前言
相关概念
求解双联不等式的的方法一，利用不等式的性质求解，给双连不等式的左、中、右同时减去\(1\)，得到\(1<2x<2\)，然后同时除以\(2\)，得到\(\cfrac{1}{2}<x<1\)；方法二，转化为不等式组求解，如\(\left\{\begin{array}{l}{2<2x+1}\\{2x+1<3.}\end{array}\right.\)
典例剖析
例1【整体思想】解不等式\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，
法1：原不等式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{0<\cfrac{1+lga}{1-lga}①}\\{\cfrac{1+lga}{1-lga}<1②}\end{array}\right.\)
解①\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}\)，由穿根法得到\(\cfrac{1+lga}{lga-1}<0\)，故\(-1<lga<1\)③，
解②\(\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，变形得到\(\cfrac{2lga}{lga-1}>0\)，由穿根法得到\(lga<0\)或\(lga>1\)④，
故由③④求交集得到\(-1<lga<0\)，解得\(a\in (\cfrac{1}{10}，1)\)。
法2：看到双连不等式的中间分式部分，若能联想到分式的常用变形，也可以这样求解；
由\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，得到\(0<\cfrac{lga-1+2}{1-lga}<1\)，即\(0<-1+\cfrac{2}{1-lga}<1\)，故\(1<\cfrac{2}{1-lga}<2\)，且能得到\(1-lga>0\)，
故利用倒数法则得到\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{1-lga}{2}<1\)，即\(1<1-lga<2\)，即\(-2<lga-1<-1\)，即\(-1<lga<0\)，解得解得\(a\in (\cfrac{1}{10}，1)\)，故选\(C\).
例2解不等式\(x<\cfrac{1}{x}<x^2\)；
分析：先转化为\(\left\{\begin{array}{l}{x<\cfrac{1}{x}①}\\{\cfrac{1}{x}<x^2②}\end{array}\right.\)，再用穿根法分别求解，
解①\(\cfrac{x^2-1}{x}<0\)得到\(x<-1\)或\(0<x<1\)；解②\(\cfrac{x^3-1}{x}>0\)得到\(x<0\)或\(x>1\)，
①②求交集得到，解集为\((-\infty，-1)\).
例3【2018江苏南京金陵中学检测】已知当\(0\leqslant x\leqslant 2\)时，不等式\(-1\leqslant tx^2-2x\leqslant 1\)恒成立，则\(t\)的取值范围是____________。
分析：当\(x=0\)时，不等式恒成立，则\(t\in R\);
当\(x\neq 0\)时，得到\(\cfrac{2x-1}{x^2}\leqslant t \leqslant \cfrac{2x+1}{x^2}\)在\((0,2]\)上恒成立，
令\(f(x)=\cfrac{2x-1}{x^2}=-(\cfrac{1}{x}-1)^2+1\)，最大值为\(1\)，则有\(t\geqslant 1\)；
令\(g(x)=\cfrac{2x+1}{x^2}=(\cfrac{1}{x}+1)^2-1\)，最小值为\(\cfrac{5}{4}\)，则有\(t\leqslant \cfrac{5}{4}\)；
综上可知，\(t\)的取值范围为\([1，\cfrac{5}{4}]\);