以可画出g(x)的大致图象,如图D 3-2-2所示,方程2mf(x)=x2有唯一实数解就等价于直线y=g(x)= ln𝑥+𝑥𝑥2与 的图象只有一个交点,由图象可知2𝑚=1,即m=2. 11 11.D 令g(x)=x2f(x)-x2,则g'(x)=2xf(x)+x22f(x)-f(1) 𝐴𝑃 8 𝑃𝐵 1 12.A 因为PE⊥PF,∠EPA=α,所以∠PFB=α,在Rt△PAE中,PE= 8 1 8 1 π cos𝛼 = cos𝛼 ,在Rt△PBF中,PF= sin𝛼 = sin𝛼 ,则 1 PE+PF=cos𝛼+sin𝛼 .设f(α)=cos𝛼+sin𝛼,α∈(0,2),则f '(α)=cos2𝛼-sin2𝛼=cos2𝛼sin2𝛼,令f '(α)=cos2𝛼sin2𝛼=0,则tan α=2,当0 1 1 8sin𝛼cos𝛼 8sin3𝛼-cos3𝛼8sin3𝛼-cos3𝛼 1111 13.AD 由题意得f '(x)=ex-4x,则f '(4)=e4-1>0,f '(2)=e2-2<0,f '(2)=e2-8<0.由ln 3≈1.098 6,得8>ln 3,所以f '(4)>0,从而4 2 因为f '(x2)=0,所以f(x2)=4x2-2𝑥2.设g(x)=4x-2x2,得g(x2)>g(2ln 3)>g(2.2)=-0.88>-1,所以f(x1)+f(x2)>0. 9 1 1 9 11 1 1 9 14.ABC 因为 𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) 𝑥-1 >0,所以当x>1时,f'(x)-f(x)>0;当x<1时,f'(x)-f(x)<0.因为g(x)= 𝑓(𝑥)e𝑥,所以g'(x)= 𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) e𝑥,则当 x>1时,g'(x)>0;当x<1时,g'(x)<0.所以函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,在(-∞,1)上为单调递减函数,则x=1是函数g(x)的极小值点,则选项A,B均正确.当g(1)<0时,函数g(x)至多有两个零点,当g(1)=0时,函数g(x)有一个零点,当g(1)>0时,函数g(x)无零点,所以选项C正确.g(0)=时,g(x)= 𝑓(𝑥)e𝑥 𝑓(0)e0 =1,又g(x)在区间(-∞,1)上单调递减,所以当x≤0 ≥g(0)=1,又ex>0,所以f(x)≥ex,故选项D错误.故选ABC. 1 15.(1)∵f(x)=ln𝑥-ax2+x =-ln x-ax2+x(a>0,x>0), ∴f '(x)=-𝑥-2ax+1=-1 2𝑎𝑥2-𝑥+1 𝑥 (a>0). 令2ax2-x+1=0,则其判别式Δ=1-8a. 18 ①当Δ≤0,即a≥时, f '(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 1−√1−8𝑎4𝑎 1+√1−8𝑎4𝑎 ②当Δ>0,即0 ,x4=, 当x3 1−√1−8𝑎4𝑎 1−√1−8𝑎1+√1−8𝑎4𝑎 1+√1−8𝑎4𝑎 ∴ f(x)在(0,)上单调递减,在(,4𝑎 )上单调递增,在(,+∞)上单调递减. 综上,当a∈[8,+∞)时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,无增区间; 当a∈(0,8)时,f(x)在(0, 1 1−√1−8𝑎4𝑎 1 ),( 1+√1−8𝑎4𝑎 ,+∞)上单调递减,在( 18 1−√1−8𝑎1+√1−8𝑎4𝑎 , 4𝑎 )上单调递增. 1 1 (2)不妨设x1 2𝑎 22 x1-a𝑥1+x1-ln x2-a𝑥2+x2=-(ln x1+ln x2)-2(x1-1)-2(x2-1)+(x1+x2)=-ln(x1x2)+2(x1+x2)+1=ln(2a)+4𝑎+1.令 1 1 1 1 g(a)=ln(2a)++1,a∈(0,),则g'(a)=-4𝑎 8 𝑎 1111 4𝑎2= 4𝑎-14𝑎2<0,∴g(a)在(0,)上单调递减,∴g(a)>g()=ln(2×)+8 8 8 1111 18 4× +1=3-2ln 2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln 2. 16.(1)设g(x)=f '(x),则g(x)=cos x-1 1+𝑥 ,g'(x)=-sin x+1 (1+𝑥)2. 当x∈(-1,2)时,g'(x)单调递减,而g'(0)>0,g'(2)<0,可得g'(x)在(-1,2)上有唯一零点,设为α.