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《 数学史 》课程论文 课程号：2191010

任课教师 范永顺 成绩 论文题目：宋元时期中国数学家的成就 论文要求：（对论文题目、内容、行文、字数等作出判分规定。） 格式要求参考毕业论文要求。字数3000左右。选题与学术水平占40分，论证能力占25分，论文撰写质量占25分、学习态度与论文字数占10分。 教师评语： 教师签字： 年 月 日 第 1 页 共 10 页

宋元时期中国数学家的成就

宋元时期(公元960年—1368年)是中国古典数学的一个高潮时期，也是创造算法的英雄时代。事实上，整个宋元时期，重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化，同时雕版印书的发达特别是活字印刷的发明，也有利于数学著作的保存与流传。这一时期涌现了大量的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位。

1. 宋元时期的中国数学

公元960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》。1213年鲍干澣之又进行翻刻。这些情况为数学发展创造了良好的条件。从11～14世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪（11世纪中期）的《黄帝九章算法细草》(已失传)，刘益(12世纪中期)的《议古根源》（已失传），秦九韶的《数书九章》 (1247),李冶的《测圆海镜》 (1248)和《益古演段》 (1259)，杨辉的《详解九章算法》(1261)、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》(1274～1275)，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》 (1303)等,很多领域都达到古代数学的高峰。其中一些成就也是当时世界数学的高峰。

2.秦九韶与《数书九章》

2.1 秦九韶生平

秦九韶（约公元1202年—1261年>），字道古，南宋普州安岳（今四川安岳）人，祖籍鲁郡（今山东曲阜、兖州一带）。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，地今广东梅县广广不久死于任所。

他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。 其最重要的数学成就“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术\"（高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。

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现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。

7 -10000000 -3200000000 -32400000 -3240000 -30768000000 -82688000000 38205440000 2.2 秦九韶的主要成就——正负开方术

将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。 正负开方

[1]

术是以增乘开方法为主导的求解高次方程正根的方法，今有“秦九韶程序”之称。

8 9 -10000 -10000 8-307680000 -8268800000 38205440000 40 -320640000 -9551360000 0

对于形如a0xnan11xa22xnan1xan0方程，秦九韶采用古代在开方所使用的列筹方法：将商，即根置于筹式的最上方，然后依次列常数项（实）、一次项、二次项等各项的系数（各“廉”），最下一层放置最高项系数——“隅”。对于方程中各系数，除系数项规定了“实常为负”以外，其余可正可负，不受任何限制。方程中的却像表示该项系数为零。

在应用增乘开方法求方程数值解方面，秦九韶是研究的相当系统而彻底的。他称这种方法为“正负开放术”，这种方法与通用所谓的霍纳方法彻底一致。例如，《数书九章》卷五第一题“尖田求积”列出方程为：

x4763200x2406425600000

秦九韶在列出筹式后，依次使用二十一个筹算图式来详细说明运算的每一个步骤。我们改用阿拉伯数字并用横式抄录其主要图式如表所示[1]

。

表1 正负开方术的筹算图示（程序） 程序 隅 下廉 上廉 方 实 商 1 -1 0 763200 0 -40642560000 2 -10000 0 76320000 0 -40642560000 -1000000083 0 0 7632000000 0 -4064560000 00 4 -100000000 -800000000 1232000000 9856000000 38205440000 5 -10000000 -160000000-1156800000-82688000000 0 0 38205440000 6 -10000000 -240000000-3076800000-82688000000 0 0 38205440000 第 3 页 共 10 页

程序1相当于列出方程：

x4763200x2406425600000 （1） 程序2相当于对上式（1）进行x100x1的变换，得

(10)4x421763200(10)2x1406425600000 （2） 当求得8x19，确定出第一位数为8之后，程序3至6就是用增乘方法的步骤进行，当经x2x18的代换后程序7所应得的新方程是：

(10)8x43223200(10)6x23076800(10)4x2826880000(10)2x2382054400000 （3）程序8相当于对（3）式进行了x310x2的变换后得出的新方程：

