微积分-第一章函数3
1.5 函数的奇偶性
函数的奇偶性描述的是函数的对称性。在图像上：如果一个函数是关于y轴对称，我们则称它为偶函数；如果函数是关于原点对称，则称为奇函数。
考虑函数 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2,让我们画出它的图像：
我们很容易看出它是偶函数，因为它关于y轴对称。
再来看函数 f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f(x)=x3，画出它的图像。
因为它关于原点对称，所以它是奇函数。
现在，让我们从代数角度来了解函数的奇偶性。
我们说一个函数关于y轴对称，那么这意味着
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
f(-x)=f(x)
f(−x)=f(x)。这很容易可以从图像中看出。现在我们就可以用数学语言为偶函数下一个定义：
如果对于所有在函数定义域内的
x
x
x，都有
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
f(-x) = f(x)
f(−x)=f(x)，那么这个函数就被称为偶函数。
同样的，一个函数关于直线原点对称，那么意味着
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f(-x)=-f(x)
f(−x)=−f(x)。现在我们就可以用数学语言为偶函数下一个定义：
*如果对于所有在函数定义域内的
x
x
x，都有
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f(-x) = -f(x)
f(−x)=−f(x)，那么这个函数就被称为奇函数。
一个函数可能是奇的，可能是偶的，也可能是非奇非偶的，大多数函数是非奇非偶的。只有一个函数是即奇又偶的，他就是对所有x成立的 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0。
考虑函数
f
(
x
)
=
l
o
g
10
2
x
4
−
3
x
2
f(x)=log_{10}{2x^4-3x^2}
f(x)=log102x4−3x2,我们怎么判断它的奇偶性呢？方法很简单，只需要将每个
x
x
x替换成
−
x
-x
−x,并计算
f
(
−
x
)
f(-x)
f(−x)。然后进行化简，如果得到
f
(
x
)
f(x)
f(x)则说明是偶函数，得到
−
f
(
x
)
-f(x)
−f(x)则说明是奇函数。如果都不是则是非奇非偶的。
f
(
−
x
)
=
l
o
g
10
2
(
−
x
)
4
−
3
(
−
x
)
2
=
l
o
g
10
2
x
4
−
3
x
2
=
f
(
x
)
f(-x)=log_{10}{2(-x)^4-3(-x)^2}=log_{10}{2x^4-3x^2}=f(x)
f(−x)=log102(−x)4−3(−x)2=log102x4−3x2=f(x)
因此
f
(
x
)
f(x)
f(x)是偶函数。
若函数
g
g
g和
h
h
h均是奇函数，那么
f
(
x
)
=
h
(
x
)
g
(
x
)
f(x)=h(x)g(x)
f(x)=h(x)g(x)的奇偶性是什么呢？让我们从
f
(
−
x
)
f(-x)
f(−x)开始，我们有
f
(
−
x
)
=
h
(
−
x
)
g
(
−
x
)
f(-x)=h(-x)g(-x)
f(−x)=h(−x)g(−x)。因为
g
g
g和
h
h
h均是奇函数，所以
f
(
−
x
)
=
(
−
h
(
x
)
)
(
−
g
(
x
)
)
=
h
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
f(-x)=(-h(x))(-g(x))=h(x)g(x)=f(x)
f(−x)=(−h(x))(−g(x))=h(x)g(x)=f(x)
我们可以得到两个奇函数的乘积是偶函数。除此之外，我们还有，两个偶函数之积仍未偶函数，奇函数和偶函数之积是奇函数。大家可以尝试自己取证明它们。
1.6 函数的增减性
考虑函数
f
(
x
)
=
2
x
+
5
f(x)=2x+5
f(x)=2x+5.画出它的图像
不难发现：对于函数定义域内所有的 x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2，都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) f(x_1)<f(x_2) f(x1)<f(x2)。这种函数称为增函数。增函数在图像上表示为，函数从左到右的向上倾斜。
如果对于所有 x 1 < x 2 x_1<x_2 x1<x2，都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) f(x_1)>f(x_2) f(x1)>f(x2)，那么函数 f f f被称为减函数。在图像上，减函数的图像是从左到右向下倾斜的。如函数 f ( x ) = − 2 x + 5 f(x)=-2x+5 f(x)=−2x+5
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