则当x∈(-1,α)时,g'(x)>0;当x∈(α,2)时,g'(x)<0. 所以g(x)在(-1,α)上单调递增,在(α,2)上单调递减,故g(x)在(-1,2)上存在唯一极大值点,即f '(x)在(-1,2)上存在唯一极大值点. π π π π πππ (2)f(x)的定义域为(-1,+∞). (i)当x∈(-1,0]时,由(1)知,f '(x)在(-1,0)上单调递增,而f '(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f '(x)<0,故f(x)在(-1,0)上单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]上的唯一零点. π π π π (ii)当x∈(0,2]时,由(1)知,f '(x)在(0,α)上单调递增,在(α,2)上单调递减,而f '(0)=0,f '(2)<0,所以存在β∈(α,2),使得f '(β)=0,且当x∈(0,β)时,f '(x)>0;当x∈(β,)时,f '(x)<0.故f(x)在(0,β)上单调递增,在(β,)上单调递减. 2 2 π π π π π π 又f(0)=0,f(2)=1-ln(1+2)>0,所以当x∈(0,2]时,f(x)>0.从而f(x)在(0,2]上没有零点. (iii)当x∈(,π]时,f '(x)<0,所以f(x)在(,π)上单调递减.而f()>0,f(π)<0,所以f(x)在(,π]上有唯一零点. 2 2 2 2 π π π π (iv)当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)上没有零点. 综上,f(x)有且仅有2个零点. 1 𝑥-1 17.B 根据题意,设f(x)=2x+1-x-ln x=x+1-ln x,则f'(x)=1-𝑥=𝑥(x>0),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以 f(x)min=f(1)=2-ln 1=2,所以|AB|min=2.故选B. π𝑥𝑚 π2 18.C 由题意得,当=kπ+(k∈Z),即x= 2𝑥0+[f(x0)]2 1 1 (2𝑘+1)𝑚 2 (k∈Z)时,f(x)取得极值±√3.若存在f(x)的极值点x0满足 k∈Z使不等式m2(k+2)2+3 (2𝑘+1)𝑚2 ]+3 当a<0时,对任意x∈R,f'(x)<0,所以f(x)单调递减. 当a>0时,令f '(x)=0,得x=ln a, 当x∈(-∞,ln a)时,f '(x)>0,当x∈(ln a,+∞)时,f '(x)<0, 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递增,在(ln a,+∞)上单调递减. 综上所述,当a<0时,f(x)在R上单调递减,无增区间;当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递增,在(ln a,+∞)上单调递减. (2)存在满足条件的实数a,且实数a的值为e+1. 理由如下: ①当a≤1,且a≠0时,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递减, 则x∈[0,1]时,f(x)max=f(0)=1, 则f(x1)+f(x2)≤2f(0)=2<4, 所以此时不满足题意; ②当1 当x1=0时,对任意x2∈[0,1], f(x1)+f(x2)≤f(0)+f(ln a)=1+aln a-a+2=a(ln a-1)+3<3, 所以此时不满足题意; ③当a≥e时,令g(x)=4-f(x)(x∈[0,1]), 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,从而知g(x)在[0,1]上单调递减, 所以g(x)max=g(0)=4-f(0),g(x)min=g(1)=4-f(1). 若对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)+f(x2)=4, 𝑓(0)≥𝑔(1),𝑓(0)+𝑓(1)≥4, 则f(x)的值域为g(x)值域的子集,即{即{ 𝑓(1)≤𝑔(0),𝑓(1)+𝑓(0)≤4,所以f(0)+f(1)=a-e+3=4,解得a=e+1. 综上,存在满足题意的实数a,且实数a的值为e+1. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容