(完整版)2003年江苏省高考数学试题

2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）

数 学（理工农医类) 第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.

（1）如果函数yax2bxa的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域（不包含边界）为

（ ）

bbbb

OaOaOaOa

(A) (B) (C) (D)

（2）抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为 ( ）

（A)18

（B)－18 (C）8 （D）－8

（3）已知x(42,0),cosx5,则tg2x （ ）

(A)724 （B）－7242424 （C)7 （D）－7

2x(4）设函数1,x0,f(x)1若f(x0)1,则x0的取值范围是( ） x2,x0 （A）（－1，1）

（B）(1,)

（C）（－∞，－2）∪(0，+∞）

（D）（－∞，－1）∪（1,+∞）

（5）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABABACAC),0,,则P的轨迹一定通过ABC的

（A）外心 （B）内心

（C）重心

（D)垂心

1

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

(6)函数yln

x1,x(1,)的反函数为（ ） x1ex1,x(0,) （B)yxe1ex1,x(,0) （D）yxe1ex1,x(0,) （A）yxe1ex1,x(,0) （C）yxe1

（7)棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

a3(A）

3a3（B)

4a3a3（C） （D）

612（8）设a0,f(x)ax2bxc,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0,,则P4到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为（ ）

b1b11 （A）0, （B）0, (C）0, (D)0,2a a2a2a（9）已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为

( )

(A)1 (B）3 （C）1 （D）3

414的的等差数列,则|mn|

28(10)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0)，直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐

标为2，则此双曲线的方程是 （ ） 322xyx2y2x2y2x2y2 （A）1 1 （C）1 (D）1 （B）

235234(11）已知长方形的四个顶点A(0，0）,B（2，0），C（2，1）和D（0,1）,一质点从AB的中点P0沿与AB的

夹角的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）,设P4的坐标为（x4，0）,若1x42,则tg的取值范围是 ( ）

2121 (A）（1，1) （B）（，2） （C）(，） （D)（2，）

3335235（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ）

(A）3

（B）4

（C）33

(D）6

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

2

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

数 学（理工农医类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二。填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 （13)(x21)9的展开式中x9系数是

2x（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取___________,__________，___________辆 （15）某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花,每部分

栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种(以数字

作答）

6 5 1 2 3 4 (16）对于四面体ABCD,给出下列四个命题

①若ABAC,BDCD,则BCAD ②若ABCD,ACBD,则BCAD ③若ABAC,BDCD,则BCAD ④若ABCD,ACBD,则BCAD

其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 （17）（本小题满分12分）

有三种产品,合格率分别为0。90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验 (Ⅰ）求恰有一件不合格的概率;

（Ⅱ)求至少有两件不合格的概率（精确到0。001）

（18）（本小题满分12分）

3

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

3已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(,0)对称,且在区间

4上是单调函数求和的值 0,2

(19)(本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12,D、E分别是

CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

（Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离

C1A1DEGB1CBA

(20)(本小题满分12分）

4

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

已知常数a0,向量c(0,a),i(1,0)经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点

A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R试问：是否存在两个定点E、F,使得PEPF为定

值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由

（21）(本小题满分12分）

已知a0,n为正整数 (Ⅰ)设y(xa)n，证明y'n(xa)n1；

（Ⅱ）设fnn(x)xn(xa)，对任意na,证明fn1'(n1)(n1)fn'(n)

（22）（本小题满分14分）

5

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

设a0，如图,已知直线l:yax及曲线C:yx2,C上的点Q1的横坐标为a1(0a1a).从C上的点Qn(n1)作直线平行于x轴，交直线l于点Pn1，再从点Pn1作直线平行于y轴，交曲

C于点Qn1. Qn(n1,2,3,…）的横坐标构成数列an

(Ⅰ）试求an1与an的关系,并求an的通项公式； （Ⅱ）当a1,a1112时，证明n(akak1)ak2k132 c （Ⅲ）当a1时，证明n(a1kak1)ak2

y l k13r2 rQ3 1 QQ2 1 O a1a2a3x 2003年普通高等学校招生全国统一考试

6

线

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

数 学 试 题（江苏卷)答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．21 14．6,30，10 15．120 16．①④

2三、解答题

17．本小题要主考查相互事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力,满分12分。 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

（Ⅰ)P(A)0.90,P(B)P(C)0.95， P(A)0.10,P(B)P(C)0.50. 因为事件A,B,C相互，恰有一件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) 20.900.950.050.100.950.950.176答:恰有一件不合格的概率为0.176。 解法一：至少有两件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)

0.900.05220.100.050.950.100.0520.012

解法二:三件产品都合格的概率为

P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.900.9520.812

由(Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.

