几种常用的求值域方法

芳芳创作

求函数值域的办法有图象法，函数单调性法，配办法，平办法，换元法，反函数法（逆求法），判别式法，复合函数法，三角代换法，根本不等式法等.这些解题思想与办法贯串了高中数学的始终.

1、求

yx3x1 的值域

,x14y22x,1x34,x3-1 y 4 解法一：（图象法）可化为 不雅察得值域y4y4

0 1 如图， -4 3 x 解法二：画数轴 利用ab表示实数a,b在数轴上的距离可得.

3 解法三：（利用绝对值不等式） 0 -1 x3x1(x3)(x1)4x3x1(x1)4x1x14x14 所以同样可得

值域

2yx2x5,x0,5 的值域 2、求函数

解：对称轴 x10,5

3、求函数yx21x 的值域

解：（换元法）设

21xt，则yt2t1(t0)

xxy932(x0,1) 的值域 4、求函数

解：（换元法）设3xt ，则 1t3 原函数可化为

5、求函数yx35x 的值域

解：（平办法）函数定义域为：x3,5

xy2(x0) 的值域 6、求函数

y 解：（图象法）如图，值域为0,1

1y37、求函数

x2x21 0 x 的值域

解：（复合函数法）令

1y(t1)3

ttx22x(x1)21，则1,3 由指数函数的单调性知，原函数的值域为8、求函数

yx1x2 的值域

解法一：（反函数法）

解出x,x12yyy1观察得原函数值域为1y

yx23311x2x2 ，可

解法二：（利用部分分式法）由得值域yy1

小结：已知分式函数

yaxb(c0)cxd，如果在其自然定义域

yy（代数式自身对变量的要求）内，值域为ac；如果

是条件定义域（对自变量有附加条件），采取部分分式法

adac(adbc)y将原函数化为ccxd，用复合函数法来求值域.

b3xyx31 的值域 9、求函数

3xy01y0y1解法一：（反函数法）

原函数的值域为01

1小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的规模，可t采取逆求法.

x3解法二：（复合函数法）设1t ， 1 0 1 31111t1y11xxt3131则

2yx1x10、求函数

xt的值域

1x1设xcos0,

解：（三角代换法） 小结：（1）若题目中含有a1，则可设

asin,22(或设acos,0) （2）若题目中含有

a2b21

则可设acos,bsin，其中02

（3）若题目中含有（4）若题目中含有

1x2，则可设xcos，其中0 ，则可设xtan，其中

xyr(x0,y0,r0)21x22

（5）若题目中含有

xrcos2,yrsin2

，则可设

其中

0,2

x21y2x1 的值域 11、 求函数

x21y01y2解法一：（逆求法）

1y1

2 t2 解法二：（复合函数法）设x则

y1221(t1)tx21

1t ， 2(y1)x0xy10 0 1 解法三：（判别式法）原函数可化为 t1） y1时 不成立

2） y1时，004(y1)(y1)01y1 综合1）、2）值域{y|1y1} 解法四：（三角代换法）xR则

原函数的值域为{y|1y1}

xtan,设22，

12、

求函数

y52x24x3的值域

5 t22yx4yx(3y5)5 0 解法一：（判别式法）化为

1）y0时，不成立 2）y0时，0得

0 1 t 综合1）、2）值域{y|0y5}

解法二：（复合函数法）令2x24x3t，则

y5t

所以，值域{y|0y5}

13、

函数

yx1x1的值域

解法一：（判别式法）原式可化为 x2(1y)x10

解法二：（根本不等式法）1）当x0时，

x1x2y3

x12）x0时，

x(x)1(x)2y1

综合1）2）知，原函数值域为,13,

x214、 求函数y2x2x1(x1)的值域

解法一：（判别式法）原式可化为 x2(2y)x2y0

解法二：（根本不等式法）原函数可化为y(x1)21x1x11x12(x1)

当且仅当x0时取等号，故值域为2,

x22x21y(x2)x1215、求函数的值域

解：令x1t ，则原函数可化为利用函数得

102,原函数值域为3

ytyt1(1t3)t

1t在0,1上是减函数，在1,上是增函数，

ax2bxcy2(a2d20)小结：已知分式函数dxexf ，如果在其自

然定义域内可采取判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或可以化为

y二次式一次式(或y)一次式二次式的形式，采取部分分式法，进而用

根本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用根本不等式的条件，转化为利用函数解.

yxa(x0)x的单调性去