非线性动力学-胡海岩

一、自治系统平衡点的稳定性

由于实际系统总有干扰或误差，稳定性的意义在于任何初始扰动导致随后的运动任意小，稳定性包括三种：稳定、渐近稳定和不稳定。稳定性的定义具有多个，Lyapunov意义的稳定性是其中最基本的一个，它包括线性系统的稳定性问题。线性系统稳定性属于全局稳定性，而非线性系统的稳定性是一个局部性概念。

考察如下自治系统

f(u)，f:URnRn u式中U为定义域，是欧氏空间中的一个子集，平衡点满足f(us)0。

（1）

f(t,u)，可将平衡点或周期解的稳定性化为零解的稳定性问题。一般地，例如对于一般非自治系统uf(t,u)us(t)f(t,xus)f(t,us)，此时该方程的零解其周期解为us(t)，令uxus，可得x对应于原系统的平衡点或周期解。

1．Lyapunov直接方法

（1）Lyapunov函数

单值可微函数V(u)V(u1,u2,,un)，满足V(0)0，其定义域为UuuH，

Hconst0（这里表示连续系统的范数，表示离散系统的范数）。

[定义1] 若在U内恒有V(u)0——正常号函数；V(u)0——负常号函数，统称为常号函数，否则称为变号函数。

[定义2] 当且仅当u0时，V(0)0，称正常号函数为正定函数；负常号函数为负定函数，统称为定号函数。若V0u0时，称正常号函数为半正定函数；称负常号函数为半负定函数，统称为半定号函数。

222例1．V(u1,u2,u3)u1，正定函数 u2u322 V(u1,u2,u3)u1u2，正常号函数，除(0,0,0)外，还有(0,0,u3)使V0

V(u1,u2,u3)u1u2u3，变号函数

222例2．V(u1,u2,u3)(u1u2)(u2u3)(u3u1)，当u1u2u3时，V0，所以V常正。 22 V(u1,u2)u1sinu2，正常号函数，除(0,0)外，还有(0,n)使V0

222 1

V(u1,u2,u3)(u1u2)2(u2u3)2(u3u1)2，除(0,0,0)外，V0，所以V定正。

u1) V(u1,u2,u3)k(1cos

（2）Lyapunov定理

212u2，u3可取任意值，所以V常正。 2(u)为半负定（半正定）或定理1 （稳定性定理）：若存在正定（负定）函数V(u)，其沿解曲线全导数V等于零，则原点稳定。这里全导数为

VV(u)Vu12nV(u)u Vuuu1u2un其中V(u)(（2）

VVV,,,)。 u1u2un(u)为负定（正定）定理2 （渐近稳定性）若存在正定（负定）函数V(u)，其沿解曲线全导数V，则原点

渐近稳定。

(u)定理3 （不稳定性）若存在正定（负定）、半正定（半负定）或不定函数V(u)，其沿解曲线全导数V正定（负定），则原点不稳定。

证明：以二维系统为例作几何直观证明。在三维空间(u1,u2,V)作正定曲面与原点相切，如图1所示。 VS2p/S3Su1pSS1V过最低点作平面与 交于S 2 其投影S3 与S 相切 p/u2Su1pu2 图1. 定理1和2几何解释 图2. 定理3几何解释 (u)半负定或等于零，则从S内出发的任意相点p，在上对应点p/的运动不可能上行而必局限(a） 若V于S2曲线的下方，导致从S内出发的相轨线不能越出S，根据Lyapunov稳定性的定义，稳定。

(u)负定，则对应点p/必沿曲面下行至最低点，导致p趋于原点，渐近稳定。 (b） 若V 2

(u)正定，则p/必沿曲面上行，以致p将达到S的边界，不稳定，如图2所示。 (c） 若V(u)不定，而V说明：

（1）不稳定性并不意味着系统轨迹随时间无限“膨胀”，例如van del Pol自激系统的零平衡点在Lyapunov

意义下是不稳定的，但系统趋于定幅为2的运动，而不是趋于无限。在这个意义上，可以认为该系统的性能仍是好的。可见，“膨胀”只是不稳定性出现的一种形式，而不是唯一形式。 （2）不稳定性意味着：只要对于某一个，不论如何小，使得起始于初值的轨迹最终要离开球域，仅仅在这个定义上才是不稳定的。在如图3所示情况下，可以有另外的概念：即该平衡点虽不稳定但具有吸引性。 u2eou1 图3 不稳定但具有吸引性的平衡点