答：至少有两件不合的概率为0。012。

（18)在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。解：由f(x)是偶函数,得f(x)f(x), 即sin(x)sin(x),所以cossinxcossinx

对任意x都成立,且0,所以得cos0. 7

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

依题设0,所以解得2.由f(x)的图象关于点M对称,得f(34x)f(34x),取x0,得f(3334)sin(42)cos4,f(34)sin(342)cos34,cos340,又0,得342k,k1,2,3,,23(2k1),k0,1,2,.当k0时,23,f(x)sin(23x2)在[0,2]上是减函数;当k1时,2,f(x)sin(2x)在[0,22]上是减函数;当k0时,103,f(x)sin(x2)在[0,2]上不是单调函数; 所以,综合得23或2.19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。 解法一：(Ⅰ）解:连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角。

设F为AB中点,连结EF、FC，

D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC平面ABC,CDEF为矩形连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中EF2FGFD13FD2,EF1,FD3.

于是ED2,EG12633.FCCD2,AB22,A1B23,EB3.sinEBGEG61EB3323.

A21B与平面ABD所成的角是arcsin3.(Ⅱ）连结A1D，有VA1AEDVDAA1EEDAB,EDEF,又EFABF,

ED平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，则SAEDhSA1ABED 又S1A1AE2S14A16A1AAB2,SAED2AEED2. 1ABh226623.即A261到平面AED的距离为3.

2解法二:（Ⅰ)连结BG,则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O,设CA=2a, 则A（2a,0,0),B（0，2a,0），D(0，0,1）

8

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(2a2a1,,).33322GEBDa20.解得a1.33

aa2CE(,,),BD(0,2a,1).333241BA1(2,2,2),BG(,,).333cosA1BGBA1BG14/37.3|BA1||BG|2312137A1B与平面ABD所成角是arccos.3（Ⅱ)由(Ⅰ）有A(2，0,0)A1(2,0，2），E（1，1，1)，D(0，0，1)

AEED(1,1,1)(1,1,0)0,AA1ED(0,0,2)(1,1,0)0,ED平面AA1E,又ED平面AED.（Ⅰ）当a2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F;

2

（Ⅱ)当0a211a11a时，方程①表示椭圆，焦点E(a2,)和F(a2,) 2222222(Ⅲ）当a2时,方程①也表示椭圆,焦点E(0,1(aa21))和F(0,1(aa21))为合乎题意的两个定点. 22222（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，证明：(Ⅰ）因为

k(a)nkxk， (xa)Cnnk0n所以ykC(a)knk0nnkxk1k1nkk1xn(xa)n1. nCn1(a)n

k0

(Ⅱ)对函数fn(x)x(xa)求导数：

nnfn(x)nxn1n(xa)n1,所以fn(n)n[nn1(na)n1].当xa0时,fn(x)0.当xa时,fn(x)xn(xa)n是关于x的增函数.因此,当na时,(n1)n(n1a)nnn(na)n

∴fn1(n1)(n1)[(n1)n(n1a)n](n1)(nn(na)n) (n1)(nnn(na)n1)(n1)fn(n).

即对任意na,fn1(n1)(n1)fn(n).

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识,综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分。

9

(完整版)2003年江苏省高考数学试题

(Ⅰ）解：∵Q2122121n(an1,an),Pn1(aa),Q4n,ann1(aan,a2an). ∴a1212n1aa, ∴a112211222nnaan1a(aan2)(a)an2 (11222112222a)12(aa3n3)(a)an2 (1)122n2n11n1n1an1an1aa21(a)21a21a(1a)2， ∴ana(1a)2.

（Ⅱ）证明：由a=1知a21n1an, ∵a12, ∴a214,a3116. ∵当k1时,a1k2a316. ∴n(a1nkak1)ak211k116(akak1)(a1an1). k11632 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，an1na21,

因此

nnn1(aa2k12k2k12i1kk1)ak2(a1a1)a1k1k1(ai1a1)a2i21

i1 2n1(1a23i2a31a51)a1a1(1a1)a111i11a3 = 11aa2. 113 10