双代号网络图

一、双代号网络图

双代号网络图是以箭线及其两端节点的编号表示工作的网络图，如图所示。从下图中可以看出双代号网络图由箭线、节点、线路三个基本要素组成。

（一）基本要素

1.箭线（工作）

（1）在双代号网络图中，每一条箭线表示一项工作。箭线的箭尾节点表示该工作的开始，箭头节点表示该工作的结束。工作的名称标注在箭线的上方，完成该项工作所需要的持续时间标注在箭线的下方。如图所示。由于一项工作需用一条箭线和其箭尾和箭头处两个圆圈中的号码来表示，故称为双代号表示法。

（2）在双代号网络图中，任意一条实箭线都要占用时间、消耗资源（有时，只占时间，不消耗资源，如混凝土的养护）。在建筑工程中，一条箭线表示项目中的一个施工过程，它可以是一道工序、一个分项工程、一个分部工程或一个单位工程，其粗细程度、大小范围的划分根据计划任务的需要来确定。

（3）在双代号网络图中，为了正确地表达图中工作之间的逻辑关系，往往需要应用虚箭线，其表示方法如图所示。

虚箭线是实际工作中并不存在的一项虚拟工作，故它们既不占用时间，也不消耗资源，一般起着工作之间的联系、区分和断路三个作用。联系作用是指应用虚箭线正确表达工作之间相互依存的关系；区分作用是指双代号网络图中每一项工作都必须用一条箭线和两个代号表示，若两项工作的代号相同时，应使用虚工作加以区分，如图所示；断路作用是用虚箭线断掉多余联系（即在网络图中把无联系的工作联接上了时，应加上虚工作将其断开）。

（4）在无时间坐标的网络图中，箭线的长度原则上可以任意画，其占用的时间以下方标注的时间参数为准。箭线可以为直线、折线或斜线，但其行进方向均应从左向右，如图所示。在有时间坐标的网络图中，箭线的长度必须根据完成该工作所需持续时间的大小按比例绘制。

（5）在双代号网络图中，各项工作之间的关系如图所示。通常将被研究的对象称为本工作，用ij工作表示，紧排在本工作之前的工作称为紧前工作，紧排在本工作之后的工作称为紧后工作，与之平行进行的工作称为平行工作。

2.节点（又称结点、事件）

节点是网络图中箭线之间的连接点。在双代号网络图中，节点既不占用时间、也不消耗资源，是个瞬时值，即它只表示工作的开始或结束的瞬间，起着承上启下的衔接作用。网络图中有三种类型的节点：

（1）起点节点

网络图的第一个节点叫“起点节点”，它只有外向箭线，一般表示一项任务或一个项目的开始，如图所示。

（2）终点节点

网络图的最后一个节点叫“终点节点”，它只有内向箭线，一般表示一项任务或一个项目的完成，如图所示。

（3）中间节点

网络图中即有内向箭线，又有外向箭线的节点称为中间节点，如图所示。

（4）在双代号网络图中，节点应用圆圈表示，并在圆圈内编号。一项工作应当只有惟一的一条箭线和相应的一对节点，且要求箭尾节点的编号小于其箭头节点的编号。例如在下图中，应有：i＜j＜k。网络图节点的编号顺序应从小到大，可不连续，但不允许重复。

3.线路

网络图中从起点节点开始，沿箭头方向顺序通过一系列箭线与节点，最后达到终点节点的通路称为线路。线路上各项工作持续时间的总和称为该线路的计算工期。一般网络图有多条线路，可依次用该线路上的节点代号来记述，例如网络图5—1中的线路有：①－②－③－④－⑦－⑧，①－②－⑤－⑥－⑦－⑧等，其中最长的一条线路被称为关键线路，位于关键线路上的工作称为关键工作。