例3 考察刚度软化的Duffing系统

u220u0(uu3)0

式中参数均为正，研究其平衡点的稳定性。

解：将方程(a)改写为

uu1uu22f20(u1u31)20u(u) 2该系统具有三个平衡点(0,0)及(1/,0)，以下分别讨论它们的稳定性。 a. 对于平衡点(0,0)，取系统总能量为Lyapunov函数

14V(u22u1121,u2)20(u12)2u2

显然，在除去(0,0)的邻域中V(u1,u2)0，而根据方程(b)

VV(u)f(u)20(u1u31)u2321u2u2[0(u1u1)u2]u220u20 根据定理2，该系统的平衡点(0,0)渐近稳定。 b. 平衡点(1/,0)是对称的，我们只需研究(1/,0)。通过坐标平移

v1u11/

3

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

将方程(b)转化为

v2v12vg(v) 2320(2v13v1v1)20v2vv1412V(v1,v2)(vv)v2

42202131(f)

仍以系统总能量构成Lyapunov函数

(g)

V(v1,v2)为不定函数。而在除去(0,0)的邻域中，恒有

V(v)g(v)2(2v3v2v3)v1v2v2V01112]v220v0 [(2v13vv)v20213122 (h)

根据定理3，该系统的平衡点(1/,0)皆不稳定。

（3）吸引盆

稳定性是一个局部概念，说明初始扰动充分小时，受扰运动足够接近未扰运动。实际系统当这个扰动足够大时可能呈现不稳定，例如

21u2u1(u12u2u105)2u1u2(uu10)u2221225 (a)

选定正定函数Vu1u2为Lyapunov函数，其全导数为

2(u2u2)[u2u2105] V1212225225(b)

(u)负定，零解渐近稳定。但当uu10时，V(u)正定，零解不稳定。 只有u1u210时，V12吸引盆：能使扰动运动逐渐地趋于未扰运动的初值范围称为吸引盆。

说明：在实际问题中，不仅需要判定稳定性问题，还要给出渐近稳定运动的初始扰动范围，即吸引盆的范围。尽可能找到大的Lyapunov函数以确定较大范围的稳定区域，否则，虽然Lyapunov函数存在，但是若其稳定区域很小或空集，同样是无意义的。

2．根据派生系统判定稳定性

将方程（1）在u0附近作Taylor展开得

f(u)Df(0)uO(u)=AuO(u) u22（3）

（4）

其中矩阵

ADf(0)Rnn

def 4

是向量函数f(u)在u0处的Jacobi矩阵。因此，系统（3）对应的派生系统为

Au u（5）

期望从派生系统（5）的稳定性来判断系统（3）的稳定性。为此，我们先回顾有关线性系统稳定性的研究

结果，然后给出对非线性系统稳定性判断的二个充分条件。

(1) 线性系统的稳定性

定理4 记矩阵A的特征值为r,r1,2,,n，系统（5）的稳定性分为三种情况： a. 如果Re(r)0,r1,2,,n，则系统渐近稳定；反之亦然。 b. 如果存在某一r使得Re(r)0，则系统不稳定。

c. 如果在r,r1,2,,n中有m重特征值（代数重数）满足Re(r)0,rl1,,lm，当对应的特征子空间维数（几何重数）为m时，系统稳定，但非渐近稳定；当特征子空间维数小于m时，系统不稳定。

特征值满足一元n次代数方程

det(AI)a0na1n1an1an0

（6）

若系统维数n5，则可用代数方法求解，否则只能用数值方法求。Routh和Hurwitz提出了一种方法，可以根据方程（6）的系数判断特征值的实部是否为负，从而免去求解方程（6）。它特别适用于含参数高维线性系统的渐近稳定性分析。