(10)4x43233200(10)3x33076800(10)2x3826880000(10)x3382054400000

（4）最后求得x34，故得：

x100x8xx31100(2)100(810)840

秦九韶还对运算过程中所产生的某些特殊情况进行了讨论。特别是当开平方得到无理根时，秦九韶改变唐宋数学家不重视十进分数的作法，积极采用刘徽的十进分数来表示无理根的近似值，从而使高次方程数值解的范围扩展到最大限度。另外，秦九韶对常数项绝对值增大或减小，符号从负变正也不像以前的数学家那样畏惧，而将它们视为理所当然，不影响算法的正确性，这就从分发挥了他的“正负开方术”解各种类型方程的有效性。

3. 李冶与《测圆海镜》

3.1 李冶生平

李冶(1192-1279年)是金元之际的著名数学家，字仁卿，号敬斋，真定府栾城（今

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河北栾城）人。李冶生于大兴(今北京市大兴县)，父亲李通为大兴府推官．李冶自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县(今河北省元氏县)求学，对数学和文学都很感兴趣.

《元朝名臣事略》中说：\"公(指李冶)幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风．\"1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，任钧州(今河南禹县)知事，为官清廉、[2]

正直．1232年，钧州城被蒙古军队攻破．李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河避难．由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间．他在桐川的研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学．其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结，写成数学史上的不朽名著--《测圆海镜》．

他在数学上的主要贡献是“天元术”(即立方程之法)，在当时居于世界数学的领先地位。此外，李冶在文学、史学、医学、天文学方面皆有较深的造诣，是金末元初的一位博学多才的科学巨人。

3.2 李冶的主要成就——天元术

所谓天元术，就是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”相当于今“设x为某某”是一致的．在中国，列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》，书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念．到唐代，王孝通已经能列出三次方程，但仍是用文字叙述的，而且尚未掌握列方程的一般方法．经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题基本解决了．随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱．但直到李冶之前，天元术还是比较幼稚的，记号混乱、复杂，演算烦琐．李冶在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法．

天元术是金、元数学家独立创造的。我国古代的开方筹式给天元式提供了一个现实的原型。然而实现科学地表达天元式这一飞跃，要经过一个复杂曲折的过程。起初，人们用“天、上、……仙”九个字分别表示未知数的正幂，用“地、下、……鬼”九个字表示负幂，用“人”表示常数项。以后经过简化，用“天元”、“地元”分别表示未知数的正幂和负幂，用“太”表示常数项。李冶进一步加以改进，取消“地元”，只用一个天元表示未知数。他在《测圆海镜》中采用正幂在上、常数和负幂在下的古法，后来在《益古演段》中又颠倒过来，这样就使天元式和传统的开方式相一致。在进行天元式运算的时候，李冶有时在一次幂系数的右旁记一“元”字，有时在常数右旁记一“太”字；系数是负数的，在系数的个位数码上加一斜划。李冶的开方式中，没有“实常为负”的规定，而是可正可负。

“天元术”的表示方法也很简单，只要在等式的一次项旁边记一个“元”字，或者在常数项旁边记一个“太”字就行了。例如李冶《测圆海镜》中的大元式表示如下图：

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图1 天元式

即相当于方程：

x3336x24184x2488320

其中旁边记有“元”字的一行筹式为一次项，即4184x；上一行为二次项，即336 2；再上一行为三次项，即x3；每上一行增加一次幂。“元”字下一行则为常数项，即2480320。或者，在这个天元式中去掉一次项旁边的“元”字，在最下一行常数项旁边记上一个“太”字，其意义也是一样的。

李冶的“天元术”是世界上最早的半符号代数学。在西方，半符号代数是从16世纪以后才逐渐开始出现的，比中国要晚了三百年。现在，数学符号已经是数学王国里不可或缺的重要成员了。 如果没有数学符号，近代数学和现代数学的发展是完全不可想像的。

4. 杨辉与《详解九章算法》

4.1杨辉生平

杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和数学教育家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。

4.2 杨辉的主要成就

杨辉一生留下了大量的著述，它们是：《详解九章算法》12卷(1261年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通变本末》3卷(1274年，第3卷与他人合编)，《田亩比类乘除捷法》2卷(1275年)，《续古摘奇算法》2卷(1275年，与他人合编)，其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》。

