寒假专题 证明 北师大版

寒假专题 证明

一. 本周教学内容：

寒假专题——证明

【典型例题】

例1. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ）

A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等 C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等

答案：C

例2. 一架长2.5m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将滑动（ ）

A. 0.9m B. 1.5m C. 0.5m D. 0.8m

答案：D

解析：AC＝2.4

EC＝2.0，ED＝2.5

CD＝1.5

1

∴BD＝0.8

例3. 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形。因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：

（1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中；

（2）要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的____________相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是____________。

（3）如图，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是

一个反例来说明。

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解析：（1）

（2）一组邻边；90°

（3）

例4. 已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E、F、G、H，再不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明的过程 （要求用到“平行四边形”和“角平分线”两条件）

解：结论：EFGH为矩形

证明：∵平行四边形ABCD

∴DC∥AB

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∴∠CDA＋∠DAB＝180°

∵DF、AE为角平分线

∴∠DEA＝90°，则∠HEF＝90°

同理，∠AHB＝∠DFC＝90°

∴四边形EFGH为矩形

例5. 已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。

（1）四边形AEDF是什么四边形？你能证明吗？

（2）当△ABC满足什么条件时四边形AEDF是矩形?

（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形?

（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形?

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解：（1）答：平行四边形，

（2）∠BAC＝90°

（3）AD为角平分线

（4）△ABC为等腰直角三角形

例6. 已知：如图，D是∠ABC的平分线和∠ACB的平分线的交点，过D作EF//BC，交AB于E，交AC于F。

（1）请你确定EF、BE、CF三者之间的关系，并证明。

（2）当D为∠ABC的外角的角平分线和∠ACB的外角角平分线的交点，EF、BE、CF三条还满足上面的结论吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明。

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（3）如图：当D为∠ACB的角平分线和∠ACB外角的角平分线的交点时，EF、BE、CF三条线段还满足上面的关系式吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明。

解：（1）EF＝BE＋CF

（2）EF＝BE＋CF

（3）EF＝BE－CF

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一. 选择题（每小题3分，共30分）

1. 已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（ ）

A. 6cm2 B. 7.5cm2 C. 10cm2 D. 12cm2

2. 下列判断正确的是（ ）

A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B. 有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等

3. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ）

A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等

C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等

4. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（2， 2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

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5. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）

A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三边中垂线的交点

6. 角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：判断所构造的两个三角形全等的依据是（ ）

A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS

7. 一架长2.5m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将滑动（ ）

A. 0.9m B. 1.5m C. 0.5m D. 0.8m

8. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D若BC＝a，则AD等于（ ）

A. B. C. D.

9. 如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）

A. 30°

B. 36°

C. 45°

D. 70°

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10. 如图，等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）

A. 45°

B. 55°

C. 60°

D. 75°

二. 填空题（每小题3分，共30分）

11. 如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是___________或___________。

12. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，S1＝81，S3＝225，则S2＝__________。

13. 等腰三角形的腰长为2cm，面积等于1cm2，则它的顶角的度数为___________。

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14. 已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC＝10cm，则△ODE的周长___________。

15. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是

___________。

16. 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___________。

17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是___________。

18. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC＝AD，有

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如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABC是正三角形。请写出正确结论的序号________________

____（把你认为正确结论的序号都填上）。

三. （每小题6分，共12分）

19. 已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明。

20. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽。它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝……＝A8A9＝1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。

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四. （每小题8分，共18分）

21. 如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC。请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。

22. 如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°，求AD、CD的长。

23. 如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c。图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形。

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（2）用这个图形证明勾股定理。

（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）。

五. （本题10分）

24. 如图，△ABC中，D为AC上一点，CD＝2DA，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE。

（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；

（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；

（3）求△BEC与△BEA的面积之比。

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【试题答案】

一. 选择题。

1. A 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C

二. 填空题。

1. AB＝CD 2. 144 3. 30°或150° 14. 10cm 15. 10°17. 18. ①

三.

19. D为中点

20. ，积＝

21. 已知：AD＝BC，AE＝CF，AD∥BC

求证：∠B＝∠D

证明：略

22. 过点B作BE⊥AD，BF⊥CD

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16. 2

23. （1）直角梯形

（2）

（3）

24. （1）ED＝DA，BE＝EA，BE＝CE

（2）△CEA∽△EDA

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BD于F

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（3）过A作AF⊥△CED∽△DAF