定理5 (Routh-Hurwitz判据) 方程（6）的所有根有负实部等价于下述所有行列式同号

defdefdefa1a00a0,1a1,2det,aa23a1aa01def0adefdetaaa,,det321n33a5a4a3a2n1

a0a2a2n20 0an（7）

构造上述行列式时，若rn则取ar0。

(2) 非线性系统的稳定性

定理6 若派生系统（5）渐近稳定，则系统（3）的原点亦如此。 证明：先取一待定的对称矩阵BR

nn，构造二次型作为Lyapunov函数

（8）

V(u)uTBu

它沿派生系统（5）相轨线的全导数为

5

显然

(u(t))uTBuuTBuuT(ABBAT)uuTCu Vdefdef（9）

CABBAT

（10）

是对称矩阵。由于派生系统渐近稳定，矩阵A的特征值r,r1,,n皆有负实部。根据附录，如果取负定矩阵CI，可由方程（10）解出唯一的对称矩阵B。

现证明这样的矩阵B正定。若不然，则二次型（8）将是不定号函数、常负函数或常正函数中的一种。对于前两种情况，总有某一u00使V(u0)0，进而对一切常数c0有V(cu0)c2V(u0)0，这说明在除去原点的邻域内恒有V(u)0。根据定理3，这将出现系统（5）不稳定的矛盾。对于第三种情况，必有某一u00使V(u0)0。但沿过该点的相轨线上仍有

(u(t))uTCuuV220

（11）

这与V(0)0矛盾。

最后，我们用正定二次型（8）来证明系统（3）原点渐近稳定性。根据式（2）和（11），V(u)沿系统（3）相轨线的全导数为

(u(t))V(u)f(u)uV22V(u)O(u)

2（12）

由于V(u)O(u)，只要u足够小，上式可保持负定。根据定理2，系统（3）的原点渐近稳定。证毕。

定理7 若派生系统（5）的某一特征值有正实部，则系统（3）的原点不稳定。

上述两定理表明：只要派生系统的特征值实部不为零，就可免去构造Lyapunov函数，用Routh-Hurwitz判据确定派生系统的特征值实部的符号，从而推断非线性系统的渐近稳定性或不稳定性。这是工程中最常用的方法。

需要注意的是：这两个定理恰好对应于定理.4中的前二种情况。对于第三种情况，非线性系统原点的稳定性将取决于系统的非线性项。

例4 考察含立方非线性阻尼的系统

cu3u0 u（a）

分析其平衡点的稳定性。

解：将方程（a）改写为

1u2u01u10 u332u1cu210u2cu26

（b）

该系统有唯一平衡点(0,0)，对于派生系统，它是一中心。取系统总能量为Lyapunov函数

V(u1,u2)1212u1u2 22（c）

显然，在除去(0,0)的邻域中V(u1,u2)0，而

4uuV11u2u2(u1u2)u2cu2

（d）

存在如下三种可能性：

0，系统原点稳定，但非渐近稳定； a. 若c0，则V0，系统原点渐近稳定； b. 若c0，则V0，系统原点不稳定。 c. 若c0，则V这说明，非线性项将使派生系统的中心成为稳定或不稳定焦点。因此，派生系统的稳定性并非能保证原系

统的稳定性。

例5 考察含立方非线性弹性力的保守系统

ku30 u（a）

分析其平衡点的稳定性。

解：将方程（a）改写为

1u201u10uuku300uku3 2112T（b）

该派生系统有2重特征值120，但仅有1个特征向量10。根据定理4，派生系统不稳定，但该保守系统的平衡点为3阶中心，是稳定的。

构造正定Lyapunov函数V

二、非自治系统平衡点的稳定性

1．稳定性概念的拓广

k420，原非线性系统稳定，但非渐近稳定。 u1u20，全导数V4f(u,t)，f:URRn u（13）

式中R{t0t0t}为时间正半轴。记us为式（13）的孤立平衡点，满足f(us,t)0，与时间有关。 [定义1] （孤立平衡点）若us在R中存在一个邻域N，使得除us外，N只包含（13）的不平衡点，则称平衡点us是孤立的。

7

n例如：保守系统的中心，单摆的平衡点均为孤立平衡点；而位于一条水平直线上的小球处于随遇平衡，这些平衡点是非孤立的。

[定义2] 0，(,t0)0，使u(t0)us(,t0)时，运动满足

u(t)us，tt0

t（14）

则平衡点是稳定的，否则为不稳定。在稳定的条件下，有limu(t)us，则平衡点是渐近稳定的。 说明：

（1）与自治系统的区别：与t0有关。若与t0无关，则称平衡点是一致稳定的或一致渐近稳定的。 （2）在自治和周期系统的情况下，稳定性等价于一致稳定性；渐近稳定性等价于一致渐近稳定性。