（二）逻辑关系

网络图中工作之间相互制约或相互依赖的关系称为逻辑关系，它包括工艺关系和组织关系，在网络中均应表现为工作之间的先后顺序。

1.工艺关系

生产性工作之间由工艺过程决定的、非生产性工作之间由工作程序决定的先后顺序叫工艺关系。

2.组织关系

工作之间由于组织安排需要或资源（人力、材料、机械设备和资金等）调配需要而规定的先后顺序关系叫组织关系。

网络图必须正确地表达整个工程或任务的工艺流程和各工作开展的先后顺序及它们之间相互依赖、相互制约的逻辑关系，因此，绘制网络图时必须遵循一定的基本规则和要求。

（三）绘图规则

（1）双代号网络图必须正确表达已定的逻辑关系。

（2）双代号网络图中，严禁出现循环回路。

所谓循环回路是指从网络图中的某一个节点出发，顺着箭线方向又回到了原来出发点的线路。如图所示。

（3）双代号网络图中，在节点之间严禁出现带双向箭头或无箭头的连线。如图所示。

（4）双代号网络图中，严禁出现没有箭头节点或没有箭尾节点的箭线。如图所示。

（5）当双代号网络图的某些节点有多条外向箭线或多条内向箭线时，为使图形简洁，可使用母线法绘制（但应满足一项工作用一条箭线和相应的一对结点表示），如图所示。

（6）绘制网络图时，箭线不宜交叉；当交叉不可避免时，可用过桥法或指向法。如图所示。

（7）双代号网络图中应只有一个起点节点和一个终点节点（多目标网络计划除外）；而其他所有节点均应是中间节点。如图所示。

二、双代号网络计划时间参数的计算

双代号网络计划时间参数计算的目的在于通过计算各项工作的时间参数，确定网络计划的关键工作、关键线路和计算工期，为网络计划的优化、调整和执行提供明确的时间参数。双代号网络计划时间参数的计算方法很多，一般常用的有：按工作计算法和按节点计算法进行计算；在计算方式上又有分析计算法、表上计算法、图上计算法、矩阵计算法和电算法等。本节只介绍按工作计算法在图上进行计算的方法（图上计算法）。

（一）时间参数的概念及其符号 1.工作持续时间（Dij）

工作持续时间是对一项工作规定的从开始到完成的时间。在双代号网络计划中，工作ij的持续时间用Dij表示。

2.工期（T）

工期泛指完成任务所需要的时间，一般有以下三种：

（1）计算工期：根据网络计划时间参数计算出来的工期，用TC表示。 （2）要求工期：任务委托人所要求的工期，用Tr表示。

（3）计划工期：在要求工期和计算工期的基础上综合考虑需要和可能而确定的工期，用Tp表示。网络计划的计划工期Tp应按下列情况分别确定：

1）当已规定了要求工期Tr时，

Tp≤Tr （5－1）

2）当未规定要求工期时，可令计划工期等于计算工期，

Tp＝TC （5－2）

3.网络计划中工作的六个时间参数 （1）最早开始时间（ESij）

是指在各紧前工作全部完成后，本工作有可能开始的最早时刻。工作ij的最早开始时间用ESij表示。

（2）最早完成时间（EFij）

是指在各紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时刻。工作ij的最早完成时间用EFij表示。

（3）最迟开始时间（LSij）

是指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须开始的最迟时刻。工作ij的最迟开始时间用LSij表示。

（4）最迟完成时间（LFij）

是指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须完成的最迟时刻。工作ij的最迟完成时间用LFij表示。

（5）总时差（TFij）

是指在不影响总工期的前提下，本工作可以利用的机动时间。工作ij的总时差用

TFij表示。

（6）自由时差（FFij）

是指在不影响其紧后工作最早开始的前提下，本工作可以利用的机动时间。工作ij的自由时差用FFij表示。

按工作计算法计算网络计划中各时间参数，其计算结果应标注在箭线之上，如图所示。

（二）双代号网络计划时间参数计算

按工作计算法在网络图上计算六个工作时间参数，必须在清楚计算顺序和计算步骤的基础上，列出必要的公式，以加深对时间参数计算的理解。时间参数的计算步骤为： 1.最早开始时间和最早完成时间的计算

