前言
案例解释
以二次三项式\(2x^2+3x-2\)的分解为例，先将二次项的系数\(2\)进行分解\(2\times 1\)，再将常数项\(-2\)进行分解\(-2\times 1\)，然后分别竖行书写，交叉相乘再相加，若其和等于一次项的系数，则分解成功；若其和不等于一次项的系数，则分解不成功，需要调整前边的分解位置。具体解释如下：
比如书写为\(_1^2\) \(\times\) \(_{\;\;1}^{-2}\)，验证，\(2\times1+1\times(-2)=0\neq 3\)，故分解失败，需要调整，如下再试，
\(_2^1\) \(\times\) \(_{\;\;1}^{-2}\)，验证，\(1\times1+2\times(-2)=-3\neq 3\)，故分解失败，需要调整，如下再试，
\(_2^1\) \(\times\) \(_{-1}^{\;\;2}\)，验证，\(1\times(-1)+2\times 2=3\)，分解成功，这样就能直接写出两个因式，将左式改写为
\(_{2\cdot x}^{1\cdot x}\) \(\times\) \(_{-1}^{+2}\)，然后横行写出即可，\((1x+2)(2x-1)\)；
故\(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)\)。
难点破解
在具体的教学实践中，数字系数的十字相乘分解基本不成问题，难在字母系数的分解；
比如，\(x^2-(m+4)x+m+3<0\)，系数分解为\(_1^1\) \(\times\) \(_{\;\;-1}^{-(m+3)}\)，即可以分解为\((x-1)[x-(m+3)]<0\)；
再比如，\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，系数分解为\(_1^1\) \(\times\) \(_{-a}^{-a^2}\)，即可以分解为即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；
常用分解
①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；
②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；
③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；
④\(x^2+(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x+a)(x+a^2)\leq 0\)；
⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；
⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-a)[x-(a+1)]\leq 0\)；
⑦\(\frac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；
⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；
⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；
⑩\(x^2-2x+1-a^2 \geqslant 0(a>0)\)，即\([x-(1-a)][x-(1+a)]\geqslant 0\)；
⑾\(\cfrac{x-a}{x-a-1}>0\)，即\((x-a)[x-(a+1)]>0\)；
特殊情形
⑿\(ab-a-b+1\geqslant 0\)，即\((a-1)(b-1)\geqslant 0\)；
⒀\(a^2-3ab+2b^2\leqslant 0\)，即\((a-b)(a-2b)\leqslant 0\)；或\((\cfrac{a}{b})^2-3(\cfrac{a}{b})+2\leqslant 0\)；