2．Lyapunov直接方法

（1）预备知识

考察单值可微函数：V(u,t)V(u1,u2,,un,t)，V(0,t)0，其定义域为

{(u,t)uH，tt0}，Hcosnt.0，t00

（15）

[定义1] 若V(u,t)在定义域内恒有V(u,t)0或V(u,t)0，则称V(u,t)分别为正常号函数或负常号函数，统称为常号函数。

[定义2] 若存在正定函数W(u)，使得V(u,t)W0，则称V(u,t)为正定函数；若V(u,t)W0，则称V(u,t)为负定函数，统称为定号函数。

[定义3] 若V(u,t)在上有界，且0，tt00使得当u时，恒有V(u,t)，则称V(u,t)具有无穷小上界。

说明：

（1）不显含时间的连续函数具有无穷小上界。

（2）当显含时间时，有界函数不一定具有无穷小上界，如函数Vsin[(u1u2un)t]1。

例1 判定V是何种符号函数 （1）V(u1,u2,t)t12t122t2u1(1sint)u2u2 ；（2）V(u1,u2,t)(1e)u1t1t122u1符号不定，t1222解：（1）当t1时，V0，常正函数。取W(u1,u2)u1u2，VWu2sint12t322t2u2，当t3（2）取W(u1,u2)u1u20定正，VWeu1V常正，非正定。

22(t1)

8

时，VW0，V定正。 例2 判定V是否有无穷小上界

222（1）V(1cost)u1（2）Vtu1（3）Vsin(u2t)；u2sint；

122u1(1et)u2。 1t解：（1）当u10，u20时，sin(u2t)可以比较大，没有无穷小上界。（2）V无界，没有无穷小

上界。（3）当t0时，若u10，u20V0，有无穷小上界。

（2）Lyapunov定理

将平衡点平移到原点，下面研究原点的稳定性问题

定理1 （稳定性定理）若存在定号函数V(u,t)，沿解曲线全导数V异号的常号函数或恒为零，则原点稳定。

VV(u,t)f(u,t)是与V(u,t)t(u(t),t)是与V(u,t)异定理2 （渐近稳定性定理）若存在无穷小上界定号函数V(u,t)，沿解曲线全导数V号的定号函数，则原点渐近稳定。

定理3 （不稳定定理）若存在连续可微、具有无穷小上界函数V(u,t)，在原点任意邻域内总有u使得

V(u,t0)0或V(u,t0)0，而沿解曲线全导数正定或负定，则原点不稳定。

1(1sin2t)u1(1sintcost)u2u例3 考察参激系统平衡点的稳定性。 22(1sintcost)u1(1cost)u2u2(uu解：取正定函数V(u1,u2)u1u2，V11u2u2)2(u1u2)2(u1sintu2cost)0，

22222常负，原点稳定。

为负定函数，原点渐的定号性，取Wuu，VW2(usintucost)0，V判定V1212222近稳定。

u1e2tu1(42sint)u2例4 考察系统平衡点的稳定性。 12t2(1e)u1u2u42sint解：V(e2t222，正定，当t0时V0，)u12(42sint)u2VWe2tu122u2sint，Wu124u20，原点稳定。 2[e2t(2e2t)u2(1cost)u2]，当t0时VV定正。全导数为V12

u(2sint)u0原点的稳定性。 例5 考察Mathieu方程u 9

21u2uu22解：状态方程为，取正定函数Vu1，全导数为

2(1sint)u1u22sintu42sintcostu20，t0，u，u，原点是稳定的，由于具有周期系数，该原点也是V212(2sint)2一致稳定的。

p(t)uetu0。将之表示为状例6 Lyapunov理论的一个重要用途是获得稳定性的条件，考察系统u1u2u态方程的形式，目的是选取参数p(t)使得原点稳定。为此，取正定函数t2eu1p(t)u2u2总是非正的，平衡点etu2[12p(t)]。因此，只要p(t)1，t0，V，全导数为VVu12etu222是稳定的。

说明：对于非自治系统，一般无法根据派生系统的稳定性来推断原系统的稳定性，如u生系统的解为u(t)u(t0)uu3，其派t1t1，当tt01时，原点不稳定，但是原系统的原点是渐近稳定的。 t01u1(1et)u1(4sint)u2习题：考察系统平衡点的稳定性。 1t2(1e)u1u2u4sint

10

三、平衡点附近相轨线的结构

（1）线性系统

Au的矩阵特征值重数（代数重数）与特征向量所张成的子空间维数（几何重数）相同（半[定义1] 设u简情况），定义 a. 对应Re(r)0，Esspan{r1,r2,,ns}——稳定子空间； b. 对应Re(r)0，Ecspan{r1,r2,,nc}——中心子空间； c. 对应Re(r)0，Euspan{r1,r2,,nu}——不稳定子空间。