从上所述，工作最早时间参数受到紧前工作的约束，故其计算顺序应从起点节点开始，顺着箭线方向依次逐项计算。

（1）以网络计划的起点节点为开始结点的工作的最早开始时间为零。如网络计划起点节点的编号为1，则：

ESij＝0（i＝1） （5－3）

（2）顺着箭线方向依次计算各个工作的最早完成时间和最早开始时间。 1）最早完成时间等于最早开始时间加上其持续时间：

EFij＝ESij＋Dij （5－4）

2）最早开始时间等于各紧前工作的最早完成时间EFhi的最大值：

ESij＝Max［EFhi］ （5－5）

或 ESij＝Max［EShi＋Dhi］ （5－6） 2.确定计算工期TC

计算工期等于以网络计划的终点节点为箭头节点的各个工作的最早完成时间的最大值。当络计划终点节点的编号为n时，计算工期：

TC＝Max［EFin］ （5－7）

当无要求工期的时，取计划工期等于计算工期，即取：TP＝TC。 3.最迟开始时间和最迟完成时间的计算

工作最迟时间参数受到紧后工作的约束，故其计算顺序应从终点节点起，逆着箭线方向依次逐项计算。

（1）以网络计划的终点节点（j＝n）为箭头节点的工作的最迟完成时间等于计划工期TP，即：

LFin＝TP （5－8）

（2）逆着箭线方向依次计算各个工作的最迟开始时间和最迟完成时间。 1）最迟开始时间等于最迟完成时间减去其持续时间：

LSij＝LFij－Dij （5－9）

2）最迟完成时间等于各紧后工作的最迟开始时间LSLFij＝Min［LSjk的最小值：

jk］ （5－10）

或 LFij＝Min［LFjkDjk］ （5－11） 4.计算工作总时差

总时差等于其最迟开始时间减去最早开始时间，或等于最迟完成时间减去最早完成时间：

TFij＝LSij－ESij （5－12） TFij＝LFij－EFij （5－13）

5.计算工作自由时差

当工作ij有紧后工作jk时，其自由时差应为：

FFij＝ESjk－EFij （5－14）

或 FFij＝ESjk－ESij－Dij （5－15）

以网络计划的终点节点（j＝n）为箭头节点的工作，其自由时差FFin应按网络计划的计划工期TP确定，即：

FFin＝TP－EFin （5－16）

三、关键工作和关键线路的确定 1.关键工作

总时差最小的工作是关键工作。 2.关键线路

自始至终全部由关键工作组成的线路为关键线路，或线路上总的工作持续时间 最长的线路为关键线路。网络图上的关键线路可用双线或粗线标注。

【例5-1】已知网络计划的资料如表所示，试绘制双代号网络计划；若计划工期等于计算工期，试计算各项工作的六个时间参数并确定关键线路，标注在网络计划上。

网络计划资料表

工作名称 紧前工作 持续时间（天） 图如图所示。

A / 4 B / 2 C B 3 D B 3 E A.C 5 F A.C 6 H D.F 5 G D.E.F 3 【解】（1）根据上表中网络计划的有关资料，按照网络图的绘图规则，绘制双代号网络