纵横图，即所谓的幻方。早在汉郑玄《易纬注》及《数术记遗》都记载有“九宫”即三阶幻方，千百年来一直被人披上神秘的色彩。杨辉创“纵横图”之名。在所著《续古摘奇算法》上卷作出了多种多样的图形。

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图2四阶纵横图 图3百子图

图4“聚八”图 图5 “攒九”图

图2是四阶纵横图；图3是百子图，即十阶纵横图。其每行每列数之和为50—5(对角线数字之和不是505)；图4是“聚八”图，杨辉按“二十四子作三十二子用”设子的这种幻方共有四圈，每圈数字之和为100； 图5是“攒九”图，用前33个自然数排列，达到“斜直周围各一百四十七”的效果。杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神秘性。这是世界上对幻方最早的系统研究和记录。自杨辉以后，明清两代中算家关于纵横图的研究相继不断。

5. 朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》

5.1 朱世杰生平

朱世杰,字汉卿，号松庭,元燕山（今北京附近）人。活动于13世纪后半叶至14世纪初。生卒年不详。有数学著作《算学启蒙》（1299年）和《四书玉鉴》（1303

年）传世，其“四元术”和“垛积招差术”是具有世界意义的数学成就[1]

。

5.2 朱世杰的主要成就

5.2.1 四元术

所谓四元术，就是用天、地、人、物四元表示四元高次方程组。列式的方法是：在常数右侧记一“太”字，天、地、人、物四元和它们的乘幂的系数分别列于“太”

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字的下、左、右、上，相邻两未知数和它们的乘幂的积的系数记人相应的两行相交的位置上，不相邻的几个未知数的积的系数记人相应的夹缝中。我们用x、y、z、u分别表示天、地、人、物四元，那么它们在四元式中的位置如下图所示：

图6 四元术

图中最中间的一个“太”字表示常数项，“天”、“地”、“人”、“物”四个字则表示四元，即四个未知数，相当于现今的x、y、z、u这四个代数符号。天元幂系数居下，地元居左，人元居右，物无居上，其幂次由它们与“太”字的位置关系决定，距“太”字越远，幂次越高，至于“四元术”的消元法，则与现今代数学解多元高次方程组的消元法大致相同，即先将四元四式消成三元三式，再消成二元二式，最后化成一元一式，即高次开方式，然后用开方术求出它们的数值。概而言之，“四元本”首先要列出古有四个未知数的方程组，然后再消去三个元，使它变成一个一元高次方程，最后再解出这个一元高次方程的数值，其整个演算过程要用到“天元术”／开方术”等各种当时最先进的数学知识，所以它代表了我国古代代数学的最高成就。它比西方的多元高次方程组解法要领先近五百年之久，在世界数学史上有着极其重要的地位和价值。

5.2.2 垛积招差术

朱世杰另一个突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。

垛积问题, 也即是高阶等差级数的求和问题。在级数研究方面, 朱世杰做出了特殊的贡献。在《四元玉鉴》一书中, 体现了他在各种高阶等差级数求和方面具有相当深的造诣。其解法是富藏开拓性、先进性思想的。 在朱世杰的许多求和过程中，下述的一串三角垛公式有着重要意义。其他的求和公式都可以从这串公式演变出来。这串公式是： 一阶等差数列（茭草垛）

nr123n112!n(n1) 二阶等差数列（三角垛）

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n12!r(r1)13612n(n1)13!n(n1)(n2) 1三阶等差数列（撒星形垛）

n1r(r1)(r2)1410113!4!n(n1)(n2)(n3) 四阶等差数列（三角撒星形垛）

n1r(r1)(r2)(r3)15151n(n1)(n4)14!5!从这一串公式，朱世杰归纳得出一般公式： n 1p!r(r1)(r2)(rp1)1(p1)!n(n1)(n2)(np) r1 上述一串三角垛公式恰好是（*）式当p1,2,3,4时的情况。

参考文献

[1]王渝生.中国算学史[M].上海：上海人民出版社，2006.

[2]吴文俊.中国数学史大系[M].北京：北京师范大学出版社，1999. [3]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.

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*） 第 10 页 共 10 页 （