其中nsncnun。从线性代数知R应为以上三个子空间的直和：REEE。 直和：设L，L1，L2为线性空间V的子空间，若LL1L2，且L中每一元素只能唯一地表示为nnscux(L1，L2)，则称L是L1与L2的直和，记为LL1L2。 EuEEs(a)cEs(b)图4 不变子空间 （a）A01，(Esspan(1,4)，Ecspan(1,0)，Eu) 04110cu（b）A110，(Esspan{(1,0,0)，(1,1,0)}，E，Espan(0,0,1))

020

r说明：（1）子空间E，E，E对流e是不变子空间，含义：任取初始点u0E，rs,c,u，当tt0scutA后相轨线恒有u(t)E；（2）流：由定义域所有点到值域的所有解曲线的总称。

r 11

证明：对于半简情况，化为Jordan型ATJT1，etATeTJt1e1t0e2t0。若u0Es，ntetAtA当t时eu00；若u0Eu，当t时eu0；若u0Ec，对任意t，etAu0保持不

变。

（2）非线性系统

非线性系统一般不存在上述三个不变子空间，但具有类似不变性质的集合。将平衡点平移到原点，记以原点为中心的一个邻域为(0)0，从其中出发的相轨线为t(u)，引入三个集合： a. W{u(0)tt0，t(u)(0)且limt(u)0}——局部稳定流形；

tsb. W{u(0)tt0，t(u)(0)且limt(u)0}——局部中心流形；

tcc. Wu{u(0)tt0，t(u)(0)且limt(u)0}——局部不稳定流形。 t (a)(b)(c)(d)(e)(f) 图5 (a)~(b)是流形；(e)和(f)不是流形

说明：（1）流形：降维光滑映射，有严格的数学定义，这里可简单理解为相空间中的曲线或曲面，如图5所示；（2）线性常微分方程系统，其流形为u0的邻域：WE，WE；（3）W，W和W对向量场而言是不变的，即若起始点在流形上则整条相轨迹也在此流形上，统称为不变流形；（4）W，W是唯一的，而W并不唯一，即limt(u0)方向不定，并可能失去光滑性。

tssuusucsuc

定理1 （中心流形定理）设向量函数f(u)C，r1（r阶导数存在且连续），则存在

r 12

a. 在(0)内并且在原点与E和E分别相切、唯一C阶光滑的W和W； b. 在(0)内并且在原点与E相切、但不唯一的Csucsursur1阶光滑的W。

cc几何解释：在W上相轨线收缩；在W上相轨线扩张；在W上系统的局部可能扩张，也可能收缩或更复杂，这取决于系统的非线性，如图6所示。 EcWcWsEsoWu图6 平衡点的子空间和流形 Eu 双曲平衡点：与W对应的中心子空间为零维（矩阵A每个特征值都有非零实部），否则为非双曲平衡点。若平衡点为双曲的，则非线性系统和线性系统是局部拓扑等价的（局部具有相同的轨线结构）。

c1u1u例1 考察系统在平衡点(0,0)附近的相流结构。 22u2u1u110u1u10解：线性化系统为，其中A，矩阵A特征值为s1，u1，相应01uu0122特征向量为s，u。特征子空间：Esspan(0,1)——u2轴；Euspan(1,0)——u1轴。因此线性化系统的平衡点(0,0)为双曲鞍点，线性系统的稳定和不稳定流形与稳定子空间和不稳定子空间重合，如图7（a）所示。 0110u2EuEsu2Wu1uuEWssoEou1(a) 线性系统(b) 非线性系统 图7 13 原非线性系统可以化为

du2u1u12，过(0,0)的特解为u2u12

3du1u1u（a）

稳定流形：Ws{(u1,u2)u10}；不稳定流形：W1{(u1,u2)u2u12}

3t（b）

稳定流形上的相轨迹：(u1,u2)(0,u20et)；不稳定流形上的相轨迹：(u1,u2)(u10e,u20e) 对于非线性系统，子空间和流形如图7（b）所示。

132t1u1u例2 考察系统在平衡点(0,0)附近的相流结构。 2u2u2110u1u解：线性化系统为uu0022u1A，矩阵A特征值为c0，s1，相应特征向量为u201c，s。特征子空间：Esspan(1,0)——u1轴；Ecspan(0,1)——u2轴。线性化系统

10精确解为

(u1,u2)(u10et,const.)