（2）计算各项工作的时间参数，并将计算结果标注在箭线上方相应的位置。 1）计算各项工作的最早开始时间和最早完成时间

从起点节点（①节点）开始顺着箭线方向依次逐项计算到终点节点（⑥节点）。 （a）以网络计划起点节点为开始节点的各工作的最早开始时间为零：

ES1－2＝ES1－3＝0

（b）计算各项工作的最早开始和最早完成时间：

EF1－2＝ES1－2＋D1－2＝0＋2＝2

EF1－3＝ES1－3＋D1－3＝0＋4＝4

ES2－3＝ES2－4＝EF1－2＝2 EF2－3＝ES2－3＋D2－3＝2＋3＝5

EF2－4＝ES2－4＋D2－4＝2＋3＝5

ES3－4＝ES3－5＝Max［EF1－3，EF2－3］＝Max［4，5］＝5 EF3－4＝ES3－4＋D3－4＝5＋6＝11 EF3－5＝ES3－5＋D3－5＝5＋5＝10

ES4－6＝ES4－5＝Max［EF3－4，EF2－4］＝Max［11，5］＝11 EF4－6＝ES4－6＋D4－6＝11＋5＝16 EF4－5＝11＋0＝11

ES5－6＝Max［EF3－5，EF4－5］＝Max［10，11］＝11 ES5－6＝11＋3＝14

将以上计算结果标注在图中的相应位置。

2）确定计算工期TC及计划工期TP

计算工期：TC＝Max［EF5－6，EF4－6］＝Max［14，16］＝16 已知计划工期等于计算工期，即：

计划工期：TP＝TC＝16

3）计算各项工作的最迟开始时间和最迟完成时间

从终点节点（⑥节点）开始逆着箭线方向依次逐项计算到起点节点（①节点）。 （a）以网络计划终点节点为箭头节点的工作的最迟完成时间等于计划工期：

LF4－6＝LF5－6＝16

（b）计算各项工作的最迟开始和最迟完成时间：

LS4－6＝LF4－6－D4－6＝16－5＝11 LS5－6＝LF5－6－D5－6＝16－3＝13 LF3－5＝LF4－5＝LS5－6＝13 LS3－5＝LF3－5－D3－5＝13－5＝8 LS4－5＝LF4－5－D4－5＝13－0＝13

4－5LF2－4＝LF3－4＝Min［LS，LS4－6］＝Min［13，11］＝11

LS2－4＝LF2－4－D2－4＝11－3＝8

LS3－4＝LF3－4－D3－4＝11－6＝5

LF1－3＝LF2－3＝Min［LS3－4，LS3－5］＝Min［5，8］＝5

LS1－3＝LF1－3－D1－3＝5－4＝1

LS2－3＝LF2－3－D2－3＝5－3＝2

2－3LF1－2＝Min［LS，LS2－4］＝Min［2，8］＝2

LS1－2＝LF1－2－D1－2＝2－2＝0

4）计算各项工作的总时差：TFij

可以用工作的最迟开始时间减去最早开始时间或用工作的最迟完成时间减去最早完成时间：

TF1－2＝LS1－2－ES1－2＝0－0＝0

或 TF1－2＝LF1－2－EF1－2＝2－2＝0

TF1－3＝LS1－3－ES1－3＝1－0＝1 TF2－3＝LS2－3－ES2－3＝2－2＝0

TF2－4＝LS2－4－ES2－4＝8－2＝6

TF3－4＝LS3－4－ES3－4＝5－5＝0 TF3－5＝LS3－5－ES3－5＝8－5＝3 TF4－6＝LS4－6－ES4－6＝11－11＝0 TF5－6＝LS5－6－ES5－6＝13－11＝2

将以上计算结果标注在下图中的相应位置。

5）计算各项工作的自由时差：TFij

等于紧后工作的最早开始时间减去本工作的最早完成时间：

FF1－2＝ES2－3－EF1－2＝2－2＝0

FF1－3＝ES3－4－EF1－3＝5－4＝1 FF2－3＝ES3－5－EF2－3＝5－5＝0

FF2－4＝ES4－6－EF2－4＝11－5＝6

FF3－4＝ES4－6－EF3－4＝11－11＝O FF3－5＝ES5－6－EF3－5＝11－10＝1 FF4－6＝TP－EF4－6＝16－16＝0 FF5－6＝TP－EF5－6＝16－14＝2

将以上计算结果标注在下图中的相应位置。

（3）确定关键工作及关键线路。

在下图中，最小的总时差是0，所以，凡是总时差为0的工作均为关键工作。该例中的关键工作是：①－②，②－③，③－④，④－⑥（或关键工作是：B、C、F、H）。

在下图中，自始至终全由关键工作组成的关键线路是：①－②－③－④－⑥。关键线路用双箭线进行标注，如图所示。

四、双代号时标网络计划 1.双代号时标网络计划的特点

双代号时标网络计划是以水平时间坐标为尺度编制的双代号网络计划，其主要特点有： （1）时标网络计划兼有网络计划与横道计划的优点，它能够清楚地表明计划的时间进程，使用方便；

（2）时标网络计划能在图上直接显示出各项工作的开始与完成时间，工作的自由时差及关键线路；

（3）在时标网络计划中可以统计每一个单位时间对资源的需要量，以便进行资源优化和调整；

（4）由于箭线受到时间坐标的，当情况发生变化时，对网络计划的修改比较麻烦，往往要重新绘图。但在使用计算机以后，这一问题已较容易解决。

2.双代号时标网络计划的一般规定

（1）时间坐标的时间单位应根据需要在编制网络计划之前确定，可为：季、月、周、天等；

（2）时标网络计划应以实箭线表示工作，以虚箭线表示虚工作，以波形线表示工作的自由时差；

（3）时标网络计划中所有符号在时间坐标上的水平投影位置，都必须与其时间参数相对应。节点中心必须对准相应的时标位置；

（4）虚工作必须以垂直方向的虚箭线表示，有自由时差时加波形线表示。 3.时标网络计划的编制

时标网络计划宜按各个工作的最早开始时间编制。在编制时标网络计划之前，应先按已确定的时间单位绘制出时标计划表，如表所示。

时标计划表

日历 网络计划 2 3 4 5 6 7 8 9 （时间单位） 1 （时间单位） 10 11 12 13 14 15 16 双代号时标网络计划的编制方法有两种： （1）间接法绘制

先绘制出标时网络计划，计算各工作的最早时间参数，再根据最早时间参数在时标计划

表上确定节点位置，连线完成，某些工作箭线长度不足以到达该工作的完成节点时，用波形线补足。

（2）直接法绘制

根据网络计划中工作之间的逻辑关系及各工作的持续时间，直接在时标计划表上绘制时标网络计划。绘制步骤如下：

1）将起点节点定位在时标表的起始刻度线上。

2）按工作持续时间在时标计划表上绘制起点节点的外向箭线。

3）其他工作的开始节点必须在其所有紧前工作都绘出以后，定位在这些紧前工作最早完成时间最大值的时间刻度上，某些工作的箭线长度不足以到达该节点时，用波形线补足，箭头画在波形线与节点连接处。

