最少拦截系统(DP两种写法&详细解析)

 某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统.但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能超过前一发的高度.某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭.由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹.
怎么办呢?多搞几套系统呗!你说说倒蛮容易,成本呢?成本是个大问题啊.所以俺就到这里来求救了,请帮助计算一下最少需要多少套拦截系统.

Input

输入若干组数据.每组数据包括:导弹总个数(正整数),导弹依此飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数,用空格分隔)

Output

对应每组数据输出拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统.

Sample Input

8 389 207 155 300 299 170 158 65

Sample Output

2

题意描述：本题就是给你多个数，统计里面的单调递减子序列最少有几个，大概就是先找第一个最长的递减子序列(第一个拦截系统)，然后在剩下的序列里面接着找最长的递减子序列，看一共有多少个递减子序列。

本题可以用三种方法写，一种是贪心，一种是DP，一种是利用序列本身的性质通过一个辅助数组统计最长递增子序列的长度（这里只讲dp的两种写法）

贪心：假设发射了很多很高的导弹（无穷大的那种），在读入第1个炮弹时，一个导弹降下来拦截，之后每读入一个新的炮弹，都由能拦截它的最低的那个导弹来拦截，最后统计拦截到的导弹的个数（即最少需要拦截系统的套数）

DP1：这个题实际上就是求原序列的LIS（最长递增子序列），根据题意，我们可以先自己模拟一下拦截导弹的过程，然后定义状态dp[i]（代表以第i个数为结尾的最长递增子序列的长度，也表示有多少个递减子序列）及dp[i]=max{0,dp[j]+1},0<j<i。答案为max{dp[i]}.

下面是我自己根据题目给的数组做的第一个AC的表格

DP2：对于第二个AC可能更好理解，可以单纯的看成dp求最长的递增序列长度（）的计算，大概就是先用数组定义所有的数字本来是自己包含的最长有序子列长度为1，然后用for循环来判断某个数字和它前面的数字的大小情况。如果是小于这个数的话，记录++；然后再先一个循环求出最长的那个序列

这个题本质和Longest Ordered Subsequence（最长有序子序列）差不多，感兴趣的可以做一下，我的博客：

DP AC1

DP AC2

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(void)
{
	int n,f[1050],dp[1050];
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&f[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			dp[i]=1;
			for(int j=1;j<=i;j++)
			{
				if(f[j]<f[i])
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			}	
		}
		int ans=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(ans<dp[i])
				ans=dp[i];
		}
		printf("%d\n",ans);
		
	}
	
	
	return 0;
 }