因线性化系统的平衡点为(0,const.)，其流形如图8（a）所示，分别是 （a）

Ws{(u1,u2)u1,u2满足(a)}；Wc{(0,u2)u2R} （b） u2=EcWEssu2ou1Wsou1=EsWc(a) 线性系统(b) 非线性系统图8 原非线性系统第二个方程精确解为u21u21u20u20，联立第一个方程精确解（a），从中消去t得到1u20t（c）

u1Ke，Ku10e

由方程（c）可知，当u2从负方向趋于零时u10；当u2从正方向趋于零时u1。因此，相迹在原点的导数不连续，说明W不唯一，如图8（b）所示。为了使相迹在原点的导数连续，可取中心流形为

14

cu10，u201W(u1,u2) u2uKe，u201c（d） 此稳定流形在零点导数唯一，如图9所示。 cu =E2Wcosu =E1W图9 c 这样选择的稳定流形对不同的K值虽有不同的中心流形，即W不唯一，但其在原点的导数是唯一的，以保证W的Taylor展开式是唯一的（以便计算中心流形）。

四、向量场在平衡点附近的规范型

1．PB（Poincare-Birkhoff）规范型

思想：利用近于恒等的非线性变换，将系统在平衡点附近简化，但保留其本质动力学特性。

（1）n维自治系统

ccf(u)，f:URnRn uk这里f(u)足够光滑（或fC，k为大值），U为定义域，f(0)0。将上式Taylor展开为

k1（1）

f(u)Aug2(u)g3(u)gk1(u)hk(u)O(u)

（2）

i式中ADf(0)，g2(u)——双线性，g3(u)——三线性项。gi(u)Hn，i2,3,k1是已简化k了的项；hk(u)Hn是待简化的项。

kk定义Hn：Hn为k次基空间，以n个变量所有k次奇次多项式的每一个k阶单项式作为基张成的向量空

间，其维数为

kn1NdimHnnCn)(n1) k1n(nk1（3）

15

2a1u12b1u1u2c1u2例如：（1）二维系统（n2,k2），g2(u)au2buucu2，使用反字典顺序形成基空间

2122221e6e4e3e2e5e122u1u1u2u2000,，其维数N2(221)(21)6。g2(u)是由这些基向,,,,22u1u1u2u2000量张成：g2(u)a2e1b2e2c2e3a1e4b1e5c1e6。

323p1u1p2u12u2p3u1u2p4u2N8。 （2）二维系统（n2,k3），g3(u)pu3pu2upuu2pu3，维数

6127128251（3）四维系统（n4,k3），维数N80。

说明：向量空间的维数随n和k的增加迅速增大。

目的：选择如下的近恒等的非线性变换

k uvqk(v)，qk(v)Hn（4）

a1v1kb1v1k1v2kk1avbvv21212将hk(v)化为最简形式，其中qk(v)。 avkbvk1vn12n1

将方程（4）代入方程（2）得到

vDqk(v)v[IDqk(v)]v 左端：u右端：

（5）

f(u)A(vqk(v))g2(vqk(v))gk1(vqk(v))hk(vqk(v))AvAqk(v)g2(v)gk1(v)hk(v)O(vk1) （6）

根据二项式定理

[IDqk(v)]1IDqk(v)

因此

（7）

(IDqk(v))(AvAqk(v)g2(v)gk1(v)hk(v)O(vvAvg2(v)gk1(v)hk(v)[Dqk(v)AvAqk(v)]O(v式中hk(v)是待简化的多项式。

k1))))k1 （8）

定义同调算子adA：一个线性算子，关于qk(v)为adAqk(v)Dqk(v)AvAqk(v)，adA:RnRn。

kkkkk记Fnk：同调算子adA在Hn上的值域；Gn：值域Fnk在Hn中的补空间，Hn。 FnkGn 16

将待简化多项式hk(v)分解为两部分：一部分属于值域，一部分属于补空间

hk(v)fk(v)gk(v)

因此，只要取方程（8）式中qk(v)满足如下同调方程

（9）

adAqk(v)fk(v)0

则可消去待简化项hk(v)中属于值域的可解部分，仅剩补空间中gk(v)，因此方程（8）简化为

（10）

Avg2(v)gk1(v)gk(v)O(vvk1)