4）用上述方法从左至右依次确定其他节点位置，直至网络计划终点节点定位，绘图完成。

【例5-2】已知网络计划的资料如表所示，试用直接法绘制双代号时标网络计划。

网络计划资料表 工作名称 紧前工作 持续时间（天） A / 3 B / 4 C / 7 D A 5 E A.B 2 F D 5 G C.E 3 H C 5 J D G 4 【解】（1）将网络计划的起点节点定位在时标表的起始刻度线上位置上，起点节点的编号为1，如图所示。

（2）画节点①的外向箭线，即按各工作的持续时间，画出无紧前工作的A、B、C工作，并确定节点②、③、④的位置，如图所示。

（3）依次画出节点②、③、④的外向箭线工作D、E、H，并确定节点⑤、⑥的位置。

节点⑥的位置定位在其两条内向箭线的最早完成时间的最大值处，即定位在时标值7的位置，工作E的箭线长度达不到⑥节点，则用波形线补足，如图所示。

（4）按上述步骤，直到画出全部工作，确定出终点节点⑧的位置，时标网络计划绘制完毕，如图所示。

4.关键线路和计算工期的确定

（1）时标网络计划关键线路的确定，应自终点节点逆箭线方向朝起点节点逐次进行判定：从终点到起点不出现波形线的线路即为关键线路。如图中，关键线路是：①－④－⑥－⑦－⑧，用双箭线表示，如图所示。

（2）时标网络计划的计算工期，应是终点节点与起点节点所在位置之差。如图中，计算工期TC＝14－0＝14（天）。

5.时标网络计划时间参数的确定

在时标网络计划中，六个工作时间参数的确定步骤如下： （1）最早时间参数的确定

按最早开始时间绘制时标网络计划，最早时间参数可以从图上直接确定： 1）最早开始时间ESij

每条实箭线左端箭尾节点（i节点）中心所对应的时标值，即为该工作的最早开始时间。 2）最早完成时间EFij

如箭线右端无波形线，则该箭线右端节点（j节点）中心所对应的时标值为该工作的最早完成时间；如箭线右端有波形线，则实箭线右端末所对应的时标值即为该工作的最早完成时间。

如图中可知：ES1－3＝0，EF1－3＝4；ES3－6＝4，EF3－6＝6。以此类推确定。 （2）自由时差的确定

时标网络计划中各工作的自由时差值应为表示该工作的箭线中波形线部分在坐标轴上的水平投影长度。

如图中可知：工作E、H、F的自由时差分别为：FF3－6＝1；FF4－8＝2；FF5－8＝1。 （3）总时差的确定

时标网络计划中工作的总时差的计算应自右向左进行，且符合下列规定：

1）以终点节点（j＝n）为箭头节点的工作的总时差TFi－n应按网络计划的计划工期TP计算确定，即：

TFi－n＝TP－EFi－n （5－17）

如图中可知，工作F、J、H、的总时差分别为：

TF5－8＝TP－EF5－8＝14—13＝1 TF7－8＝TP－EF7－8＝14－14＝0 TF4－8＝TP－EF4－8＝14－12＝2

2）其他工作的总时差等于其紧后工作j－k总时差的最小值与本工作的自由时差之和，即：

TFi－j＝Min［TFj－k］＋FFi－j（5－18）

下图中，各项工作的总时差计算如下：

TF6－7＝TF7－8＋FF6－7＝0＋0＝0 TF3－6＝TF6－7＋FF3－6＝0＋1＝1

TF2－5＝Min［TF5－7，TF5－8］＋FF2－5＝Min［2，1］＋0＝1＋0＝1

TF1－4＝Min［TF4－6，TF4－8］＋FF1－4＝Min［0，2］＋0＝0＋0＝0

TF1－3＝TF3－6＋FF1－3＝1＋0＝1

TF1－2＝Min［TF2－3，TF2－5］＋FF1－2＝Min［2，1］＋0＝1＋0＝1

（4）最迟时间参数的确定

时标网络计划中工作的最迟开始时间和最迟完成时间可按下式计算：

LSi－j＝ESi－j＋TFi－j （5－19）

LFi－j＝EFi－j＋TFi－j （5－20）

如图中，工作的最迟开始时间和最迟完成时间为：

LS1－2＝ES1－2＋TF1－2＝0＋1＝1 LF1－2＝EF1－2＋TF1－2＝3＋1＝4

LS1－3＝ES1－3＋TF1－3＝0＋1＝1 LF1－3＝EF1－3＋TF1－3＝4＋1＝5

由此类推，可计算出各项工作的最迟开始时间和最迟完成时间。由于所有工作的最早开始时间、最早完成时间和总时差均为已知，故计算容易，此处不再一一列举。