（11）

上式称为第k阶PB规范型或第k阶PB范式。略去k阶以上量得

Avg2(v)gk1(v)gk(v) v称为k阶截断PB规范型或k阶截断PB范式。

（2）n维非自治系统

（12）

f(u,t,p)，作法类似于自治系统，只是多项式变换中的系数为时间t和m个参变量p的函数，如u这里f(0,t,0)0。可以将其扩张到高一维的自治系统

f(u,t,p)u，uURn，tR，pPRm t1p0在(0,t,0)附近作Taylor展开，寻求如下形式的范式

（13）

vA(t)vB(t)pg2(v,t,p)gk(v,t,p)O(vt1p0说明：

k1,pk1)

（14）

（1）在PB方式中消不去的每一项gi,i2,3,k1,k都属于值域在各自Hn中的补空间。

n1（2）空间Hn维数nCni1随n,k的增大迅速爆炸，因此，向量场的展开式非常复杂。

i（3）子空间Gn维数比Hn维数小得多，因此，向量场变换为范式后，其项数大大减小，便于定性研究。 i（4）PB范式不唯一，取决于补空间Gn的选择。

iii（5）在平衡点附近，k阶截断范式与原系统拓扑结构存在密切关系，但不一定完全相同，相近程度未知。

17

（6）k阶PB范式当k时不必收敛，即使f(u)解析，方程（11）当k也不一定收敛。但是对

于阶数不太高的PB范式通常就能提供定性研究的主要信息，因而是定性研究的一个重要工具。

2．PB范式的计算

k（1）选择属于Hn的一组基函数g2(u)a2e1b2e2c2e3a1e4b1e5c1e6。

（2）求同调算子adA在这组基下的矩阵LNN（值域为Fnk）。

k（3）求Lnn的复共轭转置L，其零空间N(L*)Gn（T.Fredholm择一性定理），解Lx0的基础解系。

m**~(v),e~(v),,e~(v)和g(v)ce（4）写出对应于补空间G的基函数er~r(v)，这里m为补空间的12mkknr1维数。得到范式。 （5）确定常数cr。

Fredholm择一性定理：设H,GHilbert空间（完备的内积空间），L为线性有界算子（零空间维数和值空

*间的余维数均为有限），对xH,yG，内积(Lx,y)(x,L*y)成立，这里L为共轭算子，则

k(Fnk)GnN(L*)。

证明：(Lx,y)(x,L*y)，当yN(L*)时，即L*y0(Lx,y)0，该式对xH都成立，

y(Fnk)，即N(L*)(Fnk)。

此外，当对y(Fnk)时，对xH，有(Lx,y)0(x,L*y)，又因L*y0，所以yN(L*)，即(Fnk)N(L*)。

kk 综上所述，有(Fnk)N(L*)，因此Hn(Fnk)N(L*)，所以可以选取GnN(L*)。

k说明：Gn的选择不唯一，但其在一定的意义下是等价。

AuO(u)，A例1：计算二维系统u2解：（1）选择一组属于H2的基：

201的二阶截断Normal Form。 00 18

{e01,e2,,e6},0v,0,v221,v1v2,v2v2 11v2v22000（2）计算同调算子adA在这组基下的矩阵Lnn：

adAq(v)Dq(v)AvAq(v)q1q1v1vq201vq22v1v00101v2q1

00q22因此

ade00v2010v21A12v10000v212e2v2e4 1v2ad00v201Ae2vv0v1v221000vv2e3e5 1v22adAe3e6，adAe42e5，adAe5e6，adAe60 00000002100200000010L0100000001001100000，L*000020000010200000001001010000000（3）求L*x0的基础解系，得到

2x2x40x3x50xx42x260xx 2x35x6050x60令x10,x21和x11,x20可得两个基础解系为

{(010200),(100000)}{e22e4,e1}

它是零空间中的一个基。

（4）对应于补空间Gkn的基为

19

（a）

（b）

（c）

（d）

e~h）

（i）

（j）

（k）

（

202v1~,e~}, {e122v1v2v1（l）

2任何g2G2都可写为

2c1v12~~ g2(v)c1e1c2e22c1v1v2c2v1导致二阶范式为

（m）

1v22c1v12vAvg2(v) v22c1v1v2c2v1v（n）

式中c1,c2为待定常数。此式含义为：除此形式外的所有可能组合都可通过同调方程消去，只有g2(v)消不去。

（4）确定常数c1,c2

22u1v1a1v1a2v1v2a3v2常数c1,c2与非线性项有关，取近恒同变换代入方程的Taylor展开

22u2v2b1v1b2v1v2b3v2式中，并与PB范式比较同次幂系数，进而确定所有待定常数。

说明：

（1）上述方法为矩阵法，此外还有共轭算子法、李代数等。 （2）PB范式不唯一。例如

22vvcv0v11211~加上e构成新的G2基：e~e)1，e~，则ˆ1(eˆ(a) 取e。 e21522v22021v2c2v12v12~~*(v)e~(v)(v)，，并定义e(b) 再如，取值域中的一个向量(v)2adAe2114vv1200***~~~~则{e1(v),e2(v)}e2(v)e2(v)，5vv,v2作为新的补空间的基得到另一个二阶截断1211v2v范式为。 22c1v1v2c2v1v

00例2：计算矩阵A00的二维系统的范式。

622解：由于A0，因此同调算子在基（a）中的表示矩阵为L20，故L*于是N(L*，G2H220。2)R，

20

可取上例式（a）作为补空间的一组基，任何g2G都可写为g2(v)321c4v12c5v1v2c6v2O(v)v。 322v2c1v1c2v1v2c3v2O(v)22ceii16i，因此得到二阶范式为

kk类似地，对于k3也有G2。因此，本例k阶PB范式就是向量场的k阶Taylor展开式。 H2例3：计算矩阵A01的二维系统的范式。 1021v2(c1v1c2v2)(v12v2)O(5)v答案：

22v2v1(c1v2c2v1)(v1v2)O(5)

3．共振与非共振

思想：若能确定待简化多项式hk(v)中有哪些项属于值域，则可大大减小工作量。为此引入矩阵特征值的概念。

[定义1] 设矩阵A特征值为(1,2,,n)，若存在一组整数m(m1,m2,,mn)0，且

mmi2，如果存在正整数s(1sn)使得

i1nsm,mrr

r1n（1）

则称A的特征值是共振的，m为共振的阶。例如22102——2阶共振。

说明：m,s表示当方程组非线性项的组合频率m,和第s个固有频率相重合时发生的共振，也称为内共振。

k问题：欲使gk(v)0则同调方程adAqk(v)hk(v)0应该存在解qk(v)Hn，即同调算子adA的表

示矩阵是可逆的。下面研究可逆存在的条件。

设A已对角化，记：er——特征值r的特征向量，(e1,e2,,en)自然形成一组基，(v1,v2,,vn)是相应于这个基的坐标，为标量。构造

vvvv，mmiK

mm11m22mnni1n（2）

21

k作为一单项式，自然v为Hn中元素某一分量的最简形式。

第s位mkk若取es(00,1,00)T则Qs(v)vmes，mK是Hn的一个基。故Hn是由每一个Qs(v)为基所张成。下面计算同调算子在这个基下的矩阵。

00000000DQmvms(v)vmvvvvmv0v10020n 00000001v12v200DQ0mm11mns(v)Av1v1vnvm1m21mn1m2v2vnvmm12mn11v2mnvn

000000nvn即

0DQ(v)Av0mm1vmmm11v122vnnmm22v11vm22vnnmmmsnnv11vm22vnn第s行0000m,vmm,vmes00同时

22

（3）

（4）

1AQs(v)因此得到

20000mmv第s行svsvmes 00n00（5）

adA(vmes)D(vmes)AvA(vmes)[m,s]vmes

表示：m,s为同调算子adA在Qs(v)vmes基下的矩阵特征值，因此：

（6）

（1） 非共振时，adA的表示矩阵L的所有特征值非零，L存在，导致原非线性系统经过一系列近恒等的非线性变换后，可以在一定的精度要求下线性化。

（2） 定理1：当A其特征值为上三角Jordan标准型时，总可选择适当的非线性变换使原非线性系统的

PB范式仅由满足共振条件的多项式Qs(v)vmes组成，其余非共振项都可消去。

1例1：v02AvO(v) 0i0zz2解：令zv1iv2，zv1iv2将原系统化到复空间上：O(z)。矩阵的特z0iz征值为1i，2i，满足120，因而存在共振条件

2m11m22m11(m11)2，m11,2

（a）

m2m11奇次，因此所有偶次方项均不存在，范式仅由其次项组成，其共振单项为

zm1zm2zm1zm11zm1zm1z(zz)m1zz因此PB范式为

242k2m1z

（b）

izc3zzc5zzc2k1zz24zzizc3zzc5zzc2k1zz2k （c）

23